普通高等学校招生全国统一考试湖北卷

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=,{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】子集的应用.
【参考答案】D
【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( )
A ．0.35
B ．0.45
C ．0.55
D ．0.65 【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题
【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.
【参考答案】B
【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为
90.4520
=.故选B.
3．函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( )
A ．2
B ．3
C ．4 D.5 【测量目标】函数零点求解与判断.
【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想.
【参考答案】D
【试题解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得()π22x k k π=+∈Z ，故()ππ24
k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444
x =.所以零点的个数为145+=个.故选D. 4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【测量目标】命题的否定.
【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；
【参考答案】B
【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.
5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域分为两部分，使22{(,)4)}x y x y +得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A ．0x y += B. 10y -= C.0x y -= D.340x y +-=
【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.
【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.
【参考答案】A
【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为1-.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.
6．已知定义在区间（0,2）上的21π
-
函数的图象()y f x =如图所示，则(2)y f x =--的图象为 ( )
【测量目标】函数的图象的识别.
【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解
【参考答案】B
【试题解析】排除法：当1x =时，()()()21211y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；所以由排除法知选B.
7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，
{()}n f a 仍是等比数列，则{()}n f a 称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下(,0)(0,)-∞+∞函数： ( )
①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x x =；④()ln f x x =.
则其中是“保等比数列函数”的的()f x 序号为
A ．① ②
B ．③ ④
C ．① ③
D ．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.
【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项.
【参考答案】C
【试题解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n n
f a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，1
11()22()2
n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，11||()()||
n n n n a f a f a a ++=
==;对于④,11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C
8．设ABC △的内,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若三边的长为连续的三个正整数，且
A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ( )
A.4:3:2
B.5:6:7C ．5:4:3 D.6:5:4
【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.
【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.
【参考答案】D
【试题解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20b A a
=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得222
3202b b c a a bc
+-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157
=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.
9．设,,R a b c ∈,“1abc =”是
a b c ++”的 ( )
A ．充分条件但不是必要条件
B ．必要条件但不是充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.
【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件.
【参考答案】A
【试题解析】1abc =时，
=+= 而()()()(
)22a b c a b b c c a ab ++=++++++（当且仅当
a b c =
=，且1abc =，
即a b c
==
时等号成立
），
故a b c +=++；但当取2a b c ===,显然有
111a b c a b c ++++,但1abc ≠,即由
111a b c a b c ++++不可以推得1abc =；综上，1abc =是111a b c a b c ++++的充分不必要条件,应选A.
10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
A ． 112π-
B ．1π
C ． 21π-
D ．2π
【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.
【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.
【参考答案】C
【试题解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .
则212341π2π4
OAB S S S S S +++==
⨯=扇形, ① 而22132311111π,π1π2222S S S S π+=⨯=+=⨯=，即1232πS S S ++=, ②
由①②，得34S S =.
又由图象观察可知，1221
4OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形 2222221111π1π1π11π11π14422
=⨯-⨯-⨯-=⨯-=-. 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：
3442π221ππ
OAB OAB S S S P S S +-====-扇形扇形.故选C. 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位
置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，
若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人．
【测量目标】分层抽样的应用.
【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.
【参考答案】6
【试题解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有
84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.
12．若21k b -3i i 1i
b a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=. 【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.
【参考答案】3 【试题解析】因为3i i 1i
b a b +=+-，所以()()()3i i 1i i b a b a b b a +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a b b a b +=⎧⎨
-=⎩解得0,3
a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=. 13已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则 （Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为；
（Ⅱ）向量与3-b a 向量a 夹角的余弦值为.
【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等.
【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.
【参考答案】（Ⅰ）1010⎛ ⎝⎭
；（Ⅱ）5- 【试题解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量
为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,02
5cos 3551θ--===--⨯b a a b a a .
14．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩
,则目标函数23z x y =+的最小值是.
【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值.
【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解.
【参考答案】2
【试题解析】作出不等式组1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩
所表示的可行域(如下图的ABM △及其内部）,目
标函数23z x y =+在ABM △的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.
【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.
【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.
【参考答案】12π
【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为
1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是22π212π1412πV =⨯⨯⨯+⨯⨯=.
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s =.
【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.
【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果.
【参考答案】9
【试题解析】由程序框图可知：
第一次:1,0,1,1,23a s n s s a a a ====+==+=,满足判断条件3?n <;
第二次2,4,5n a a ===,满足判断条件3?n <
第三次:3,9,7n s a ===,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.
17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究
过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；
（Ⅱ）21k b -________.（用k 表示）
【测量目标】数学归纳法.
【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.
【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）
()5512
k k - 【试题解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====.
第17题图 10 6 3 1 ···
同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.
从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.
故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωλ=+-+∈R ,的图象关于直线
πx =对称，其中,πω为常数，且1(,1)2
ω∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4
，求函数()f x 的值域. 【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用.
【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.
【试题解析】解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-++
π=2sin(2)+6
x ωλ-. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2)16x ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23
k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2
ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5
. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04
f =，
即5πππ
2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=
故5π()2sin()36
f x x =-()f x 的值域为[22---.
19．（本小题满分12分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -11B D ⊥，上部是一
个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱
柱.2222ABCD A B C D -
（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；
（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，2220,A B =230AA =，113AA =（单位：厘米），每
平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少
元？
【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想
象，运算求解以及转化与划归的能力.
【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积
【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形， 所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB
AD A =，所以2AA 平面
ABCD.
连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.
因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥
根据棱台的定义可知，BD 与B1 D1共面.
又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D 平面ABCD BD =，
平面11BB D D
平面111111A B C D B D =，所以B1 D1∥BD. 于是 由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B1 D1∥BD ，可得211AA B D ⊥，.11AC B D ⊥
又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .
（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以
2221222()410410301300(cm )
S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.
又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的
等腰梯形， 所以2211111()42
S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()
221204(101120(cm )2=+⨯+=. 于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=，
故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）. A 2 B 2
C 2
D 2 C B A D A 1 B 1 C 1 D 1 第19题图
20．（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.
【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：
1
'n
n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.
【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，
由题意得1111
333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,
3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩
所以由等差数列通项公式可得
23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.
故35n a n =-+，或37n a n =-.
（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；
当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.
故37,1,2,
|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩
记数列{||}n a 的前n 项和为n S .
当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =+++
+5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-+
+-
2(2)[2(37)]311
510222
n n n n -+-=+
=-+.当2n =时，满足此式.
综上，24,1,31110, 1.22
n n S n n n =⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩
.21．（本小题满分14分）
设A 是单位圆2
2
1x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l
与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA (M>0,M 1)=≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y
轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的，K>0都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.
【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，
00(,)A x y ，则由
DM m DA (m>0,1)=≠且m ，
可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，. 01
y y m
=
① 因为A 点在单位圆上运动，所以2
2
21(0,1)y x m m m
+=>≠且 ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为.2
2
21(0,1)y x m m m
+=>≠且
因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0)
，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,-
，(0,
.
（Ⅱ）1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222112222
22,
,
m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠.于是由③式可得 212121212()()
()()
y y y y m x x x x -+=--+. ④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即
112
112
2y y y x x x +=
+.
于是由④式可得2
11212121121212()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=-
--+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ⋅=-，即212
m -=-，又0m >
，得m ，
故存在m 2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有
PQ PH ⊥.
22．（本小题满分14分）
设函数()(1)n
f x ax x b =-+,1
+1()e
x y f x n =<
，，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为.+1x y =
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()e
f x n <
. 【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.
【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.
【试题解析】解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在=1x y +上，可得11b +=，即
0b =.
因为1
'()(1)n n f x anx
a n x -=-+，所以'(1)f a =-.
又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，
0b =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1
()(1)n
n
n f x x x x x
+=-=-，1
()(1)(
)1
n n
f x n x
x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =
+，即'
()f x 在(0,)+1
n n +(0,)+∞上有唯一零点.
在(0,)+1
n
n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(
+)+1
n n ∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1
()1(1)n
n n n f n n +=++. （Ⅲ）令1()ln 1(0)t t t t ϕ'=-+>，则22111
()(0)t t t t t t
ϕ-'=-
=>. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减；
而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.
故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=.所以()0(1)t t ϕ>>， 即1ln 1(1)t t t
>->.
令11+
t n =，得11ln 1n n n +>+，即1
1ln()ln e n n n
++>， 所以1
1()1n n n
++>，即
11(1)e n n n n n +<+. 由
（
Ⅱ
）
知
，
1
n x n =
+，故所证不等式成立.
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12 (k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3
5，则sin 2α=
（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7
25
（10）从区间[]
0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，
sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为 （A
B ）3
2
（C
D ）2
（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点为
1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=
45，cos C=5
13
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0 1 2 3 4 ≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
0 1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5
4，
EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（
）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。