2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 章末复习

学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
知识点一四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
知识点二充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p 是q的充分条件，q是p的必要条件．
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则
p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则
p是q的必要不充分条件
的充分条件，
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
知识点三全称命题与特称命题
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点四简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
类型一四种命题及其关系
例1写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
反思与感悟(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换． 否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论． (2)命题真假的判断方法：直接法、间接法
跟踪训练1 下列四个结论：①已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”；③命题p 的否命题和命题p 的逆命题同真同假；④若|C |>0，则C >0.
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2 (1)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系判断． 跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．112
2
log log a b >>0
C ．ln a >ln b >0
D ．x a >x b 且x >0.5
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设命题p ：实数x 满足x 2
－4ax ＋3a 2
<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，
x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练3已知p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
类型三逻辑联结词与量词的综合应用
例4已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
跟踪训练4已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x 满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
1．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知p：0<a<4，q：函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则
下列命题为真命题的是()
A．p且q B．(綈p)且(綈q)
C．(綈p)且q D．p且(綈q)
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：|3x－4|>2，q：1
x2－x－2
>0，则綈p是綈q的什么条件？
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
知识梳理 知识点一
若p ，则q 若q ，则p 若綈p 则綈q 若綈q ，则綈p 题型探究
例1 解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．
否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题． 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 跟踪训练1 B [正确的为①③.] 例2 (1)B (2)C
解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4， x >4⇒x 2－3x >0，
故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，
∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件．
跟踪训练2 C [设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必然结果，即有“p ⇒a >b >0，a >b >0D ⇒/p ”．
A 选项中，a 2>b 2>0D ⇒/a >b >0，有可能是a <b <0，故A 不符合条件；
B 选项中，log 12a >log 1
2b >0⇔0<a <b <1D ⇒/a >b >0，故B 不符合条件；
C 选项中，ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0，而a >b >0
D ⇒/a >b >1，符合条件； D 选项中，x a >x b 且0<x <1时a <b ；
x >1时a >b ，无法得到a ，b 与0的大小关系，故D 不符合条件．] 例3 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，
即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤3，x <－4或x >2.
即2<x ≤3. 所以q 为真时，
实数x 的取值范围是2<x ≤3.
若p 且q 为真，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，
所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p . 设綈p ：A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 綈q ：B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .
所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．
方法二 ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 则{x |2<x ≤3}{x |a <x <3a }，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤2，
3a >3，解得1<a ≤2. ∴实数a 的取值范围是(1,2]．
跟踪训练3 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件， ∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9， ∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 例4 [e,4]
解析 p ：a ≥e ，q ：a ≤4，
∵p 且q 为真命题，∴p 与q 均为真， 则e ≤a ≤4.
跟踪训练4 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a
2
或x ＝－a ，
∴当命题p 为真命题时
⎪⎪⎪
⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.
又“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”， 即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.
即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 当堂训练
1．D 2.A 3.D 4.(－∞，0]
5．解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数， ∴两条直线互相垂直，∴p ⇒q .
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD ⇒/p . ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)解不等式|3x －4|>2，得 p ：{x |x >2或x <2
3}，
∴綈p ：{x |2
3≤x ≤2}．
解不等式1
x 2－x －2>0，得
q ：{x |x <－1或x >2}． ∴綈q ：{x |－1≤x ≤2}．
∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．。