202110715710矩阵和行列式初步(格致中学讲义)

第 九 章 矩阵和行列式初步
格致中学
第一课时 9.1 矩阵的概念（1）
[教学目标]
1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；
2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；
3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；
4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。

[教学重点]
1、与矩阵有关的概念；
2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。

[教学难点]
学习矩阵的目的。

[教学过程]
一、情境设置、引入：
引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫
⎪⎝⎭
；
引例2：2008
我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；
引例3：将方程组231
324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

二、概念讲解：
1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
-⎝⎭
这样的矩形数表
叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数
组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第
j
（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个23
⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），
可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。

在一个
n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余
元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与
矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
叫做方程组的增广矩阵。

三、应用举例：
例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

解：（1）2627292811029262628109⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）有两个行向量，分别为：()126
272928110a =，
()229262628109a =，
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩； 有五个列向量，分别为1234526272928110,,,,29262628109b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y
x y ---⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

解：由题意知：22x y x y -=⎧⎨=⎩解得：24x y =-⎧⎨=-⎩，又由2
22214
b a x a b x y -=-=⎧⎨+=+=⎩解得：2
6a b =⎧⎨=⎩， 22414A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩
解：（1）231416⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （2）123213252113--⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
--⎝⎭
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭
解：（1）23524x y x y +=-⎧⎨-+=⎩ （2）22
321323
x y y z x z -=⎧⎪
-=⎨⎪+=-⎩
例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。

解：由单位向量定义可知：sin cos 1sin cos 0ααββ+=⎧⎨+=⎩，,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，2
34
παπ
β⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
(
)sin sin 4παβ⎛⎫
∴-=-
= ⎪
⎝⎭。

四、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1- 表示，相同则为0）。

解：0111
01110-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
2、奥运会足球比赛中国队所在C 组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为
顺序排列）
（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的
得分情况；（排列顺序与（1）相同）
（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两
个矩阵确定各队名次。

解：（1）0320301
521010510--⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-
⎪--⎝⎭（2）00
01303330031
00
0⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。

五、小结：
本课学习了矩阵及与矩阵相关的一些概念。

六、作业：
习题册P45习题9.1A 组1、2；P46 习题9.1B 组1。

第二课时 9.1 矩阵的概念（2）
格致中学 王国伟
[教学目标]
1、 掌握矩阵的三种基本变换；
2、掌握运用矩阵基本变换求线性方程组的解。

[教学重点]
运用矩阵基本变换求线性方程组的解。

[教学难点]
如何利用系数矩阵判断线性方程组是否有解。

[教学过程] 一、复习引入：
根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？
（1）213322-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）322213-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
（3）1312
222133⎛⎫
- ⎪
⎪ ⎪-
⎪⎝⎭
（4）131********⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （5）108113066⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （6）1080113⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解：这些方程组为23322x y x y -=⎧⎨-+=⎩；32223x y x y -+=⎧⎨-=⎩；13222233x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩；1322
113
6
6x y y ⎧
-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；
8
1
136
6x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩；813x y =⎧⎨=⎩。

这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。

二、新课讲解：
通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

三、应用举例：
例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）
解：设一元硬币有x 个，五角硬币有y 个，则根据题意可得：462
0.52165132x y x y
+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 则该方程组的增广矩阵为1
14621
12165
264A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，设①、②分别表示矩阵A 的第1、2行，对矩阵A 进行下列变换：
1
1462112165264
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11462116658⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 1146231320
405⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭
1146201352⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1011001352⎛⎫
⎪⎝⎭
由最后一个矩阵可知：110
352x y =⎧⎨=⎩
答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。

例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组435
7245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩的解。

解：此方程对应的增广矩阵为：431572
145238-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
设此矩阵第1、2、3行分别为①、②、③，对此矩阵进行下列变换：
431572145238-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 115097214264020⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
②()33⨯-
①不变 ①15⨯加到② ①不变 ②40
3⨯
①不变
②(1)⨯-加到① ②不变 ②加到①
②3⨯加到③ ②不变
115097214131052⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭ 43
001626016131052⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 32100436016131052⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 32100436600143701043⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
32100437010436600143⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭， ∴此方程组的解为32437436643x y z ⎧
=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩
说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；
2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当
的程序进行化简运算。

例3、运用矩阵变换方法解方程组：32
2ax y x y b
+=⎧⎨
-=⎩（a 、b 为常数）
解：此方程组对应的增广矩阵为：3221a b ⎛⎫
⎪-⎝⎭，设①、②分别表示此矩阵的第1、2行，
对此矩阵进行下列变换：3221a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 60232
1a b b ++⎛⎫
⎪-⎝⎭
ⅰ）当60a +≠，即6a ≠-时，以上矩阵可作如下变换：
2310621b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭
231064016b a ab a +⎛
⎫ ⎪+
⎪- ⎪- ⎪+⎝
⎭ 231064016b a ab a +⎛
⎫ ⎪+
⎪- ⎪ ⎪+⎝
⎭，∴此时方程有唯一解236
46b x a ab y a +⎧=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
； ③(2)⨯-加到② ③(5)⨯-加到① ③不变
③14
⨯
①、②不变
①2
()43
⨯-
②、③不变
①6⨯加到②
①13()2⨯-加到③ ①不变 交换②、③ ①不变
②3⨯加到① ①不变 ①1
6a ⨯+
②不变
①(2)⨯-加到② ①不变 ②(1)⨯-
①不变
ⅱ）当60a +=即6a =-时，若230b +≠即2
3
b ≠-时，方程组无解； ⅲ）当60a +=即6a =-时且2
3
b =-
时，方程组有无穷多解，它们均符合6320x y -+=。

说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；
（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。

四、课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2
(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨
-++=⎩
的解x 与y 相等，求k 的值。

解：1121121121140262013k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→−−→
⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101013k k -⎛⎫
−−→ ⎪-⎝⎭
解得1
3x k y k =-⎧⎨
=-⎩
，由题意知：13k k -=-求得：2k =。

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平
恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
解：设黑球和白球的质量各为x 、y 千克，则由题意知：25
310
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
通过矩阵变换1251251251033110055011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−−→−−→−−→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪-+=-⎩
解：3210055150113112511251125578101222606113----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
−−
→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第一次称量 第二次称量
011301130102101210121001005500110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100101020011⎛⎫ ⎪
−−→ ⎪ ⎪
⎝⎭即方程组的解为1
21x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。

五、小结：
本课学习了利用矩阵的三种基本变换求解线性方程组的解，此方法的实质为加减消元法解线性方程组，通过基本变换，将方程组对应的增广矩阵的系数矩阵化为单位矩阵，则最后一个列向量即为方程组的解。

在运算过程中要注意各行系数之间的关系，尽量用最简洁的途径化简。

六、作业：
习题册P45习题9.1A 组3；P46习题9.1B 组2。