2017-2018学年数学选修2-3优化练习：第三章 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列各关系中是相关关系的是 ( )
①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与圆面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系． A ．①②④ B ．①③⑤ C ．③⑤
D ．③④⑤
解析：①②④都是确定的函数关系． 答案：C
2．下列关于残差的叙述正确的是( ) A ．残差就是随机误差 B ．残差就是方差 C ．残差都是正数
D ．残差可用来判断模型拟合的效果 解析：由残差的相关知识可知D 正确． 答案：D
3．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，那么下列说法中不正确的是( ) A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x －，y －
)
B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^
至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点
C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^
的斜率为
1
n
i =∑
x i y i －n x － y
－
1
n
i =∑
x 2i －n
x
2
D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的纵截距为y －b ^
x
解析：由用最小二乘法求回归直线方程的公式可知，A ，C ，D 都正确，B 不正确，回归直线可以不经过样本数据中的任何一个点．故应选B. 答案：B
4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^
＝0.4x ＋2.3
B.y ^
＝2x －2.4
C.y ^
＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
解析：由变量x 与y 正相关知C ，D 均错，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A. 答案：A
5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y ^
＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y (单位：%)为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )
A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%
B ．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%
C ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%
D ．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%
解析：当x ＝37时，y ^
＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%. 答案：C
6．如图是x 和y 的样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
解析：经计算，去掉D (3, 10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大． 答案：D (3,10)
7．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－[0.254x ＋0.321]＝0.254. 答案：0.254
8．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平
均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________． 解析：由表格得(x ，y )为(10,38)，又(x ，y )在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^
≈－2， ∴38＝－2×10＋a ^，a ^＝58，所以y ^＝－2x ＋58，当x ＝6时，y ^
＝－2×6＋58＝46. 答案：46
9．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如表：
由资料看y 与解析：x ＝30，y ＝66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0
5
＝93.6.
b ^＝
5
1
i =∑
x i y i －5x －y
－
5
1
i =∑
x 2i －5x
2＝17 035－14 0407 900－4 500＝2 9953 400≈0.880 9.
a ^＝y －
b ^
x ＝93.6－0.880 9×30＝67.173. 故回归方程为y ^
＝0.880 9x ＋67.173.
10．某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
(2)如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
解析：由题意知，年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图如下图所示：
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系． (2)x ＝6，y ＝1.83，∑i ＝110
x 2i ＝406，
∑
i ＝110
y 2
i ＝35.13，∑
i ＝1
10
x i y i ＝117.7，b ^≈0.172，a ^＝y －b ^
x ＝0.798，
从而得到回归直线方程为y ^
＝0.172x ＋0.798. 当x ＝9时，y ^
＝0.172×9＋0.798＝2.346(万元)．
[B 组 能力提升]
1．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2如表：
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好． 答案：A
2．在一次试验中，测得(x ，y )的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 间的回归方程为( ) A.y ^
＝x ＋1 B.y ^
＝x ＋2 C.y ^
＝2x ＋1
D.y ^
＝x －1
解析：易知变量y 与x 具有线性相关关系，且b ^＝1，x ＝2.5，y ＝3.5，∴a ^
＝3.5－1×2.5＝1，故可得出线性回归方程为y ^
＝x ＋1. 答案：A
3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________． 解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^
－5＝1.23(x －4)，即y ^
＝1.23x ＋0.08.
答案：y ^
＝1.23x ＋0.08
4．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据算得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为
________杯．(已知回归系数b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y ∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^x )
解析：根据表格中的数据可求得
x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝1
4×(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a ^＝y －b ^x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ^
＝－2x ＋60， 当x ＝－5时，y ^
＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70
5．某公司利润y (单位：千万元)与销售总额x (单位：千万元)之间有如表对应数据：
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；
(3)估计销售总额为24千万元时的利润． 解析：(1)散点图如图：
(2)列表，并利用科学计算器进行有关计算．
于是b ^＝346.3－7×21×2.1
3 447－7×212≈0.104.
a ^
＝2.1－0.104×21＝－0.084， 因此回归直线方程为y ^
＝0.104x －0.084.
(3)当x ＝24时，y ＝0.104×24－0.084＝2.412(千万元)．
6．为探究某弹簧悬挂物体的质量x (单位：g)对弹簧长度y (单位：cm)的影响，分别将6个不同质量的物体悬挂在弹簧下，并测量弹簧的长度，数据如表所示(弹簧的质量忽略不计)：
(1)(2)根据散点图判断是否可以用线性回归模型进行拟合，如果可以，求y 与x 之间的回归直线方程；
(3)求R 2，并对拟合效果做出评价． 解析：(1)散点图如图所示：
(2)由于样本点分布在一条直线附近，所以可以用线性回归模型进行拟合．计算可得x ＝17.5，y ≈9.487，从而
b ^＝
∑i ＝1
6
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
6
(x i －x )2
≈0.183，
a ^＝y －
b ^
x ≈6.285.
因此，y 与x 之间的回归直线方程为y ^
＝0.183x ＋6. 285. (3)因为∑i ＝16
(y i －y ^
i )2＝0.013 175，
∑i ＝1
6
(y i －y )2＝14.678 33，
所以R 2＝1－
∑i ＝16
(y i －y ^i )2
∑i ＝1
6
(y i －y )2
≈0.999.
由于R 2非常接近于1，因此拟合效果较好．。