2017-2018学年湖北省沙市中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年湖北省沙市中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合P={x 0＜x＜2}，Q={2-1＜0}，那么P∩Q=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．
【详解】：∵集合P={x 0＜x＜2}，
Q={ 2-1＜0}={x -1＜x＜1}，
∴P∩Q={ x 0＜x＜1}=（0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．
【详解】由log2x-1≥0，解得x≥2．
∴函数的定义域为[2，+∞）．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
3.方程4x-3•2x+2=0的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用换元法分析：设t=2x，原方程可以变形为t2-3t+2=0，解可得：t=1或t=2，分别求出x的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2，
若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1，
则方程4x-3•2x+2=0的解集为{0，1}；
故选：C．
【点睛】本题考查指数的运算，关键是掌握指数的运算性质，属于基础题．
4.已知，则=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由-＜0，得，由此能求出结果．
【详解】∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
【详解】sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
6.函数的最大值为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【详解】函数≤2．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的最值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．
7.设函数，则下列结论错误的是（）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于对称
D. 在单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质判断各选项即可．
【详解】函数，根据正弦函数的性质有，所以的一个周期为-2π，∴A正确．
当时，可得函数f（x）=sin=1，∴f（x）的图象关于直线对称，∴B正确．
当时，可得函数f（x）=sin0=0，∴f（x）的图象关于对称，∴C正确．
函数的图象是由y=sinx向左平移可得，∴f（x）在单调递增不对．
故选：D．
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，对称中心的求法，属于基础题．
8.已知，则=（）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接展开倍角公式求得的值．
【详解】由，
得，即=2．
故选：C．
【点睛】本题考查倍角公式的应用，是基础的计算题．
9.，且α，β的终边关于直线y=x对称，若，则sinβ=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知画出图形，可得α+β=，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．【详解】如图，
由图可知，α+β=，
∵，∴sinβ=sin（）=cosα=．
故选：B．
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角差的正弦，是基础题．
10.若，，则下列各数中与最接近的是参考数据：
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，利用题中近似值即可得解.
【详解】∵.
而lg3≈0.48，∴365lg3-100≈75，
∴≈1075，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11.若函数的最大值为M，最小值为N，则
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件将f（x）变形，可设g（x）=，判断奇偶性，可得最值的关系，再由函数f（x），计算可得所求和．
【详解】函数，
可得.
由g（x）=，
可得g（-x）==-g（x），
即有g（x）在x∈[-2，-1 ∪[1，2 为奇函数，
可得g（x）的最小值s和最大值t互为相反数，
则M+N=（t+）+（s+）=3．
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性研究最值，注意运用函数的奇偶性和对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．
12.如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y 的最大值为（）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函数有关公式化简，即可求解最大值．
【详解】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，
则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，
设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，
即sinαcosα=，
则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=
t=sinα+cosα=sin（α+），
∵0≤α≤，∴≤α+≤，
∴.
∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的性质和转换思想的应用，由t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，将xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，转化为二次函数问题，属于中档题；
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则=______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用对数的运算法则求出a，由此能求出．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查指数与对数运算法则等基础知识，考查运用求解能力，基础题．
14.tan+=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，展开二倍角的正切求得，则答案可求．
【详解】∵，
∴，解得．
∴+．
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题．
15.函数的部分图象如下，则ω+φ=______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象由=sinφ=，f（）=sin（ω+）=0，结合图像确定ω 和φ的值即可得到结论．【详解】由题意知，f（0）=sinφ=，
∵0＜φ＜，∴φ=，
则f（x）=sin（ωx+），
则f（）=sin（ω+）=0，结合图像可得ω+，
得ω=，
∵0＜ω＜3，
∴当=0时，ω，
则ω+φ=+2，
故答案为：+2．
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键．
16.已知函数，若，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断函数y=sinx，y=在[-1，1 内的奇偶性，可得函数f（x）在[-1，1 内奇偶性，再由函数y=sinx，y=在[0，1 内的单调性，可得函数f（x）在[0，1 内的单调性，即可得出．
【详解】函数，
由函数y=sinx，y=在[-1，1 内都为奇函数，可得函数f（x）在[-1，1 内为偶函数，
由函数y=sinx，y=在[0，1 内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数f（x）在[0，1 内为增函数，
∵，∴ a-1 ，
解得或．
则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．
（1）求a的值；
（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2 的零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）；（2）一个零点.
【解析】
【分析】
（1）函数在a＞1时单调递增，再根据函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．即可得出．
（2）由（1）可得函数f（x）=log2x+2x．可得函数f（x）在[1，2 内单调递增，可得g（x）=f（x）-3在[1，2 内单调递增，最多有一个零点．再利用零点存在的判定定理即可得出．
【详解】解：（1）函数在a＞1时单调递增，
又函数的最大值与最小值之和为a2+a+1．
∴f（1）+f（2）=0+a+log a2+a2=a2+a+1，解得a=2．
（2）由（1）可得函数f（x）=log2x+2x．
可得函数f（x）在[1，2 内单调递增，
可得g（x）=f（x）-3在[1，2 内单调递增，最多有一个零点．
∵g（1）=f（1）-3=2-3=-1＜0，g（2）=f（2）-3=-3=2＞0，
可得函数在[1，2 内有且只有一个零点．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数函数的单调性、方程与不等式的解法、零点存在的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.已知A=log23•log316，B=10sin210°，若不等式A cos2x-3m cos x+B≤0对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
运用对数的运算性质可得A，由诱导公式可得B，即有4cos2x-3mcosx-5≤0对任意的x∈R都成立，
设t=cosx，-1≤t≤1，则4t2-3mt-5≤0对-1≤t≤1恒成立，由二次函数的图象和性质，列不等式组求解即可．【详解】解：A=log23•log316=•=4，
B=10sin210°=-10sin30°=-5，
不等式4cos2x-3m cos x-5≤0对任意的x∈R都成立，
设t=cos x，-1≤t≤1，
则4t2-3mt-5≤0对-1≤t≤1恒成立，
可得4+3m-5≤0，且4-3m-5≤0，
解得-≤m≤，
则m的范围是[-，．
【点睛】本题考查对数的运算性质和三角函数的图象和性质，考查二次不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
19.已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．
（1）若tanα=2，求tanβ的值；
（2）求tan（α-β）的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．
（2）利用（1）的结论，进一步根据基本不等式（或者是对勾函数的性质）求出结果．
【详解】解：（1）已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．
则：sinαcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ，
整理得sinαcosβ=2cosαsinβ，
所以tanα=2tanβ．
由于tanα=2，
所以tanβ=1．
（2）由（1）得tanα=2tanβ，
所以tan（α-β）=，
=，
由于，
所以tanα＞0，tanβ＞0．
由于，
所以=，
故tan（α-β）的最大值为．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式（或者是对勾函数的性质）的应用．
20.在如图所示的土地ABCDE上开辟出一块矩形土地FGCH，求矩形FGCH的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
延长DE与BA的延长线相交于M，延长HF交BA的延长线于点N，设矩形FGCH的HF=x，FG=y，运用三角形的相似可得x，y的关系式，再由面积为的表达式求最大值．
【详解】解：延长DE与BA的延长线相交于M，
延长HF交BA的延长线于点N，
设矩形FGCH的HF=x，FG=y，
∵AB=7，CD=10，BC=8，DE=6，
∴EM=2，FN=8-x，AM=3，AN=y-7，
由FN∥EM，可得
=，即=，
可
矩形FGCH的面积为.
当且仅当x=m，y=m取得等号，
则矩形FGCH的面积的最大值为m2．
【点睛】本题考查矩形面积的最值的求法，注意运用平面几何的相似知识和基
本不等式，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
21.已知函数（x∈R）．
（1）若T为f（x）的最小正周期，求的值；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，得．
（1）求出T=π，直接把x=代入函数解析式求值；
（2）利用正弦函数的图像和性质可得的范围，则答案可求．
【详解】（1）==．
，则=f（）=；
（2）由，得，
即，
则，∈．
∴不等式的解集为[π，，∈．
【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角不等式的解法，是中档题
22.已知函数．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有两个正根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1利用单调性的定义即可证明函数的单调性，从而可得最小值；
（2）由题意可得（x＞0）有两个正根，即两函数图像和有两个交点，结合函数的图像即可得解．
【详解】（1）函数.
设，则，
所以，，∴在上是减函数.
同理可得在上是增函数
当x=1时，f（x）取得最小值2；
（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有两个正根，
则有（x＞0）有两个正根.
令，则函数为开口向下的抛物线，对称轴为:x=1.
在上是增函数，在上是减函数.
所以两函数图像和有两个交点，只需保证即可.
得，解得.
实数m的取值范围为（1，+∞）．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意定义法求解对勾函数的单调性，考查函数方程的应用，属于中档题．。