定积分习题课

(sinx x3 )dx 0.
1 1
练习4（2）: 计算积分

1
0
1 x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
曲 线y 1 x 2 , x轴 ，x 0及x 1所 围 的面积（见下图）
面积值为圆的面积的
1 4
y
所以
1
0
1 x dx
2

4
1 x
a b
线x a, x b(a b)之间各部分面积的代数和; 而 f x 是非负的, 所以 | f ( x) | dx表示在区间 a, b 上所有以 f x 为曲边的正
b a
曲边梯形的面积; 而 | f ( x) dx | 则是 f ( x )dx的绝对值,
正确理解定积分的概念几何意义
(2) f ( x )dx, | f ( x ) | dx与 | f ( x )dx | 在几何意义上有不同的含义,
b a a a b b
绝不能等同看待,由于被积函数f x 在闭区间 a, b 上可正可负, 也就是它的图象可以在x轴上方, 也可以在x轴下方, 还可以在x 轴的上下两侧, 所以 f ( x )dx表示由x轴, 函数f x 的曲线及直

b
a
f ( x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
S1 S2
S3
2、定积分
形面积的代数和来表示。

b
a
f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
说明：
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
i 1
8 10 3 n
8 1 i 10 3 n(n 1)( 2n 1) i 1 n 6
2
n
4 1 1 10 (1 )( 2 ) 3 n n
练习： 利用定积分的定义, 计算 (t 2 5) dt.
0
2
(3)取极限

2
0
(t 2 5) dt limSn
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 y y=x2 y y=f(x)
0 1 2
x
0 a
y=g(x) b x
练习4 : 利用定积分的几何意义求下列定积分. (1) (sinx x 3 )dx.
1 1 1
(2)
0
1 x 2 dx;
解:
1 函数y sinx x 3在 1,1 上为奇函数
sinxdx
(2)
x2 dx 4 2 S=________.
2
(3)
4 S=________.
( x )dx
9
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
2
-1 0
2 x①Biblioteka 2 x①②
③
④
（3）在图③中，被积函数f ( x) 1在[a，b] 解： 义，可得阴影部分的面积为
b a
上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意
A dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
x



f ( x)dx A2 A1 0
2
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 练习：
值的正、负号。
1）．


2 0
sin xdx
2）.


0
2
1
x dx

2
2.利用定积分的几何意义，说明下列各式成立： 1）．

2
0
sin xdx 0
2）.

sin xdx 2 2 sin xdx
a a
b c b
性质3.

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
练习： 利用定积分的定义, 计算 (t 2 5) dt.( P45)
0
2
解 令f (t ) t 5.
2
0,2上等间隔地插入 (1) 分割 在区间 n 1分点,
2(i 1) 2i 0,2等分成n个小区间 把区间 , (i 1,2, , n n 2i 2(i 1) 2 n ), 每个小区间的长度为 x . n n n
n
4 1 1 lim[10 (1 )( 2 )] n 3 n n 8 22 10 . 3 3 2 22 2 ( t 5) dt . 0 3
题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积
例1:用定积分表示下列阴影部分的面积.
(1)
S=________. 4
做和式： f (i )x
i 1
n
n
f ( i )(b a) / n.
i 1
且有， lim f ( i )(b a) / n A(常数）
n 0 i 1
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分) 记作 b

a
f ( x)dx
b a
即A

f ( x) dx lim f ( i （ ) b - a) / n
②
③
④
（1）在图①中，被积函数f ( x) x 在[0，a ] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为
a 0 2
A x dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
n 0 i 1
n
积分上限
积分和
b n
即A f ( x)dx lim f ( i（ ) b - a) / n
a n 0 i 1
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： 定积分
0 1 2 2 0 2
题型二 利用定积分的几何意义求定积分
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(1)
2
b
2
4 x dx;
2
a
(2) 2 sinxdx;
2

分析:定积分
所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.

f ( x)dx 的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)
A3
A4
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
A1
A2
a f ( x )dx A1 A2 A3 A4
b
性质1.
3.定积分的基本性质
b a

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
b b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
A. 在 t 1 时刻，甲车在乙车前面 B. t 1 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻，两车的位置相同 D. t 0 时刻后，乙车在甲车前面
v乙
t 0 t1 x
解 : 1由y 4 x 2 知, x 2 y 2 4 y 0 , 其图象如下图.
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆, 由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积, 所以

2
2
4 x dx
2
2
2
2
2 .
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
④
解： （4）在图④中，被积函数f ( x) ( x 1) 2 1在[1 ， 2]
上连续，且在 [ 1 ， 0]上f ( x) 0, 在[0， 2]上f ( x) 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A [( x 1) 1]dx [( x 1) 1]dx
定积分习题课
复习：1、定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
i [ xi 1 , xi ] Si f ( i )x 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 任取 n
①
②
③
④
2 解： （2）在图②中，被积函数f ( x) x 在[1 ， 2]
上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A

2 2 1
x dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
练习： 利用定积分的定义, 计算 (t 2 5) dt.
0
2
2i ( 2) 近似代替、作和 取 i i 1,2, , n , n n n 2i 2 2 2 2i 则 f (t ) dt S n f x [( n ) 5] n 0 i 1 n
(2) 2 sinxdx;
2

y

2
解： 在右图中，被积函数f ( x) sin x
在[
f(x)=sinx


， ]上连续，且在 [ ， 0]上 2 2 2

1
A1 -1
A2
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以 2

2
a a
b
b
三者的值在一般情况下是不相同的.
衔接高考：
（2009广东（理）） 8．已知甲、乙两车由同一起点同时 出发,并沿同一路线（假定为直线） 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别 为 v甲 和 v乙 （如图2所示）．那么对 于图中给定的 t 0 和 t 1 ，下列判断 中一定正确的是 A

y
v甲