电大《高等数学基础》复习考试知识点复习考点归纳总结

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高等数学基础归类复习考试考点归纳总结
一、单项选择题
1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.
2)()(x x f =，x x g =)( B. 2
)(x x f =，x x g =)(
C.3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1
)(2--=x x x g
1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. x y =
设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称．
A. x y =
B. x 轴
C. y 轴
D. 坐标原点 .函数2
e e x
x y -=
-的图形关于（ A ）对称．
(A) 坐标原点 (B)
x 轴 (C) y 轴 (D) x y =
1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A.
)1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2
x
x a
a y -+=
D.
)1ln(x y +=
下列函数中为奇函数是（A ）． A.
x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin =
下列函数中为偶函数的是（ D ）．
A
x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y +=
2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. 12
lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim
=∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．
A. x x sin
B. x
1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x
当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x
D 2x
x
.当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x
x sin C x
2 D )1ln(+x
下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A
()1
sin 0x x
→ B
()()
ln 10x x +→ C
()1x
e
x →∞
D.()2
2
24
x x x -→-
3-1设
)(x f 在点x=1处可导，则=--→h
f h f h )
1()21(lim
0（ D ）．
A. )1(f '
B. )1(f '-
C. )1(2f '
D. )1(2f '-
设
)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h )
()2(lim
000（ D ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-
设
)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000（ D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-
设
x x f e )(=，
则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(l i m 0
（ A ） A e B. e 2 C.
e 21 D. e 4
1
3-2. 下列等式不成立的是（D ）．
A.x x
de dx e
= B )(cos sin x d xdx =- C.
x d dx x
=21
D.)1
(ln x d xdx =
下列等式中正确的是（B ）．A.xdx x d arctan )11(2=+ B. 2
)1(x
dx
x d -= C.dx d x x
2)2ln 2(= D.xdx x d cot )(tan =
4-1函数
14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ D ）．
A. )2,(-∞
B. )1,1(-
C. ),2(∞+
D. ),2(∞+-
函数
542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）．
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降
D. 单调上升 .函数
62--=x x y 在区间（－5，5）内满足（ A ）
A 先单调下降再单调上升
B 单调下降
C 先单调上升再单调下降
D 单调上升
. 函数
622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（D ）．
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降
D. 单调上
升
5-1若
)(x f 的一个原函数是
x
1，则
=')(x f （D ）． A. x
ln B.
2
1x -
C.
x
1 D. 3
2x
.若)(x F 是 )(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

A )()()(a F x F dx x f x
a
-=⎰
B
)()()(a f b f dx x F b
a
-=⎰
C )()(x F x f ='
D )()()(a F b F dx x f b
a
-='⎰
5-2若
x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ B ）．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos
下列等式成立的是（D ）．
A. )(d )(x f x x f ='⎰
B. )()(d x f x f =⎰
C.
)(d )(d x f x x f =⎰ D.
)(d )(d d
x f x x f x
=⎰ =⎰x x f x x d )(d d 32（ B ）． A. )(3x f B. )(3
2x f x C. )(31x f D. )(31
3x f =⎰x x xf x d )(d d 2（ D ） A )(2x xf B x x f d )(21 C )(2
1x f D x x xf d )(2
⒌-3若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f x
d )(1
（ B ）． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D.
c x F x
+)(1
补充：
⎰
=--x e f e x x d )( c e F x +--)(, 无穷积分收敛的是 dx x
⎰
+∞
1
21
函数
x x x f -+=1010)(的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题
⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
的定义域是 （3，+∞） ．
函数x x x
y -+-=
4)
2ln(的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ] 函数
x
x x f --
+=21
)5ln()(的定义域是 （－5，2）
若函数
⎩
⎨⎧>≤+=0,20,1)(2x x x x f x ，则=)0(f 1 ．
2若函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e
．
.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00
2sin )(x k
x x x x f 在0=x 处连续，则=k 2
函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0
,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．
函数33
22---=x x x y 的间断点是 x=3 。

函数x
e y -=11
的间断点是 x=0
3-⒈曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．
曲线
2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 1/4 ．
曲线1)(+=x
e x
f 在（0，2）处的切线斜率是 1 ．
.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．
3-2 曲线x x f sin )(=在)1,2
π
(处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0
曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1
4.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．
函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是 （0，+∞） ．
.函数1)1(2
++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．
.函数1)(2
+=x x f 的单调增加区间是 （0，+∞） ．
函数2
x
e y -=的单调减少区间是 （0，+∞） ． 5-1=⎰-x x d e d
2
dx e x 2
-
． .
=⎰x x dx
d d sin 2 2
s i n x ． ='⎰x x d )(tan tan x +C ．
若⎰+=c x x x f 3sin d )(，则=')(x f －9 sin 3x ．
5-2
⎰-=+3
3
5d )2
1
(sin x x 3 ． =+⎰-1
123
1dx x x 0 ． =+⎰e dx x dx d 1)1ln(
下列积分计算正确的是（ B ）．
A
d )(1
1
=+⎰
--x e e x x B
d )(1
1
=-⎰
--x e e x x C
d 1
1
2=⎰
-x x D
0d ||11
=⎰
-x x
三、计算题
（一）、计算极限（1小题，11分）
（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。

（2）利用连续函数性质：)(0x f 有定义，则极限)()(lim 0
x f x f x x =→
类型1： 利用重要极限
计算
1-1求x x x 5sin 6sin lim 0→． 解： 5
6lim 5sin 6sin lim 00=⋅=→→x
x x x x x 1-2 求 0tan lim
3x x x → 解： =→x x x 3tan lim
031
131tan lim 310=⨯=→x x x 1-3 求x x x 3tan lim 0→ 解：
x x 3tan lim 0→=3313.3tan lim
0=⨯=→x
x 类型2： 因式分解并利用重要极限化简计算。

2-1求)
1sin(1
lim
21+--→x x x ． 解： )1sin(1
lim
21+--→x x x =2)11(1)1.()
1sin()1(lim 1-=--⨯=-++-→x x x x 2-2()21sin 1lim 1x x x →-- 解： 21
1111)1(1.)1()1sin(lim 1
)1sin(lim 121=+⨯=+--=--→→x x x x x x x
2-3)3sin(34lim 23-+-→x x x x 解： 2)1(lim )
3sin()
1)(3(lim )3sin(34lim 3323=-=---=-+-→→→x x x x x x x x x x
类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限 3-1
4586lim
224
+-+-→x x x x x 解： 4
586lim 22
4+-+-→x x x x x ==----→)1)(4()
2)(4(lim 4x x x x x 3212lim 4=--→x x x 3-2 2236lim 12x x x x x →-+--- ()()()()22333326
25lim lim
lim 123447x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+-+--===--+-- 3-3 423lim 222-+-→x x x x 解 4121lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x
其他： 0s i n 21l i m s i n 1
1l i m 202
0==-+→→x x x x x x ， 22
1s i n lim 11sin lim
00==-+→→x
x x x x =--++∞→5456lim 22x x x x x 1lim 22=∞→x x x ， =--+∞→54362l i m 2
2x x x x x 32
32lim 22=∞→x x x （0807考题）计算x x x 4sin 8tan lim 0→． 解： x x
x 4sin 8tan lim 0→=24
8.4sin 8tan lim
0==→x x x x
x （0801考题. ）计算x x x 2sin lim
0→． 解 =→x x x 2sin lim
02
1
sin lim 210=→x x x （0707考题.）)1sin(3
2lim 21+---→x x x x =4)31(1)
1sin()3).(1(lim
1-=--⨯=+-+-→x x x x （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）
（1）利用导数的四则运算法则
v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')(
（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式
x x 1)(ln =
' 1
)(-='a a ax x x x e e =')( u e e u
u '='.)( x x x
x x x x x 2
2
csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin -='='-='='
类型1 1-1
解：y '＝()33
2233x x x e x e '⎛⎫⎛⎫'+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1322
332x x x e x e ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1322332x x x e ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
1-2 x x x y ln cot 2
+=
解
：
x x x x x x x x x x x x y ++-='+'+-='+'='ln 2csc )(ln ln )(csc )ln ()(cot 2
2
2
2
2
1-3 设x x e y x
ln tan -=，求y '．
解
：
x
x e x e
x e x e x x e y x x x x x 1sec tan 1)(tan tan )()(ln )tan (2-+=-
'+'='-'=' 类型22-1
x x y ln sin 2+=，求y ' 解：x
x x x x y 1
cos 2)(ln )(sin 22+
='+'=' 2-2 2sin e cos x y x
-=，求
解
：
2
2
2
2
c
2e s e ).(cos ).(sin )(sin )(cos x
x x x e e x e y x
x
x
x
x
--='-'-='-'='
2-3 x
e x y 55ln -+=，求， 解：x x x x
e
x y 5455e 5ln 5).()(ln ---='+'=' 类型3： x e y x cos 2
=，求y ' 。

解：x
e x xe x e x e y x
x x x sin cos 2)(cos cos )(2
2
2
2
-='+'=' 其他：x
x y x
cos 2-=，求y '。

解：
='-'-='-'='2
).(cos .)(cos 2ln 2)cos (
)2(x x x
x x x x y x x 2
c
o s i 2ln 2x x
x x x
++ 0807.设2
sin sin x e y x +=，求y '
解
：
2
s i n 2s i n c o s 2c o s )(s i n )(x x x e x e y x x +='+'=' 0801.设
2
x xe y =，求y ' 解：2
2
2
2
22)()(x x x x e x e e x e x y +='+'='
0707.设2sin x e y x
-=，求 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'='
0701.设x
x y e cos ln +=，求 解：x x x x x
e e x y e sin e 1).(sin )(ln -='-'=' 计算
⎰x x x d 1cos
2 解：c x
x d x x x x +-=-=⎰⎰1sin )1(1cos d 1
cos
2
0707.计算
⎰x x d x 1sin
2
． 解： c x
x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d x 1sin d 1sin 2 0701计算⎰x x x
d e 21． 解： =-=⎰⎰)1
(d e d e 1
21x x x x
c x +-1
e
凑微分类型2.计算
⎰
x x
x
d cos ． 解：
c x x
d x x x x
+==⎰⎰
sin 2cos 2d cos
0807.计算
⎰x x d x sin ． 解：c x x d x x x +-==⎰⎰
cos 2sin 2d x
sin
0801.计算
⎰
e
x
x
凑微分类型3计算⎰x d xlnx 1 解：c x du u
x x +===⎰⎰⎰|ln |ln ln d xlnx .计算⎰+e 1d ln 2x
x x
解：
⎰⎰++=+e 1
e 1)ln 2()d ln 2(d ln 2x x x x x 25)ln 2(211
2
=+=e x 计算⎰e 1
lnxd x x 解： 1=a ， c x x x xdx xdx x +-==⎰⎰222
4
ln 2ln 2ln 411)4ln 2(ln 21lnxd 22212
e 1e e x x x xdx x x e +=-==⎰⎰
1)10()(1
)ln (d ln e
1
=---=-=⎰e e e
x x x x x 计算⎰e 12d ln x x x 解：2-=a ， c x
x x x xd dx x x +--=-=⎰⎰1
ln 1)1(ln ln 2 e
e x x x x x x x x 2
11)1ln ()1(d ln d ln e 1
e 12-=--=-=⎰⎰ 计算dx x x e ⎰1ln 解：21-=a ，c x x x x xd dx x
x +-==⎰⎰4ln 2ln 2ln
dx
x x e ⎰1ln =
421
)4ln 2(ln 21+-=-=⎰e e
x x x x xd e 0807
=⎰
e
1lnxd x x 9
4921)94ln 32( x lnxd 3223
2323e 123+
=-=⎰e e x x x 0707
⎰e
12x 913+ 类型2 x dx xe 10
2⎰=x x de x dx xe --⎰⎰-=1
1
0120
1)(1+-=--=---e e xe x x x x de x dx xe 21010
221--⎰⎰-=4
14301)4121(222+-=--=---e e xe x x （0801
类型3： ⎰
20
sin πx =
⎰20
cos πxdx x 120
2)cos sin (sin 20
-=+=⎰π
π
π
x x x x xd
⎰⎰++-=+-=c x x x xdx x x x x x 2sin 41
2cos 212cos 212cos 21d 2sin =⎰
20
2sin πxdx x 4
040
2)2sin 4
12cos 21(2cos 2120
ππππ
=-=+-=-⎰
x x x x xd
2222
00001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242
x xdx x x xdx x π
πππ
=-==-⎰⎰ 四、应用题（1题，16分）
类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
222l r h =+
圆柱体的体积公式为 h h l h r V )(π2
22-==π
求导并令 0)3(π2
2=-='h l V
得l h
33=
，并由此解出l r 3
6
=． 即当底半径l r 36=
，高l h 3
3
=时，圆柱体的体积最大．
类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其容积2
2.,..r V
h h r V
ππ=
=
表面积为
r V r rh r S
2π2π2π222+
=+=
22π4r
V
r S -='， 由0='S 得3
π2V r =，此时3
π
42V r h ==。

由实际问题可知，当底半径3
π
2V
r =与高r h
2= 时可使用料最省。

解： 本题的解法和结果与2-1生产一种体积为V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为
r
，高为
h
，则无盖圆柱形容器表面积为
r
V
r rh r S 2ππ2π2
2
+
=+=，令
2π22=-='r
V
r S ， 得
r h V
r ==,π
3，
由实际问题可知，当底半径3
π
V r =与高r h
= 时可使用料最省。

2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）
解： 设底边的边长为x ，高为h ，用材料为
y ，由已知322==V h x ，2
x V h =
，
表面积
x
V
x xh x y 4422+
=+=，
令0422=-='x V x y ，得6423
==V x ， 此时,4=x 2x
V h ==2
解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。

类型3 曲
线
kx y =上的点到点)0,(a A 的距离
平
方
为
kx a x y a x L +-=+-=222)()(
0)(2=+-='k a x L ， k a x -=22
3-1在抛物线x y 42
=上求一点，使其与x 轴上的点)0,3(A 的距离最短．
解：设所求点P （x ，y ），则满足
x y 42
=，点P 到点A 的距离之平方为
x x y x L 4)3()3(222+-=+-=
令04)3(2=+-='x L ，解得1=x 是唯一驻点，易知1=x 是函数的极小值点， 当1=x 时，2=y 或2-=y ，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－
2） 解：曲线
x y 2=上的点到点A （2，0） 的距离之平方
为
x x y x L 2)2()2(222+-=+-=
令02)2(2=+-='x L ，得1=x ， 由此222
==x y ， 2±=y
即曲线
x y 22=上的点（1，2）和（1，2-）到点A （2，0）的距离最短。

08074 求曲线2
x y =上的点，使其到点A （0，2）的距离最短。

解： 曲线
2
x y =上的点到点
A （0，2）的距离公式为
2
22)2()2(-+=-+=
y y y x d
d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点， 22)2(-+=y y d 32)2(21)(2
-=-+='y y d
令
0)(2='d 得23=
y ，并由此解出26±=x ， 即曲线2
x y =上的点（23,26）和点（2
3,26-）到点A （0，2）的距离最短
高等数学（1）学习辅导(一) 第一章 函数
⒈理解函数的概念；掌握函数
)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求
函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称。

若对任意x ，有
)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型：
① 常数函数：c y =
② 幂函数：
)(为实数αα
x y = ③
指数函数：
)1,0(≠>=a a a y x
④ 对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a
⑤ 三角函数：
x x x x cot ,tan ,cos ,sin ⑥ 反三角函数：
x
x x arctan ,arccos ,arcsin
⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数
)1(arctan 2
e x y +=
可以分解u y e =，2
v u =，w v arctan =，x w +=1。

分解后的函数前三个都是基
本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。

例题选解
一、填空题
⒈设
)0
(
1
)
1
(2>
+
+
=x
x
x
x
f
，则
f x()=。

解：设
x
t
1
=
，则
t
x
1
=
，得
t
t
t
t
t f
2
2
1
1
1
1
1
)(
+
+
=
+
+
=
故
x
x
x
f
2
1
1
)
(
+
+
=。

⒉函数
x
x
x
f-
+
-
=5
)2
ln(
1
)
(
的定义域是。

解：对函数的第一项，要求
2>
-
x且0
)2
ln(≠
-
x
，即
2
>
x且3
≠
x；对函数
的第二项，要求
5≥
-x，即5
≤
x。

取公共部分，得函数定义域为]5,3(
)3,2(。

⒊函数
)
(x
f
的定义域为
]1,0[
，则
)
(ln x
f
的定义域是。

解：要使
)
(ln x
f
有意义，必须使
1
ln
0≤
≤x，由此得)
(ln x
f
定义域为
]e,1[。

⒋函数
3
9
2
-
-
=
x
x
y
的定义域为。

解：要使
3
9
2
-
-
=
x
x
y
有意义，必须满足
9
2≥
-
x且0
3>
-
x，即⎩
⎨
⎧
>
≥
3
3
x
x
成立，
解不等式方程组，得出⎩
⎨
⎧
>
-
≤
≥
3
3
3
x
x
x或
，故得出函数的定义域为
)
,3(
]3
,
(+∞
⋃
-
-∞。

⒌设
2
)
(
x
x a
a
x
f
-
+
=
，则函数的图形关于对称。

解：
)
(x
f
的定义域为
)
,
(+∞
-∞
，且有
)
(
2
2
2
)
(
)
(
x
f
a
a
a
a
a
a
x
f
x
x
x
x
x
x
=
+
=
+
=
+
=
-
-
-
-
-
-
即
)
(x
f
是偶函数，故图形关于
y
轴对称。

二、单项选择题
⒈下列各对函数中，（）是相同的。

A.
x
x
g
x
x
f=
=)
(
,
)
(2
； B.
f x x
g x x
()ln,()ln
==
22
；
C.
f x x
g x x
()ln,()ln
==
33
； D.
f x
x
x
g x x
(),()
=
-
+
=-
21
1
1
解：A中两函数的对应关系不同,
x
x
x≠
=
2
，B, D三个选项中的每对函数的定义
域都不同，所以A B, D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故
选项C正确。

⒉设函数
f x()
的定义域为
(,)
-∞+∞
，则函数
f x f x
()()
－-
的图形关于（）
对称。

A.y＝x；
B.x轴；
C.y轴；
D.坐标原点
解：设
)
(
)
(
)
(x
f
x
f
x
F-
-
=
，则对任意
x有
)
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
))
(
(
)
(
)
(x
F
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
F-
=
-
-
-
=
-
-
=
-
-
-
-
=
-
即
)
(x
F
是奇函数，故图形关于原点对称。

选项D正确。

3．设函数的定义域是全体实数，则函数
)
(
)
(x
f
x
f-
⋅
是（）．
A.单调减函数；
B.有界函数；
C.偶函数；
D.周期函数
解：A, B, D三个选项都不一定满足。

设
)
(
)
(
)
(x
f
x
f
x
F-
⋅
=
，则对任意
x有
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
(
)
(
)
(x
F
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
F=
-
⋅
=
⋅
-
=
-
-
⋅
-
=
-
即
)
(x
F
是偶函数，故选项C正确。

⒋函数
)1
,0
(
1
1
)
(≠
>
+
-
=a
a
a
a
x
x
f
x
x
（）
A.是奇函数；
B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数；
D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)
(
1
1
)
1(
)
1(
1
1
)
(
)
(x
f
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
-
=
+
-
-
=
+
-
-
=
-
-
-
-
-
所以B正确。

⒌若函数
2
2
1
)
1
(
x
x
x
x
f+
=
+
，则
=
)
(x
f
（）
A.
2
x； B. 2
2-
x；
C.
2
)1
(-
x
； D.
1
2-
x。

解：因为2
)1
(212122222
-+=-++=+x x x x x x
所以2
)1
()1(2-+=+x x x x f
则
2)(2-=x x f ，故选项B 正确。

第二章 极限与连续 ⒈知道数列极限的“ε-N
”定义；了解函数极限的描述性定义。

⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量
的比较。

无穷小量的运算性质主要有：
① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③ 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。

⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用
无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。

求极限有几种典型的类型
（1）a a x a x a x a a x a x a x a k k k k x k k x 21
)())((lim lim 222020=
++++-+=-+→→
（2）100
1002))((lim lim 00x x x x x x x x x x b
ax x x x x x -=---=-++→→
（3）
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>∞=<=++++++++----→m
n m n b a m n b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x x 0
0111011100
lim 0
⒋熟练掌握两个重要极限：
lim sin x x
x →=01
lim()x x x →∞+=11
e
（或
lim()x x
x →+=0
1
1e
）
重要极限的一般形式：
lim
sin ()
()
()αααx x x →=01
lim (())()()
f x f x f x →∞+=11e
（或
lim (())
()()
g x g x g x →+=0
1
1e
）
利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或
重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
3133sin lim sin lim
3
133sin sin 31lim 3sin sin lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x
x x x x x x x x x x
312122e e e ]
)11[(lim ])21[(lim )11()21(lim 1121lim )12(lim ==-++=-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=-+---∞→∞→∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数
间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。

间断点的分类： 已知点0x x =是的间断点，
若)(x f 在点0x x =的左、右极限都存在，则0x x =称为)(x f 的第一类间断点； 若
)(x f 在点0x x =的左、右极限有一个不存在，则0x x =称为)(x f 的第二类间断
点。

⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定
义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。

典型例题解析
一、填空题
⒈极限
lim
sin sin x x x x →=
21。

解：010sin lim 1sin lim )sin 1sin (lim sin 1sin
lim
00020=⨯=⋅==→→→→x x x x x x x x x x x x x x x
注意：01
sin lim 0=→x x x （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
1
11sin lim 1sin 1lim sin lim
000====→→→x x x x x x x x x ，其中x x
x sin lim 0→=1是第一个重要极限。

⒉函数
⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0101sin )(x x x x
x x f 的间断点是x = 。

解：由
)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim 01
sin lim 00==+=+-→→f x x x x x
所以函数
)(x f 在0=x 处是间断的，
又
)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

⒊⒋⒌⒍设23)(2+-=x x x f ，则f f x [()]'=。

解：
32)(-='x x f ，故
201842)32(3)32()]([22+-=+---='x x x x x f f
⒎函数
)1ln(2
x y +=的单调增加区间是 。

二、单项选择题
⒈函数在点处（ ）．
A.有定义且有极限；
B.无定义但有极限；
C.有定义但无极限；
D.无定义且无极限 解：
)(x f 在点
处没有定义，但
01
sin
lim 0
=→x x x （无穷小量⨯有界变量=无穷小量）
故选项B 正确。

⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A.
e 1x
x ,()→∞；
B.sin ,()x
x x →∞；
C.
ln(),()11+→x x ；
D.
x x x +-→11
0,()
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
sin lim
=∞→x x
x
而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

三、计算应用题 ⒈计算下列极限：
⑴12423lim 2
22-++-→x x x x x
⑵
x
x x x -∞
→-+)13(
lim
15
5
10)2(12)32()1(lim )3(-+-∞→x x x x （4）
x x x 3sin 1
1lim
--→
解：⑴
61)6)(2()2)(1(1242322+-=
+---=-++-x x x x x x x x x x ∴1242
3lim 2
22-++-→x x x x x =
8161lim 2=+-→x x x ⑵
431331
e 1e e ]
)31[(lim ])1
1[(lim )31()11(lim )31(lim )1
3(
lim ==+-=+-=+-=-+-∞→--∞→∞→∞→-∞
→x n x n x x n x n x
n x
x x x x x x x
⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为
1551032)2(x x x =⋅
分母的最高次项为1512x ，由此得
38
1232)
2(12)32()1(lim 15510==-+-∞→x x x x （4）当0→x 时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。

求解时先
有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。

)
11(3s i n 1
1lim )11(3sin )11)(11(lim 3sin 11lim
000
+---=--+---=--→→→x x x x x x x x x x x x
=612131111lim 3sin 3lim 31)11(3sin lim
000=
⨯=+-⋅-=+--→→→x x x x x x
x x x 2.设函数
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>=<+=0s i n 0
01s i n )(x x x x a x b x x x f
问（1）
b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？
（2）
b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？ 解：（1）要
)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0
x f x f x x +
-→→=成立。

因为b b x x x f x x =+=--→→)1
sin (lim )(lim 00
所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0
x f x f x x +
-→→=成立，即1=b
时，函数在0=x 处有
极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 )()(l i m )(l i m 00
x f x f x f x x x x ==+
-→→
于是有
a f
b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

第三章 导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。

在学习的时候要侧重以下几点： ⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函
数的导数；知道可导与连续的关系。

)(x f 在点0x x =处可导是指极限
x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
存在，且该点处的导数就是这个极限的值。

导数的定义式还可写成极限
0)
()(lim
x x x f x f x x --→
函数
)(x f 在点0
x x =处的导数
)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点
))(,(00x f x 处切线的斜率。

曲线
)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为
)())((000x f x x x f y +-'=
函数
)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。

反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连
续，在
0x 点不一定可导。

⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，
例如函数
x
x y 2
)1(-=
，求
y '。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。

如果
我们把函数先进行变形，即
2
12
12322
21
2)1(-
+-=+-=
-=
x
x x x x x x x y
再用导数的加法法则计算其导数，于是有
2
3
21
21
2123-
---='x x x y
这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数
3
2
1
-+=
x x y ，求
y '。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得
)2ln(31
)1ln(21ln --+=
x x y
两端求导得
)
2(31)1(21--
+='x x y y
整理后便可得
)2(6821
2
3
---⋅
-+=
'x x x x x y
若函数由参数方程
1sin lim )(lim 0
==+
+→→x x
x f x x。