绝对值方程(学生版)

绝对值方程
1．解绝对值方程：1
|56||5|13
x x -+-=．
2．解下列绝对值方程；
（1）|23||35|x x -=-；（2）|6|52x x +=-．
3．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：|2|1x =．
解：讨论：①当0x 时，原方程可化为21x =，它的解是12
x =． ②当0x <时，原方程可化为21x -=，它的解是12
x =-．
∴原方程的解为12x =
和12
-． 问题（1）：依例题的解法，方程1
|
|22
x =的解是 ； 问题（2）：尝试解绝对值方程：2|2|6x -=；
问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|2||1|5x x -+-=．
4．解下列绝对值方程；
（1）|2||7|11x x -++=；（2）|21||7|7x x -+-=．
5．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程2||3x x +=
解：当0x 时，方程可化为：23x x += 解得1x =，符合题意．
当0x <时，方程可化为：23x x -=解得3x =-，符合题意． 所以，原方程的解为：1x =或3x =-． 仿照上面解法，解方程：3|1|7x x +-=．
6．解绝对值方程：|1||2|3x x x ---=-．
7．解绝对值方程：|4||3|2x x -+-=．
8．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道：()(0)00(0)x x x x x x -<⎧⎪
==⎨⎪>⎩
当时当时当时，现在我们可以用这一结
论来解含有绝对值的方程．例如，解方程|1||23|8x x ++-=时，可令10x +=和230x -=，分别求得1x =-和
32，（称1-和3
2
分别为|1|x +和|23|x -的零点值），在实数范围内，零点值1x =-和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①1x <-②3
12
x -<③3
2
x
，从而解方程|1||23|8x x ++-=可分以下三种情况： ①当1x <-时，原方程可化为(1)(23)8x x -+--=，解得2x =-． ②当312x -<时，原方程可化为(1)(23)8x x +--=，解得4x =-，但不符合3
12
x -<，故舍去． ③当32x
时，原方程可化为(1)(23)8x x ++-=，解得103
x =． 综上所述，方程|1||23|8x x ++-=的解为，2x =-和10
3
x =． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|2|x +和|31|x -的零点值． （2）解方程|2||31|9x x ++-=．
9．根据绝对值定义直接写出方程的解：（1）|2||5|4
--+=
x x
（2）|2||3|5
++-=
x x
（3）|2||3|6
-+-=
x x
10．阅读下面材料并回答问题 观察
有理数2-和4-在数轴上对应的两点之间的距离是2|2(4)|=--- 有理数1和3-在数轴上对应的两点之间的距离是4|1(3)|=--
归纳：
有理数a 、b 在数轴上对应的两点A 、B 之间的距离是||a b -；反之，||a b -表示有理数a 、b 在数轴上对应点A 、B 之间的距离，称之为绝对值的几何意义
应用
（1）如果表示1-的点A 和表示x 点B 之间的距离是2，那么x 为 ； （2）方程|3|4x +=的解为 ；
（3）小松同学在解方程|1||2|5x x -++=时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x 对应点到1和2-对应点的距离之和，而当21x -时，取到它的最小值3，即为1和2-对应的点的距离．
由方程右式的值为5可知，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边，若x 的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出2x =； 同理，若x 的对应点在2-的左边，可得3x =-； 故原方程的解是2x =或3x =-
参考小松的解答过程，回答下列问题： （Ⅰ）方程2|3||4|20x x -++=的解为 ；
（Ⅱ）设x 是有理数，令|1|2|2|3|3|4|4|100|100|y x x x x x =-+-+-+-+⋯+- 下列四个结论中正确的是 （请填写正确说法的序号） ①有多于1个的有限多个x 使y 取到最小值 ②只有一个x 使y 取得最小值 ③有无穷多个x 使y 取得最小值 ④y 没有最小值
我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|||0|x x =-，也就是说，||x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为12||x x -表示在数
轴上1x ，2x 对应点之间的距离．
例1：解方程||2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或2-，即该方程的解为2x =或2x =-
例2：解不等式|1|2x ->，如图1，在数轴上找出|1|2x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-和3，则|1|2x ->的解集为1x <-或3x >．
例3：解方程|1||2|5x x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的点对应的x 的值在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边，若x 对应点在1的右边，由图2可以看出2x =．同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．
参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|3|4x +=的解为 ．
（2）不等式|3||4|9x x -++的解集为 ．
我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即|||0|x x =-，也就是说，||x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为12||x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离； 在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程||2x =．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的2x =±；
例2：解不等式|1|2x ->．如图，在数轴上找出|1|2x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则|1|2x ->的解为1x <-或3x >；
例3：解方程|1||2|5x x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边．若x 对应点在1的右边，如图可以看出2x =；同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-．故原方程的解是2x =或3x =-． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|3|4x +=的解为 ； （2）解不等式|3||4|9x x -++；
（3）若|3||4|x x a --+对任意的x 都成立，求a 的取值范围．。