2.1.1合情推理课件人教新课标2

直升机
仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的.
火星上是否有生命？
地球
火星
行星、环绕太阳运行、绕 行星、环绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有季节的变更
温度合适生物的生存 有生命存在
大部分时间的温度合适地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：类比推理的过程（步骤）
移到另一根针上.
2
1
3
1.每次只能移动1个金属片； 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试估计：把n个金属片从1号针移到3号针,最少 需要移动多少次?
分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探 究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需 的次数.
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针， 用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金 属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动 顺序是：
当n=3时，
当n=4时，
视察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为
探究点2 类比推理
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手,他由此受到启示从而发明了锯.
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这
样得到的. 鱼类
形状，沉浮原理
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
（1）把第1个金属片从1号针移到2号针； （2）把第2个金属片从1号针移到3号针； （3）把第1个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为：（12）（13）（23） 共移动了3次. 当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2的情形，移动顺序是： （1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
A．36 B．37 C．38 D．39
3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B 、C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为____A____.
解：由丙可知，乙至少去过一个城市，由甲说可知 甲去过A，C且比乙多，故乙只去过一个城市，且 没有去过C城市，故乙只去过A城市.
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11,
......
猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之 和.
哥德巴赫猜想
任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数之 和.
哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 视察分析
猜想出一般性的结论
【2】统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或实验, 进而对整体作出推断.
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告知是个“一” 字；写两横，告知是个“二”字；写三横，告知是 个“三”字.学到这里，儿子就告知父亲说：
“我已经学会了写字，不 用先生再教了.”于是， 财主就把教书先生给辞退了.
从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是
一种猜想，未必可靠.
费马猜想：
猜想： 半个世纪之后，欧拉发现：
不是质数，从而推翻了费马的猜想 同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，
你能举一个例子吗？
1. 若平面上 n 个圆最多把平面分成 f(n)个区域，则 n＋1 个圆
地球
存在类 似特征
火星
视察、比较
地球上有生命存在
联想、类推
猜测火星上也可能有生命存在 猜想新结论
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理.
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, 我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原 则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.
一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖.
财主的儿子怎么写的?
1.理解归纳推理、类比推理的概念，掌握归纳 推理、类比推理的方法技能.(重点) 2.掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理 在数学发现中的作用．(难点)
探究点1 归纳推理
【1】1742 年 哥 德 巴 赫 (Goldbach ,1690 ～ 1764, 是德国一位中学教师,也是一位著名的数学 家, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)视察到:
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换 律和结合律，即
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法 的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使 得方程
都有唯一解
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小； 乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积 都等于本来的数.即
思例考3：：类你比认平为面平内面直几角何三中角的形哪的一勾类股图定形理可，以试作给为出 四空面间体中的四类面比体对性象质？的猜想． 分析：考虑到三直角角形三角形的两条边互相垂直，我
4.观察下列两式： ①sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°＝43； ②sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝43. 分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，
并明你的结论．
【解析】推广结论： sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝34. 证明如下： sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°) ＝34sin2α＋[cos(α＋30°)＋12sinα]2 ＝34sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°＋12sinα)2 ＝34sin2α＋43cos2α＝34.
【3】成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到. 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知 全体.
归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出
该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（简 称归纳）.
特点：部分→ 整体，个别→ 一般. ➢铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:所有金属都导电.
➢又如
猜想:
例1.已知数列{an}的第 1 项a1=1,且 (n=1, 2,…)，试归纳出这个数列的通项公式.
分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n 项an与序号n之间的对应关系.为此，我们先根据 已知的递推公式，算出数列的前几项.
解:当n=1时，a1=1; 当n=2时，
1,3,7,15. 视察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号 针，最少需要移动an次，则数列{an}的通项公式为：
思考：把n个金属片从1号针移到3号针, 怎样移动 才能到达最少的移动次数呢?
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可 以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：
最多把平面分成区域的个数为( B )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋2n
C．f(n)＋2n－2
D．f(n)＋2n＋2
2.已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，…，2012)，若 a1＋a2 ＋…＋a2012＝11，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2012＋1)2＝2099， 则 a1，a2，…，a2012 中是 1 的个数为( C )
（1）把上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针； （2）把第n个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次 （n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务. 而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属 片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金 属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第 （n-2）个金属片……如此继续.直到转化为移动1个 金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式
1.归纳推理、类比推理的定义. 2. 推理的一般思维过程: 视察、分析 概括、推广、类比 3.归纳、类比推理的特点
提出猜想
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;以视察分析为基础, 估计新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
类比推理 由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,估计 新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角
三角形的类比对象.
P Ｂ
a
c
s2 D s1 s3
Ｃ
b
(1)
Ａ
E
(2)
F
解：如上图，在Rt△ABC中，∠C=90°.设a,b,c分别 表示三条边的长度，由勾股定理，得
类比勾股定理的结构，我们猜想 成立.
【总结提升】
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;以视察分析为基础, 估计新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
没有礁石，就没有美丽的浪花；没有挫折， 就没有壮丽的人生.
（2）把第4个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面3个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为： （12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）； （13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13） （23）. 共移动了15次. 至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数 构成的数列.
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面两个金属片从2号针移到3号针； 其中（1）和（3）都需要借助中间针.用符号表示为： （13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13） 共移动了7次. 当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺 序是： （1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；
类比推理的特点
(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断 正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础, 类比出新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的 特殊属性.
(3)类比的结果具有猜测性.
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们类似的运算性质.
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算， 都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0” 和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此， 我们可以从上述4个方面来类比这两种运算. 解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后， 所得的结果仍然是一个实数.
类比推理
由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,估计新的结论; 具有发现的功能;结论不一定成立
从具体问 题出发
视察、分 析、比较、 联想
归纳、 类比
归纳推理
合情推理 类比推理
提出猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
例4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若
干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部