重积分(高数名师课件)超经典超全

Df(x,y)d2D 1f(x,y)d
D1
oD x
( 2 )f( x , y ) f( x ,y )则,D f(x,y)d0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果. 如 ,D 1 为D 圆 :x 2 y 域 2 1 在第一象限部分, 则有
D(x2y2)dxdy4D 1(x2y2)dxdy
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三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 性质２
当k为常数时，
k (fx,y)d kf(x,y)d.
D
D
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
I1yx3d, I2y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D )
I3 y12x3d
D
(A )I1 I2 I3 ; (B )I2 I1 I3;
(C )I3 I2 I1; (D )I3 I1 I2.
提示:
因 0 < y <1, 故
y2
1
yy 2;
又因 x30, 故在D上有
y12x3yx3y2x3
y 1
D
ox
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而
(xy)2(xy)3
D (x y )2 d D (x y )3 d
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例6. 估计下列积分之值
ID 1 0 cd 0 x 2 o d x y sc2 o ysD :xy y10
解: D 的面积为 (102)2200
因 此 ln x (y)d [lx n y)(2d ].
D
D
例5. 比较下列积分的大小:
y
D (x y )2 d, D (x y )3 d
其中 D :(x 2 )2 (y 1 )22 1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周 (x2)2(y1)22
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直 xy线 1相.而切 域 D 位
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xydxdy
x2y21
I2 xydxdy
xy1
11
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
n
Vl i0m k 1f(k,k)k
平面薄片的质量:
Ml i0m k n 1(k,k)k
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二、二重积分的概念
定义: 设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k( k 1 ,2 , ,n ),
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
定理2. 若有界函数 f(x,y)在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,则f(x,y)在D上可
积.
例如, f(x, y) x2 y2 在D : x y
0x1 y 0y1 1
上二重积分存在 ;但f(x,y) 1 在D 上 xy
D o 1x
二重积分不存在 .
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D
D
的 大 小 , 其 中 D是 三 角 形 闭 区 域 , 三 顶 点 各 为 (1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
故 ln x ( y ) 1 ,
D
o 1 2x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .
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练习题
一、 填空题:
1、 当函数 f ( x, y)在闭区域D 上______________时,
则其在 D上的二重积分必定存在 .
2、 二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
例1 不作计算，估计I e(x2y2)d的值， D 其中D是椭圆闭区域：ax22 by22 1 (0ba).
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3. 证明: 1 D (sx i2 n cy o 2 )d s2 ,其中D 为
0 x 1 ,0 y 1 .
y 1
解:
D
D (sixn 2coy2s)d
o 1x
2D six n 2 ( 4)d 0 x 2 1 , 1 2 sx i2 n 4 ) 1 ( ,
10
由于
1 102
100co21sxco2sy1001
D
10 o 10 x
10
积分性质5
200I 200 即: 1.96 I 2 102 100
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注：设函数 f(x,y)在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
( 1 )f(x , y ) f(x ,y )则,
引例1中曲顶柱体体积:
n
Vl i0m k 1f(k,k)kD f(x,y)d
引例2中平面薄板的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
D (x,y)d
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 f(x,y)在有界闭区域 D上连续, 则
f(x,y) 在D上可积.
称为积分变量积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域d上的有界函数机动目录上页下页返回结束研究人员用一只新猴子换出笼子中的一只猴子
第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题
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一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体ix n 2(y2)d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, 其 中 是 圆 域
D
x2y242的 面 积 ,1 6 .
二、 利用二重积分定义证明:
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .(其中k 为常数)
D
D
三、 比较下列积分的大小:
1、 ( x 2 y 2 )d与 ( x y)3 d ,其中D是由圆
3、 若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D D1 D2,当 f ( x, y) 0时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d ;
D1
D2
当 f ( x, y) 0时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d .
(k ,k ) k
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 (x,y)C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
M
若 (x,y)非常数 , 仍可用
y D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
对二重积分定义的说明： ( 1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是
任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
3)“近似和”
n
n
V Vk f(k,k)k
k1
k1
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4)“取极限”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 , a 2 P k x
令 m a ( x k ) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0m k 1f(k,k)k
f(k,k)
D
D 1
D 2
性质４ 若 为D的面积，1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
则面积元素为 ddxdy
o
故二重积分可写为
D
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
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如果 f(x,y)在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时 k x k y k,因此面积元素 d 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f(x ,y)d x d y.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
曲顶柱体
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面 zf(x,y)0
zf(x,y) D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解 区 域 D 的 面 积 ab ,
在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
1e0ex 2 y2ea 2,
由 性 质 6知 e d (x2y2) ea2,
D
ab e d (x2y2) abea2.
D
例2 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
r x y 1
解 当 r x y 1 时 , 0 x 2 y 2 (x y )2 1 ,
故 ln x 2 (y 2 ) 0 ;
又 当 xy 1 时 , lnx2 (y2)0,
于 是 ln x 2 (y 2 )dx 0 d . y
r x y 1
例 4 比 较 积 分 lnx (y)d与 [ln x(y)2]d
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1 , 2 , , n
zf(x,y)
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f(k,k)
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
(k ,k ) k
在每个 k 中任取一点 (k,k),则 V k f ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
3)“近似和”
y
n
n
M Mk(k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 m a ( k x ) 1 k n Ml i0m k n 1(k,k)k
x (k,k) k
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两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1,y2) 3242 5
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例 3判 断 ln x 2 (y 2 )dx 的 符 d 号 .y
解决.
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 , 2 , , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)“常代变”
在每个 k中任取一点(k,k)则, 第 k 小块的质量
M k ( k , k ) k ( k 1 , 2 , , n )
D (xy)dxdy0
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四、小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
Il i0 m k n 1f(k,k)k记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y) 可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
Df(x,y)d x, y称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
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在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，