【精选】家教文章评选积分表格 doc资料

家教文章评选积分表格
家教文章评选积分表格
参考标准：（四项实际得分写在对应的项数得分格内，汇总后以word形式发送到我的邮箱：）
1、育人为先：从点滴小事教育起、充分利用社会生活教育子女：尊敬长辈、明礼懂事、自立自强、遵守社会公德；（25分）
2、尊重孩子：低身和孩子说话，能够走进孩子的内心世界，做孩子的朋友；（25分）
3、关注健康：重视身体健康、注重心理疏导，健全孩子人格，让孩子轻松、自由、愉快的成长；（25分）
柯西积分的定理
复变函数积分的值一般与被积函数与积分路径的选取有关，但问题：什么情况下，积分与路径无关，即找出)(z f 沿任意一条简单闭曲线积分为零。

1825年柯西研究了上述问题，给出了解答，即：柯西积分定理：
定理1（柯西定理）如果函数在单连域 D 内处处解析，那么函数 )(z f 沿D 内任何一条
正向简单闭曲线C(图)的积分为零，即： ()dz z f c ⎰=0
§2 柯西中值定理和不定式极限
1．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。

2．设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得
)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-
证明 设)()()]()([)(222x f a b a f b f x x F ---=，则)(x F 在],[b a 上连续并可导，且)()()()(22b F a f b b f a a F =-=，由Rolle 定理，存在),(b a ∈ξ，使得
0)()()]()([2)(22='---='ξξξf a b a f b f F ，从而
)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-
3．设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数。

证明：
)()
(2)()(lim
2
a f h
a f h a f h a f h ''=--++→ 证明 因为f 在点a 处具有连续的二阶导数，所以f 在点a 的某邻域)(a U 内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对h 求导，有
)
())()((2
1))()(lim )()(lim (21)
()()()(lim
212)
()(lim
)(2)()(lim
000020a f a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f h h h h h ''=''+''=-'--'+'-+'=-'-'+'-+'=-'-+'=--++→→→→→ 4．设2
0π
βα<
<<。

证明存在),(βαθ∈，使得
θα
ββ
αcot cos cos sin sin =--
证明 设x x f sin )(=，x x g cos )(=，则g f ,都在],[βα连续，在),(βα可导，且
g f '',都不等于0，)()(βαg g ≠。

由柯西中值定理，存在),(βαθ∈，使得
θθαβαβsin cos cos cos sin sin -=--，即
θα
ββ
αcot cos cos sin sin =--
5．求下列不定式极限
（1）1cos lim sin 1lim
00==-→→x
e x e x
x x x （2）33
3sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim
6
6
=--=-→→x
x x x x x ππ
（3）111
sin lim sin 1
11
lim 1cos )1ln(lim 000=+⋅=--+=--+→→→x
x x x x x x x x x x
（4）2sin 2lim cos 1lim cos 1tan lim cos 11sec lim sin tan lim
02020200==-=-=--=--→→→→→x x
x x x x x x x x x x x x x x x （5）1sin 1
lim tan sec lim tan sec sec lim 5sec 6tan lim 2
2
22
2
====+-→
→→→x x x x x x x x x x x x ππππ （6）
2121lim 2lim 11lim )1(1lim 111
lim 00000=+=+=+--=---=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--→→→→→x xe e e xe e e e x x e e x x x x x x x x x x x x x x x （7）x
x x sin 0
)
(tan lim →
解 0tan lim 1
tan sec lim 1)ln(tan lim sin 1)ln(tan lim )ln(tan sin lim 202
20000=-=-===→→→→→x x x x x
x x x x x x x x x x x
所以1)
(tan lim 0)
ln(tan sin lim sin 0
===→→e e
x x x x
x x
（8）x
x x
-→11
1
lim
解 因为11
1
lim 1ln lim ln 11lim 111-=-=-=-→→→x x x x x x x x ，所以1ln 11
lim 1111lim ---→==→e e
x x x x
x x （9）x
x x 1
2
)1(lim +→
解 因为 012lim )1ln(lim )1ln(1lim 20202
0=+=+=+→→→x
x x x x x x x x 所以 1)1(lim 0)1ln(1
lim 1
2
20===++→→e e
x x x
x
x x
（10）0lim 11
lim
1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===+
++++→→→→→x x x x x x x x x x x x x x （11）=-=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-→→→422022220220sin lim sin sin lim sin 11
lim x x x x x x x x x x x x 31
242sin 4lim 1222cos 2lim 422sin lim
02
030-=-=-=-=→→→x x x x x x x x x x
（12）⎪⎭
⎫
⎝
⎛→→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x x x x x e x x tan ln 1
lim 1
202tan lim
=-=-
=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2cos sin lim 21
tan sec lim ln )ln(tan lim tan ln 1lim 202020
20 31122sin 2lim 62cos 1lim cos 1lim 22sin 21
lim 020030==-=⋅-=→→→→x x x
x x x x
x x x x x 所以
§卷积定理
5个基本事实:
1. 两直线平行,同位角相等
2. 同位角相等,两直线平行
3. 边角边
4. 角边角
5. 边边边
定理及其证明:
1. 同角的余角相等。

2. 对顶角相等。

3. 两直线平行,内错角相等
4. 同旁内角互补,两直线平行。

5. 平行于同一直线的两直线平行。

6. 三角形内角和为180º。

已知:△ ABC
求证:∠ A+∠ B+∠ C=180º
方法①证明:作BC 延长线CD ,过点C 作CE ∥ AB ∵ CE ∥ AB (已知
∴∠ 1=∠ B (两直线平行,同位角相等
∠ 2=∠ A (两直线平行,内错角相等
∵∠ 1+∠ 2+∠ ACB=180º(平角的定义
∴∠ A+∠ B+∠ ACB=180º(等量代换
方法②证明:过点A 作EF ∥ BC
∵ EF ∥ BC (已知
∴∠ 1=∠ C ,∠ 2=∠ B (两直线平行,内错角相等
∵∠ 1+∠ 2+∠ BAC=180º(平角的定义
∴∠ C+∠ B+∠ BAC=180º(等量代换
方法③证明:作CA 的延长线AD ,过点 A 作∠ 1=∠ C
∵∠ 1=∠ C (已知
∴ AE ∥ BC (同位角相等,两直线平行
∴∠ EAB=∠ B (两直线平行,内错角相等
∵∠ 1+∠ EAB+∠ BAC=180 º(平角的定义
∴∠ C+∠ B+∠ BAC=180 º(等量代换
方法④证明:在BC 上任取一点D ,过点D 分别作DE ∥AB 交AC 于 E , DF ∥AC 交AB 于 F .
∵ DE ∥ AB , DF ∥ AC B 2 B D
E 1
B
E
D 1
1
2
∴四边形AFDE 是平行四边形(平行四边形的定义∴∠BDF =∠C (两直线平行,同位角相等∠ EDC =∠ B (两直线平行,同位角相等∴∠ EDF =∠ A (平行四边形的对角相等
∵∠ BDF +∠ EDF +∠ EDC =180°(平角的定义∴∠ A +∠ B +∠ C =180°(等量代换
7. 两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等。

已知:在△ ABC 与△ DEF 中,∠ A=∠ D, ∠ B=∠ E , BC=EF 求证:△ ABC ≌△ DEF
证明:∵在△ ABC 中,∠ A+∠ B+∠ C=180º(三角形内角和等于180º
∴∠ C=180º-∠ A-∠ B (等式性质
∵在△ DEF 中,∠ D+∠ E+∠ F=180º(三角形内角和等于180º
∴∠ F=180º-∠ D-∠ E (等式性质
∵∠ A=∠ D, ∠ B=∠ E(已知
∴∠ C=∠ F (等量代换∵在△ ABC 与△ DEF 中
B=∠ E BC=EF C=∠ F
∴△ ABC ≌△ DEF(ASA
8. 等腰三角形每个内角都为60度。

9. 等边对等角。

已知:在△ ABC 中, AB=AC 求证:∠ B=∠ C
证明:作∠ BAC 平分线AD ,交BC 于点D
∵ AD 平分∠ BAC (已知
∴∠ BAD=∠ CAD (角平分线定义∵在△ ABD 与△ ACD 中AB=AC (已知∠ BAD=∠CAD (已证AD=AD(公共边∴△ ABD ≌△ ACD (SAS
∴∠ B=∠ C (全等三角形对应角相等
B C
D
A
B C E
A B C D E F
3
10. 三线合一。

已知:在等腰三角形ABC 中, AB=AC, AD⊥BC 求证:AD 平分∠BAC,BD=CD 证明:∵AD ⊥ BC (已知
∴∠ ADB=∠ ADC=90°(垂直定义∵△ ABC 为等腰三角形(已知∴ AB=AC(等腰三角形定义∴∠ B=∠ C (等边对等角
∵在△ ABD 与△ ACD 中
∠ B=∠ C (已证∠ ADB=∠ ADC (已证AD=AD
∴△ ABD ≌△ ACD (AAS
∴ BD=CD(全等三角形对应边相等∠ BAD=∠ CAD (全等三角形对应角相等
11. 等角对等边。

(辅助线不能选中线已知:在△ ABC 中,∠ B=∠ C 求证:AB=AC 证明:作AD ⊥ BC ∵ AD ⊥ BC (已知
∴∠ ADB=∠ ADC=90°(垂直定义
∵在△ ABD 与△ ACD 中B=∠ C (已知∠ ADB=∠ ADC (已证AD=AD
∴△≌△ ACD (AAS
∴ AB=AC(全等三角形对应边相等
12. 线段垂直平分线上的点到线端两端距离相等。

已知:CD 是AB 的垂直平分线, M 是
CD 上一点,
C
D
C
D
4
求证:MA=MB
证明:∵ O 为AB 中点(已知
∴ AO=BO
∵ CD ⊥ AB (已知
∴∠ MOA=∠ MOB=90°(垂直定义∵在△ MOA 与△ MOB 中MO=MO(公共边∠ MOA=∠ MOB (已证AO=BO(已证
∴△ MOA ≌△ MOB(SAS
∴ MA=MB(全等三角形的对应边相等
13. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

已知:MA=MB
求证:M 在线段AB 的垂直平分线上证明:1. 当M 不在AB 上时
过点M 作CD ⊥ AB, 交AB 于点O ∵ CD ⊥ AB (已知
∴∠MOA=∠MOB=90°(垂直定义∵MA=MB(已知∴∠A=∠B (等边对等角∵在△MOA 与△ MOB 中∠ MOA=∠ MOB(已证∠ A=∠ B (已证MA=MB(已知∴△ MOA ≌△ MOB(AAS
∴ AO=BO(全等三角形的对应边相等∵ AO=BO MO ⊥ AB
∴ CD 是线段AB 的垂直平分线∴点M 在线段AB 的垂直平分线上
2. 当M 在AB 上时∵ MA=MB
∴ M 是AB 中点
∴点M 在线段AB 的垂直平分线上
综上所述, M 是AB 垂直平分线上的点。

14. 三个角都相等的三角形是等边三角形。

15. HL (利用勾股定理证明
5
16. 角平分线上的点到角两边距离相等。

已知:OC 平分∠ AOB ,点P 在OC 上, PD ⊥ OA , PE ⊥ OB. 求证:PD=PE
证明:∵ OC 平分∠ AOB (已知
∴∠ AOP=∠ BOP (角平分线定理∵ PD ⊥ OA , PE ⊥ OB (已知
∴∠ PDO=∠ PEO=90°
∵在△ PDO 与△ PEO 中
∠ AOP=∠ BOP(已证∠ PDO=∠ PEO(已证OP=OP(公共边
∴△ PDO ≌△ PEO (AAS
∴ PD=PE
(全等三角形对应边相等
17. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

已知:如图, PD ⊥ OA , PE ⊥ OB , PD=PE 求证:点P 在∠ AOB 的角平分线上证明:连接并延长OP
∵在△ PDO 中, PD ⊥ OA (已知
∴△ PDO 是直角三角形
∵在△ PEO 中, PE ⊥ OB (已知∴△ PEO 是直角三角形
∵在Rt △ PDO 与Rt △ PEO 中PD=PE(已知PO=PO(公共边∴ Rt △ PDO ≌ Rt △ PEO (HL
∴∠ DPO=∠ EPO (全等三角形对应角相等∴ OP 平分∠ AOB ∴点P 在∠ AOB 的角平分线上
18. 平行四边形对角线互相平分
中, AC 、BD 交于点O 求证:AC 、BD 互相平分
证明:∵ ABCD 是平行四边形
∴ AB ∥ CD , AD ∥ BC(平行四边形定义
∵ AB ∥ CD
∴∠ 1=∠ 2,∠ 5=∠ 6(两直线平行,内错角相等∵ AD ∥ CB
A
O D E P
C
A
D
P
O E
B
D
C
6
∴∠ 3=∠ 4(两直线平行,内错角相等∵在△ ABC 与△ CDA 中,
∠ 1=∠ 2(已证
AC=AC (公共边5=∠ 6(已证
∴△ ABC ≌△ CDA (ASA
∴ AB=CD(全等三角形对应边相等∵在△ AOB 与△ COD 中, ∠ 1=∠ 2(已证
AB=CD(已证
5=∠ 6(已证
∴△ AOB ≌△ COD (ASA ∴ AO=CO,BO=DO 即AC 与BD 互相平分
19. 平行四边形对边相等。

20. 平行四边形对角相等。

已知:ABCD 是平行四边形求证:∠A=∠ C, ∠ B=∠ D 证明:∵ ABCD 是平行四边形
∴ AB ∥ CD AD ∥ BC ∵ AB ∥ CD
∴∠ A+∠ D=180°∵ AD ∥ BC
∴∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补∴∠B=∠D(同角的补角相等同理可得∠A=∠ C
21. 矩形的四个角都是直角22. 矩形的对角线相等。

已知:在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O 求证:AC=BD
证明:∵四边形ABCD 是矩形(已知∴ AB=CD(矩形的对边相等
∠ ABC=∠ DCB=90°(矩形的四个内角都是直角
∵在△ ABC 与△ DCB 中AB=DC(已证
∠ ABC=∠ DCB (已证
B C
A
D
7
BC=CB(公共边相等∴△ ABC ≌△ DCB (SAS
∴ AC=DB(全等三角形的对应边相等
23. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知:在Rt △ABC 中,∠B=90°, O 是AC 中点求证: B0=
2
1AC 证明:延长BO 至点D ,使BO=DO,连接AD , CD
∵ BO=DO, AO=CO(
∴四边形ABCD 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形∵在
中, ∠ABC=90°∴ABCD 是矩形(矩形定义∴AC=BD(矩形的对角线相等∵BO=DO ∴ BO=
21BD=2
1
AC(等量代换
24. 菱形的四条边都相等。

25. 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角已知:在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O 。

求证:AC ⊥ BD , AC 平分∠ BAD 和∠ BCD,BD 平分∠ ADC 和∠ ABC 。

证明:∵四边形ABCD 是菱形(已知
∴ AB=BC=CD=DA(菱形的四条边都相等
BO=DO(菱形对角线互相平分
∵在△ ABD 中, AB=AD, OB=OD ∴ AO ⊥ BD , AC 平分∠ BAD (等腰三角形三线合一同理可得:
AC平分∠ BCD , BD 平分∠ ADC 、∠ ABC
26. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知:在四边形ABCD 中, AD ∥ BC , AD=BC。

求证:四边形ABCD 是平行四边形。

证明:连接BD
∵ AD ∥ BC (已知∴∠ ADB=∠ CBD (两直线平行,内错角相等∵在△ ADB 与△ CBD 中(已知
∠ ADB=∠ CBD (已证
D
C D
C
A
8
DB=BD(公共边∴△ ADB ≌△ CBD (SAS
∴∠ ABD=∠ CDB (全等三角形对应边相等∴ AB ∥ CD (内错角相等,两直线平行∵在四边形ABCD 中
AD∥ BC , AB ∥ CD (已证
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形
27. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知:在四边形ABCD 中, OA=OC,OB=OD,AC、BD 交于点O
求证:四边形ABCD 是平行四边形
证明:∵在△ AOD 与△ COB 中(⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=OB OD CO AO 对顶角相等
21 ∴△ AOD ≌△ COB (SAS
∴∠ 3=∠ 4(全等三角形对应角相等∴ AD ∥ BC(内错角相等,两直线平行同理得AB ∥CD ∵ AD ∥ BC , AB ∥ CD
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形
28. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

已知:在四边形ABCD 中, AB=CD,AD=CB
求证:四边形ABCD 是平行四边形
证明:连接AC ∵在△ ABC 与△ CDA 中(⎪⎩
⎪
⎨⎧===公共边CA AC DA BC CD
AB
∴△ ABC ≌△ CDA (SSS
∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4(全等三角形对应角相等∵∠ 1=∠ 2
∴ AD ∥ BC(内错角相等,两直线平行同理得AB ∥ CD ∵ AD ∥ BC , AB ∥ CD
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A B D
B
D
A
9
29. 对角线相等的平行四边形是矩形。

已知,平行四边形ABCD 中, AC =BD 求证:平行四边形ABCD 是矩形证明:∵ ABCD 是平行四边形,
∴ BC =AD , BC ∥ AD ∵在△ ABC 与△ BAD 中
AC=BD
AD=BC
∴△ ABC ≌△ BAD ∴∠ ABC=
∠ BAD , ∵ BC ∥ AD
∴∠ ABC+∠ BAD =180°∴∠ ABC=∠ BAD =90°
ABCD 中,∠ BAD =90°∴ ABCD 是矩形
30. 有三个角是直角的四边形是矩形。

已知:在四边形ABCD 中,∠ A=90°, ∠ B=90°,∠ D=90°求证:四边形ABCD 是矩形
证明:∵∠ A=90°∠ B=90°(已知
∴∠ A+∠ B=180°(互补定义
∴AD ∥BC (同旁内角互补,两直线平行∵∠A=90°,∠D=90°(已知∴∠A+∠D=180°(互补定义
∴ AB ∥ CD (同旁内角互补,两直线平行∵ AD ∥ BC , AB ∥ CD (已证
∴四边形ABCD 是平行四边形(平行四边形定义
∵在ABCD 中,∠ A=90°
∴ ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形
31. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知:在ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,且AC ⊥BD 求证:ABCD 是菱形证明:∵ AC ⊥ BD
∴∠ AOB=∠ AOD=90°(垂直定义
∵ ABCD 是平行四边形
∴ BO=DO(平行四边形对角线互相平分
D
C
10
∵在△ AOB 与△ AOD 中
AO=OA
∠
AOB=
∠ AOD
BO=DO
∴△ AOB ≌△ AOD(SAS ∴ AB=AD
∵在ABCD 中, AB=AD ∴ ABCD 是菱形(菱形的定义
32. 四边都相等的四边形是菱形。

已知:四边形ABCD 中, AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD 是菱形证明:连接BD
∵在△ ABD 与△ CDB 中AB=CD AD=CB BD=DB
∴△ ABD ≌△ CDB (SSS
∴∠1=∠2全等三角形对应角相等∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行∵在四边形ABCD 中AB CD (已证
∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵在中,AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形(四边相等的平行四边形是菱形
33. 有一组邻边相等的矩形是正方形。

已知:四边形ABCD 是矩形, AB=BC 求证:四边形ABCD 是正方形证明:∵ ABCD 是矩形
∴ ABCD 是平行四边形且∠ ABC=90°∵在中, AB=BC ∠ ABC=90°
∴ ABCD 是正方形(有一组邻边相等,一个角为直角的平行四边形是正方形
34. 有一个角是直角的菱形是正方形。

已知:四边形ABCD 是菱形,∠ABC=90°求证:四边形ABCD 是正方形证明:∵四边形ABCD 是菱形, (已知
∴ AB=CD(菱形的邻边相等且ABCD 是平行四边形∵在中,∠ ABC=90°, AB=CD
A C D A C
D
∴ABCD 是正方形（有一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形）E 35. 在
同一底上，两角相等的梯形是等腰梯形。

在同一底上，两角相等的梯形是等腰梯形。

已知：如图1，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠C 求证：梯形ABCD 是等腰梯形 A 方法1：证明：延长BA、CD 相交于点E ∵∠B=∠C （已知）∴EB=EC （等角对等边）B ∵AD∥BC （已知）∴∠EAD=∠B , ∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）∴∠EAD=∠EDA （等量代换）∴EA=ED （等角对等边）∵AB=BE－AE CD=CE－CD （由图可知）∴AB=CD （等量代换）∴梯形ABCD 为等腰梯形（梯形定义）方法2：证明：作DE∥AB 交BC 于点E ∵AB∥DE (已知∴∠DEC=∠B （两直线平行，同位角相等）∵∠B=∠C (已知 B ∴∠DEC=∠C （等量代换）∴DE=DC （等角对等边）∵AD∥BE,AB∥DE (已知∴四边形ABED 为平行四边形(平行四边形定义∴AB=DE （平行四边形对边相等）∴AB=DC （等量代换）∴梯形ABCD 为等腰梯形（梯形定义）方法3：证明：作AM⊥BC , DN⊥BC ∵AM⊥BC (已知∴∠AMB=90°（垂直定义）∵DN⊥BC (已知∴∠DMC=90°（垂直定义）∴∠AMB=∠DMC（等量代换）∵AM 和DN 是梯形的高∴AM=DN 在△ABM 与△DCN 中∠B=∠C （已知）11 D C A D C E A D B M N C
∠AMB=∠DMC （已证）AM=DN （已证）∴△ABM≌△DCN （AAS）∴AB=DC （全等三角形对应边相等）∴梯形ABCD 为等腰梯形（梯形定义）36. 等腰梯形同一底上两底角相等。

等腰梯形同一底上两底角相等。

已知：在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC 求证：∠B=∠C 证明：作DE∥AB 交BC 于点E A ∵四边形ABCD 是等腰梯形（已知）∴AB=DC （等腰梯形定义）∵AD∥BE,AB∥DE (已知B ∴四边形ABED 为平行四边形(平行四边形定义∴AB=DE （平行四边形对边相等）∴DE=DC （等量代换）∴∠DEC=∠C （等边对等角）∵AB∥DE （已知）∴∠B=∠DEC （两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠C （等量代换）37. 等腰梯形两条对角线相等。

等腰梯形两条对角线相等。

已知：在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC,AB=CD. 对角线AC,BO 交于点O。

求证：AC=BD 证明：∵四边形ABCD 等腰梯形∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形的底角相等）∵在△ABC 与△DCB 中AB=CD ∠ABC=∠DCB BC=BC ∴△ABC≌△DCB(SAS ∴AC=BD（全等三角形对边相等）38. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

D 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线求证：DE∥BC，DE= D C E A E F 1 BC 2 12 证明：如图延长DE 至F，使EF=DE，连接CF B C
∵在△ADE 与△CFE 中AE=CE ∠AED=∠CEF EF=DE ∴△ADE≌△CFE（SAS）∵AD=CF,∠ADE=∠F ∴BD∥CF ∵D 为AB 中点∴AD=BD ∴BD=CF ∵BD∥CF，BD=CF ∴四边形DBCF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF//BC，DF=BC ∴DE//BC，DE= 1 1 DF= BC 2 2 39. 对角线相等的梯形是等腰梯形。

对角线相等的梯形是等腰梯形。

已知：在梯形ABCD 中，AB//CD，AC＝BD 求证：ABCD 为等腰梯形证明：过 B 作BE//AC，交DC 延长线于 E 点∵AC//BE，AB//CD, ∴ACBE 为平行四边形∴AC＝BE ∵AC＝BD D ∴BE＝BD ∵在△ BDE 中，BE＝BD，∴∠BDE＝∠BED ∵AC//BE ∴∠ACD＝∠BED ∴∠ACD＝∠BDE ∵在△ACD 与△BDC 中AC＝BD ∠ACD＝∠BDE CD＝CD ∴△ACD≌△BDC ∴AD＝BC ∴梯形ABCD 为等腰梯形A B C E 40. 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

13
已知：在梯形ABCD 中，AD∥BC，E、F 分别是AB、CD 边上的中点求证：EF∥AD，且EF= 1 （AD+BC） 2 证明：连接AF 并延长交BC 的延长线于G ∵AD∥BC ∴∠ADF=∠GCF ∵F 是CD 的中点∴DF=FC ∵在△ADF 与△CGF 中∠AFD=∠CFG DF=FC ∠ADF=∠GCF ∴△ADF≌△CGF(ASA ∴AF=FG，AD=CG ∴F 是AG 的中点∵E 是AB 的中点∴EF 是△ABG 的中位线∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG/2 ∴EF=(AD+BC/2 ∵AD∥BC ∴EF∥AD∥BC A D E F B C G 14
some of the weights to go to zero. In that case, only a few input maps would contribute significantly to a given output map, as opposed to all of them. Let’s write the error for a single pattern as ˜n = En + λ E i,j |(αij | (11 and find the contribution of the regularization term to the gradient for the weights ci . The userdefined parameter λ controls the tradeoff between minimizing the fit of the network to the training data, and ensuring that the weights mentioned in the regularization term are small according to the 1-norm. We will again consider only the weights αi for a given output map and drop the subscript j . First, we need that ∂Ω = λ sign(αi (12 ∂αi everywhere except a t the origin. Combining this result with (8 will allow us to derive the contribution: ∂Ω ∂ Ω ∂αk = (13 ∂ci ∂αk ∂ci k = λ |αi | − αi k |αk | . (14 The final gradients for the weights ci when using the penalized error function (11 can be computed using (13 an d (9: ˜n ∂E n ∂Ω ∂E = + . ∂ci ∂ci ∂ci 3.4 Making it Fast with MATLAB In a network with alternating sub-sampling and convolution layers the main computational bottlenecks are: 1. During the feedforward pass: downsampling the convolutional layer’s output map s 2. During backpropagation: upsampling of a higher sub-sampling layer’s delta’s to match the size of the lower convolutional layer’s output maps. 3. Application of the sigmoid and it’s derivative. Performing the convolutions during both the feedforward and backproagation stages are also
computational bottlenecks of course, but assuming the 2D convolution routine is efficiently implemented, there isn’t much we can do about it. One might be tempted however to use MATLAB’s built-in image processing routines to handle the up- and down-sampling operations. For up-sampling, imresize will do the job, but with significant overhead. A faster alternative is to use the Kronecker product function kron, with the matrix to be upsampled, and a matrix of ones. This can be an order of magnitude faster. When it comes to the down-sampling step during the feedforward pass, imresize does not provide the option to downsample by summing over distinct n-by-n blocks. The “nearest-neighbor” method will replace a block of pixels by only one of the original pixels in the block. An alternative is to apply blkproc to each distinct block, or some combination of im2col and colfilt. While both of these options only computes what’s necessary and nothing more, repeated calls to the userdefined bl ock-processing function imposes significant overhead. A much faster alternative in this case is to convolve the image with a matrix of ones, and then simply take every-other entry using standard indexing (i.e. y=x(1:2:end,1:2:end. Although convolution in this case actually computes four times as many outputs (assuming 2x downsampling as we really need, this method is still (empirically an order of magnitude or so faster than the previously mentioned approaches. Most authors, it seems, implement the sigmoid a ctivation function and it’s derivative using inline function definitions. At the time of this writing, “inline” MATLAB function definitions are not at all like C macros, and take a huge of amount of time to evaluate. Thus, it is often worth it to simply replace all references to f and f with the actual code. There is of course a tradeoff between optimizing your code and maintaining readability.
4 4.1 Practical Training Issues (Incomplete Batch vs. Online Updates Stochastic descent vs. batch learning. 4.2 Lea rning Rates LeCun’s stochastic online method (diagonal approx to the hessian. Is it worth it? Viren’s idea: at least have a different rate for each layer, because gradients at the lower layers are smaller and less reliable. LeCun makes similar statements in [5]. 4.3 Choice of Error Function Squared error (MLE, vs. cross-entropy. The latter can be more effective for some classification tasks [2]. 4.4 Checking Your Work with Finite-Differences Finite-differences can be an indispensable tool when it comes time to verify that you’ve got your backpropagation imeplementation (or derivation correct. It is remarkably easy to make many mistakes and still have a
network that appears to be learning something. Checking the gradients your code produces against finite difference estimates is one way to make sure you don’t have any errors: For a single input pattern, estimate the gradients using second-order finite differences ∂E E (wi + − E (wi − ≈ ∂wi 2 and check against the gradients your backpropagation code is returning. Epsilon should be small, but not too small to cause numerical precision problems. Something like = 10−8 could be ok. Note that using finite differences to train the network is wildly inefficient (i.e. O(W 2 for W weights in the network; the O(W speed advantage of backpropagation is well worth the hassle. References [1] C.M. Bishop,“Neural Networks for Pattern Recognition”, Oxford University Press, New York, 1995. [2] F.J. Huang and Y. LeCun. “Large-scale Learning with SVM and Convolutional for Generic Object Categorization”, In: Proc. 2020 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, vol. 1, pp. 284-291, 2020. [3] Y. LeCun, B. Boser, J. Denker, D. Henderson, R. Howard, W. Hubbard, and L. Jackel. “Backpropagation applied to handwritten zip code recognition”, Neural Computation, 1(4, 1989. [4] Y. LeCun, L. Bottou, Y. Bengio, and P. Haffner.“Gradient-based learning applied to document recognition”, Proceedings of the IEEE, vol. 86, pp. 2278–2324, November 1998.
[5] Y. LeCun, L. Bott ou, G. Orr, and K. Muller. “Efficient BackProp”, in: Neural Networks: Tricks of the trade, G. Orr and K. Muller (eds., “Springer”, 1998. [6] J.P. Rauschecker and B. Tian. “Mechanisms and streams for processing of ’what’ and ’where’ in auditory cortex,” Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 97 (22, 11800–11806, 2000. [7] T. Serre, M. Kouh, C. Cadieu, U. Knoblich, G. Kreiman and T. Poggio. “A Theory of Object Recognition: Computations and Circuits in the Feedforward Path of the Ventral Stream in Primate Visual Cortex”, CBCL Paper #259/AI Memo #2020-036, Massachusetts Institute of Technology, October, 2020. [8] T. Serre, A. Oliva and T. Poggio. “A Feedforward Architecture Accounts for Rapid Categorization”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, (10415, pp.6424-6429, 2020. [9] S. Sh amma. “On the role of space and time in auditory processing,” TRENDS in Cognitive Sciences, Vol. 5 No. 8, 2001.
[10] P.Y. Simard, Dave Steinkraus, and John C. Platt. “Best Practices for Convolutional Neural Networks Applied to Visual Document Analysis”, P roceedings of the International Conference on Document Analysis and Recognition, pp. 958-962, 2003. [11] F.E. Theunissen, K. Sen, and A. Doupe, “Spectral-temporal receptive fields of nonlinear auditory neurons obtained using natural sounds,” J.
Neuro., V ol. 20, pp.2315–2331, 2000. [12] D. Zoccolan, M. Kouh, J. DiCarlo and T. Poggio. “Tradeoff between selectivity and tolerance in monkey anterior inferior temporal cortex”, J. Neurosci., 2020.
总概（预）算表
建设项目名称：
编制范围：第页共页01表
人工、主要材料、机械台班数量汇总表
建设项目名称：
编制范围：第页共页02表
建筑安装工程费计算表
建设项目名称：
编制范围：第页共页03表
其他工程费与间接费综合费率计算表
建设项目名称：
编制范围：第页共页04表
人工、材料、机械单价汇总表(07表) 建设项目名称：
编制范围：
建筑安装工程费计算数据表(08-1表)
分项工程预算表(08-2表)
工程量清单
第章
清单第页共页
报价原始数据表。