勾股定理在解答四边形问题中的应用

勾股定理在解答四边形问题中的应用
贵州省沿河县沙子镇初级中学 杨再发 （565302）
一.求四边形的面积，
例1.已知如图.在四边形ABCD 中.AB=4.BC=3.AD=13.CD=12.∠B=90°. 求四边形ABCD 的面积，
解：连结AC
因为：∠B=90°
所以：△ABC 是Rt △
因为：AB=4，BC=3
所以：由勾股定理得AC=5
因为：AC 2=52=25 CD 2=122=144 AD 2=132=169
因为：25+144=169
所以：AC 2+CD 2=AD 2
即：△ACD 是Rt △
所以：S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21A B ×BC+2
1
A C ×CD =21×4×3+21×5×12 =36
例2.已知如图.在四边形ABCD 中.AB=2.CD=1.∠A=60°.∠B=∠C=90°. 求四边形ABCD 的面积，
解：分别延长BC ，AD 交于点E
因为：∠B=∠C= 90°
所以：△ABE 和△CDE 是Rt △
因为：∠A=60°
所以：∠E=30°
因为：AB=2
所以：CD=1
所以：AE=2AB=4 CE=2CD=2
由勾股定理得DE=22DC CE -=2212-=3
BE=22AB AE -=2224-=23
所以：S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21A B ×BE-2
1
DE ×CD
=21×2×23-2
1×3×1 =233 例3. 已知一个工件如图,AB=26.BC=24,CD=6.AD=8, ∠ADC=90°.求这个工件的面积。

解：连结AC
因为：∠ADC=90°
所以：△ADC 是Rt △
因为：CD=6.AD=8
所以：AC=22CD AD +=2268+=10
因为：AC 2=102=100 BC 2=242=576 AB 2=262=676
因为：102+242=262
即：AC 2+ BC 2= AB 2
所以：△ABC 是Rt △
所以：S 工件图形=S △ABC -S △ADC =21A C ×BC-2
1
AD ×CD =21×10×24-21×8×6 =96
二.求角的读数。

例4.已知如图.在四边形ABCD中，A B︰BC︰CD︰DA=2︰2︰3︰1.且
∠B=90°.求∠DAB的读数。

解：连结AC
设AD=x
因为：A B︰BC︰CD︰DA=2︰2︰3︰1
所以：AB=BC=2x CD=3x
在△ABC中，因为∠B=90°.AB=BC=2x
所以：∠BAC=∠BCA=45°，AC=22x
在△ACD中，因为AC=22x，AD=x，CD=3x
因为:AD2=x2AC2=(22x)2=8x2CD2=(3x)2=9x2
因为: AD2+ AC2=CD2
所以：△ACD是Rt△
即：∠DAC=90°
所以：∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°
三.证明问题。

∠ABC
例5. 已知如图.在四边形ABCD中，∠ABC与∠DCB互余，AD=m,BC=n,证
明：BD2+AC2=m2+n2
证明：分别延长BA，CD交于点E
因为：∠ABC与∠DCB互余
所以：∠E=90°
则：△AED和△CEHB是Rt△
根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2
AC 2=CE 2+AE 2
所以：BD 2+AC 2=DE 2+BE 2+CE 2+AE 2
即：BD 2+AC 2=(DE 2+AE 2)+(BE 2+CE 2)
根据勾股定理得：DE 2+AE 2=AD 2，BE 2+CE 2=BC 2，
因为：AD=m,BC=n,
所以：BD 2+AC 2=m 2+n 2
四，求边长
例6. 已知如图.在四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°.AB=2，BC=3-3，CD=23，求 AD 的长。

解：分别过A ，D 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，过点A 作AG ⊥DF 于G ， 所以：四边形EAGF 是矩形
则：EF=AG AE=CF
在Rt △AEB 中，∠ABE=180°-∠ABC
=180°-135°=45°
因为：AB=2
所以：根据勾股定理得：AE=BE=1
在Rt △CFD 中，∠DCF=180°-∠BCD
=180°-120°=60°
因为：CD=23
所以：CF=2
1CD=3
根据勾股定理得：DF=22CF CD -=22)3()32(-=3
因为：AG=EF=BE+BC+CF=1+3-3+3=4
所以：DG=DF -GF=DF-AE=3-1=2
在Rt △AGD 中，根据勾股定理得：AD=22DG AG +=2224+=25 所以：AD=25
例7. 已知如图，点P 是矩形ABCD 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求PD 的长，
解；过P 作E F ∥BC 分别交AB 于E ，交CD 于F ，
因为：四边形ABCD 是矩形
所以：四边形AEFD ，EBCF 都为矩形
则：AE=DF BE=CF
在Rt △AEP 中，根据勾股定理得：AP 2=AE 2+PE 2，
⑴ 在Rt △BEP 中，根据勾股定理得：BP 2=BE 2+PE 2，
⑵ 在Rt △CFP 中，根据勾股定理得：CP 2=CF 2+PF 2，
⑶ 在Rt △DFP 中，根据勾股定理得：PD 2=DF 2+PF 2，
⑷ 由⑴+⑶得：AP 2+CP 2= AE 2+PE 2+ CF 2+PF 2
由⑵+ ⑷得：BP 2+ PD 2= BE 2+PE 2+ DF 2+PF 2
因为：AE=DF BE=CF
所以：AP 2+CP 2= BP 2+ PD 2
因为：PA=3，PB=4，PC=5
所以：32+52= 42+ PD 2
即：PD 2=18
所以：PD=32。