几种求解线性谐振子基态能方法的比较
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理方势，δ 势，谐振子，氢原子以及类似的
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
也是理解一系列复杂现象的物理基础。作为 研究复杂运动的初步近似，谐振子运动在许 多物理问题中都有体现。例如分子振动、晶 格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动 等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振 动。它的应用也越来越广泛。本文介绍的几 种解题方法，都可以进行推广。微分方程法 在解决简单的势场是比较有优势，比如在处
No. 10. pp:14-19. [6] 王帮美, 胡先权. 简谐振子波函数的代数解及Hermite多项式的递推[J]. 重庆师范大
学学报.2009.Vo.l 26, No. 3. pp:119-122.
代入（3）式，得
En
=
hω(n
+
1 ), 2
n = 0,1, 2 ...
于是，谐振子的基态能为
E0
=
1 2
hω
2.2 代数法 思维分析：在希尔伯特空间中，不用任何表 象，以动量和坐标的易关系为出发点，直接 利用薛定谔因式分解的方自然单
位 h = m = ω = 1 ）： H = 1 p2 + 1 x2 22
法解得 E0 = 0.5477hω 大于基态能量，而且
其解的精确程度的估计是无法清楚的。但是 作为一种近似方法，变分法不受体系势的大 小限制，其应用非常普遍。当变分参量很小 时，它的近似解是简单的解析表达式，使用 非常方便。不确定关系作为量子力学的一个 基本理论，从物理原理上说明了基态能的存 在，虽然只是估算，但是给出了比较清楚的 物理图像。
π −∞
由极值条件 ∂E ∂x = 0, 求得
x2 = h 2mω
代入式（6），得
E0
=
1 2
hω
此即谐振子基态能。
3 几种方法的比较
从以上的解题过程及结果可以看出，不 同的方法各有的优势和劣势。微分方程法的 求解，是以哈密顿算符和薛定谔方程为出发 点，利用数学方法求解一定边界条件下的能 量本征方程而得到精确解。这种方法是求解 这一类方程的本征值和本征函数的一般方 法，它在常见的势场中有简单而直观的表达 式，但是在处理比较复杂的问题时，数学上 会变得很复杂，甚至经常无法求解。代数法 是直接在希尔伯特空间中，以动量和坐标的
故 N 为正定厄米算符，其本征值 n 为非负
实数
即 n = 0,1, 2...
于是， E = (n + 1) ， n = 0,1, 2... 2
基态能为
E0
=
1 2
hω
2.3 变分法 思维分析：根据具体问题的物理特点，选取 适当的试探波函数，求解能量的平均值，并 对能量取极值，从而定出所取形式下的最佳 能量本征函数，用以作为严格解的一种近 似。
其中
α = mω h
由于谐振子的对称性可知
所以有
x = 0, px = 0 Δx = x − x = x
Δpx = px − px = px
由不确定关系有
Δx ⋅ Δpx = h 2 ,
于是
px = h 2x
代入式（），可得
E
=
1 2m
⎛ ⎜⎝
h 2x
⎞2 ⎟⎠
+
1 2
mω 2
x2
由极值条件 ∂E ∂a = 0, 求得
= 2 N2a =1 3
所以
N2 = 3a 2
势能的平均值为
∫ V = 1 x2ψ 2dx 2 ∫ = N 2a3 1ξ 2 (1− ξ )2 dξ 0
= N 2a3 = a2 30 30
动能的平均值为
∫ T = − 1
2
ψ
d 2ψ dx2
dx
由式（4）可得
0
dψ = dx
Na
−N a
因此
x >a −a < x < 0
参 考 文 献： [1] 刘连寿.理论物理基础教程[M].北京:高等教育出版社,2003. [2] 曾谨言.量子力学教程[M].北京:科学出版社,2008.pp:46-49. [3] 玻姆.量子理论[M]. 北京:商务图书馆,1982.pp:357-373. [4] 钱伯初, 曾谨言.量子力学习题精选与剖析[M].北京:科学出版社,2008.pp:352-354. [5] 赵健,秦杰利,李卫东.一维谐振子量子运动中的经典特性[J].大学物理.2009. Vol. 28,
1 引言
任何体系在平衡位置附近的微小振动， 大都可以分解成若干彼此独立的简谐振动， 而且，很多复杂运动的初步近似都可以看作 简谐运动。因此，对于简谐运动的研究是复 杂运动研究的基础，具有至关重要的作用。 本文通过对微分方程法，代数法，变分法和 不确定关系方法求解的思维与步骤进行比 较，总结其优缺点与应用范围。
0< x<a
（5）
d 2ψ dx2
=
N δ (x + a) − 2N δ (x) +
a
a
N δ (x − a) a
代入式（5），即得
T
=
N ψ (0) a
=
N2 a
=
3 2a 2
于是
E
=T
+V
=
3 2a2
+
a2 20
∫ p = −ih
α π
+∞
e−α 2x2
d [e−α 2x2 ]dx = 0
−∞
dx
− 1ξ 2
ψ = e 2 H (ξ )
将上式代入（2）式，可得
d 2H − 2ξ dH + (λ −1)H = 0
dξ 2
dξ
利用级数解法，把 H 展开成 ξ 的幂级数。
一般情况下，其解是一个无穷级数，而当
ξ → ±∞ 时，ψ 有限，故这个级数只含有
有限项。 λ 为奇数 λ = 2n +1, n = 0,1, 2 ...
x
=
αx
则（1）式变为
α = mω h
d 2ψ dx2
+ (λ − ξ 2)ψ
=0
其中
λ = 2E hω
当ξ → ±∞ 时， λ << ξ 2 ，
则方程（2）可写作
d 2ψ = ξ 2ψ dξ 2
其解为
± 1ξ 2
ψ ~e 2
当ξ → ±∞ 时，ψ 有限，则
（2） （3）
ψ
− 1ξ 2
~e 2
于是，方程（2）的解可以表示为
a = 2.3403
于是可得
E0 = 0.5477
即基态能为
E0 = 0.5477hω
（4）不确定度关系法 思维分析：利用不确定度关系这一量子力学 基本理论对谐振子的基态能进行估算。 解：一维谐振子的平均等量为
E = px2 + 1 mω 2 (x)2 2m 2
（6）
∫ x =
α
+∞
xe−α 2x2 dx = 0
根据具体问题的物理特点选取适当的试探波函数求解能量的平均值并对能量取极值从而定出所取形式下的最佳能量本征函数用以作为严格解的一种近其中为变分参数n为归一化常数
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
袁瀚
华中师范大学物理与技术学院 08级物理基地班 武汉 430079
摘要：谐振子模型是量子力学中极其简单而又重要的模型，而量子力学中对于求解其基态能 的方法很多。本文给出了用微分方程法，代数法，变分法和不确定关系的方法求解的思维与 步骤，并对这几种方法进行比较，总结了其优缺点与适用范围。 关键词：谐振子 基态能 量子力学
坐标，动量的对易关系为：
[x, p] = i
令 a = 1 (x + ip) ， a+ = 1 (x − ip)
2
2
于是有
⎡⎣a, a+ ⎤⎦ = 1
x = 1 (a + a+ ) ， p = 1 (a+ − a)
2
2
则可将 H H 表示为
H = (a+a + 1) = (N + 1)
2
2
其中 N = a+a = N + 在任意状态ψ 下，有 N = (ψ , a+aψ ) = (aψ , aψ ) ≥ 0
2 解题思维与步骤
2.1 微分方程法 思维分析：以哈密顿算符和薛定谔方程为出 发点，利用数学方法直接求解在一定边界条 件下的薛定谔能量本征方程，从而得到精确 解。
解：一维谐振子的能量本征方程为
h2 2m
d 2ψ dx2
+ (E
−
mω 2 2
x2 )ψ
=
0
（1）
引入无量纲变量 ξ 代替 x ,令
ξ=
mω h
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
也是理解一系列复杂现象的物理基础。作为 研究复杂运动的初步近似，谐振子运动在许 多物理问题中都有体现。例如分子振动、晶 格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动 等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振 动。它的应用也越来越广泛。本文介绍的几 种解题方法，都可以进行推广。微分方程法 在解决简单的势场是比较有优势，比如在处
No. 10. pp:14-19. [6] 王帮美, 胡先权. 简谐振子波函数的代数解及Hermite多项式的递推[J]. 重庆师范大
学学报.2009.Vo.l 26, No. 3. pp:119-122.
代入（3）式，得
En
=
hω(n
+
1 ), 2
n = 0,1, 2 ...
于是，谐振子的基态能为
E0
=
1 2
hω
2.2 代数法 思维分析：在希尔伯特空间中，不用任何表 象，以动量和坐标的易关系为出发点，直接 利用薛定谔因式分解的方自然单
位 h = m = ω = 1 ）： H = 1 p2 + 1 x2 22
法解得 E0 = 0.5477hω 大于基态能量，而且
其解的精确程度的估计是无法清楚的。但是 作为一种近似方法，变分法不受体系势的大 小限制，其应用非常普遍。当变分参量很小 时，它的近似解是简单的解析表达式，使用 非常方便。不确定关系作为量子力学的一个 基本理论，从物理原理上说明了基态能的存 在，虽然只是估算，但是给出了比较清楚的 物理图像。
π −∞
由极值条件 ∂E ∂x = 0, 求得
x2 = h 2mω
代入式（6），得
E0
=
1 2
hω
此即谐振子基态能。
3 几种方法的比较
从以上的解题过程及结果可以看出，不 同的方法各有的优势和劣势。微分方程法的 求解，是以哈密顿算符和薛定谔方程为出发 点，利用数学方法求解一定边界条件下的能 量本征方程而得到精确解。这种方法是求解 这一类方程的本征值和本征函数的一般方 法，它在常见的势场中有简单而直观的表达 式，但是在处理比较复杂的问题时，数学上 会变得很复杂，甚至经常无法求解。代数法 是直接在希尔伯特空间中，以动量和坐标的
故 N 为正定厄米算符，其本征值 n 为非负
实数
即 n = 0,1, 2...
于是， E = (n + 1) ， n = 0,1, 2... 2
基态能为
E0
=
1 2
hω
2.3 变分法 思维分析：根据具体问题的物理特点，选取 适当的试探波函数，求解能量的平均值，并 对能量取极值，从而定出所取形式下的最佳 能量本征函数，用以作为严格解的一种近 似。
其中
α = mω h
由于谐振子的对称性可知
所以有
x = 0, px = 0 Δx = x − x = x
Δpx = px − px = px
由不确定关系有
Δx ⋅ Δpx = h 2 ,
于是
px = h 2x
代入式（），可得
E
=
1 2m
⎛ ⎜⎝
h 2x
⎞2 ⎟⎠
+
1 2
mω 2
x2
由极值条件 ∂E ∂a = 0, 求得
= 2 N2a =1 3
所以
N2 = 3a 2
势能的平均值为
∫ V = 1 x2ψ 2dx 2 ∫ = N 2a3 1ξ 2 (1− ξ )2 dξ 0
= N 2a3 = a2 30 30
动能的平均值为
∫ T = − 1
2
ψ
d 2ψ dx2
dx
由式（4）可得
0
dψ = dx
Na
−N a
因此
x >a −a < x < 0
参 考 文 献： [1] 刘连寿.理论物理基础教程[M].北京:高等教育出版社,2003. [2] 曾谨言.量子力学教程[M].北京:科学出版社,2008.pp:46-49. [3] 玻姆.量子理论[M]. 北京:商务图书馆,1982.pp:357-373. [4] 钱伯初, 曾谨言.量子力学习题精选与剖析[M].北京:科学出版社,2008.pp:352-354. [5] 赵健,秦杰利,李卫东.一维谐振子量子运动中的经典特性[J].大学物理.2009. Vol. 28,
1 引言
任何体系在平衡位置附近的微小振动， 大都可以分解成若干彼此独立的简谐振动， 而且，很多复杂运动的初步近似都可以看作 简谐运动。因此，对于简谐运动的研究是复 杂运动研究的基础，具有至关重要的作用。 本文通过对微分方程法，代数法，变分法和 不确定关系方法求解的思维与步骤进行比 较，总结其优缺点与应用范围。
0< x<a
（5）
d 2ψ dx2
=
N δ (x + a) − 2N δ (x) +
a
a
N δ (x − a) a
代入式（5），即得
T
=
N ψ (0) a
=
N2 a
=
3 2a 2
于是
E
=T
+V
=
3 2a2
+
a2 20
∫ p = −ih
α π
+∞
e−α 2x2
d [e−α 2x2 ]dx = 0
−∞
dx
− 1ξ 2
ψ = e 2 H (ξ )
将上式代入（2）式，可得
d 2H − 2ξ dH + (λ −1)H = 0
dξ 2
dξ
利用级数解法，把 H 展开成 ξ 的幂级数。
一般情况下，其解是一个无穷级数，而当
ξ → ±∞ 时，ψ 有限，故这个级数只含有
有限项。 λ 为奇数 λ = 2n +1, n = 0,1, 2 ...
x
=
αx
则（1）式变为
α = mω h
d 2ψ dx2
+ (λ − ξ 2)ψ
=0
其中
λ = 2E hω
当ξ → ±∞ 时， λ << ξ 2 ，
则方程（2）可写作
d 2ψ = ξ 2ψ dξ 2
其解为
± 1ξ 2
ψ ~e 2
当ξ → ±∞ 时，ψ 有限，则
（2） （3）
ψ
− 1ξ 2
~e 2
于是，方程（2）的解可以表示为
a = 2.3403
于是可得
E0 = 0.5477
即基态能为
E0 = 0.5477hω
（4）不确定度关系法 思维分析：利用不确定度关系这一量子力学 基本理论对谐振子的基态能进行估算。 解：一维谐振子的平均等量为
E = px2 + 1 mω 2 (x)2 2m 2
（6）
∫ x =
α
+∞
xe−α 2x2 dx = 0
根据具体问题的物理特点选取适当的试探波函数求解能量的平均值并对能量取极值从而定出所取形式下的最佳能量本征函数用以作为严格解的一种近其中为变分参数n为归一化常数
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
袁瀚
华中师范大学物理与技术学院 08级物理基地班 武汉 430079
摘要：谐振子模型是量子力学中极其简单而又重要的模型，而量子力学中对于求解其基态能 的方法很多。本文给出了用微分方程法，代数法，变分法和不确定关系的方法求解的思维与 步骤，并对这几种方法进行比较，总结了其优缺点与适用范围。 关键词：谐振子 基态能 量子力学
坐标，动量的对易关系为：
[x, p] = i
令 a = 1 (x + ip) ， a+ = 1 (x − ip)
2
2
于是有
⎡⎣a, a+ ⎤⎦ = 1
x = 1 (a + a+ ) ， p = 1 (a+ − a)
2
2
则可将 H H 表示为
H = (a+a + 1) = (N + 1)
2
2
其中 N = a+a = N + 在任意状态ψ 下，有 N = (ψ , a+aψ ) = (aψ , aψ ) ≥ 0
2 解题思维与步骤
2.1 微分方程法 思维分析：以哈密顿算符和薛定谔方程为出 发点，利用数学方法直接求解在一定边界条 件下的薛定谔能量本征方程，从而得到精确 解。
解：一维谐振子的能量本征方程为
h2 2m
d 2ψ dx2
+ (E
−
mω 2 2
x2 )ψ
=
0
（1）
引入无量纲变量 ξ 代替 x ,令
ξ=
mω h