一点一练高考数学第十一章选修4系列专题演练文(含两年高考一年模拟)

第十一章 选修4系列
考点35 选修4－1 几何证明选讲
两年高考真题演练
1．(2015·天津)
如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )
A.8
3 B ．3 C.103 D.52 2．(2015·广东)
如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．
3．(2015·江苏)
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .
4．(2015·陕西)
如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．
5．(2014·新课标全国Ⅰ)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
考点35 选修4－1 几何证明选讲
一年模拟试题精练
1．(2015·天津和平区一模)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，若PB ＝OB ＝1，OD 平分∠AOC ，交圆O 于点D ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE 的长等于( )
A.
77 B.377 C.577
D.7 2．(2015·茂名市二模)如图，CD 是圆O 的切线，点B 在圆O 上，BC ＝23，∠BCD ＝60°，则圆O 的面积为________．
3．(2015·广东揭阳市一模)如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知AE ＝1，AB ＝3，CF ＝42，则BC 边的长为________．
第3题图 第4题图
4．(2015·北京丰台区)如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB ＝8，BC ＝1，则CD ＝________；AD ＝________．
5．(2015·天津六校联考)如图，PC 、DA 为⊙O 的切线，A 、C 为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，则AB ＝________．
6．(2015·东莞市一模)如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，∠ACE ＝40°，则∠P ＝________．
第6题图 第7题图
7．(2015·东莞市三模)如图，AB 为圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，且AC ＝22，过点
C 的割线交AB 的延长线于点
D ，若CM ＝MN ＝ND ，则BD ＝________．
8．(2015·晋冀豫三省二调)
如图，△ABO 三边上的点C 、D 、E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB . (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；
(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝1
2，求⊙O 的半径r 的长．
9．(2015·桂林一调)
已知：直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于A 、F (不与B 重合)，直线l 与⊙O 相切于C ，交AB 于E ，且与A 、F 垂直，垂足为G ，连接AC .
(1)求证：∠BAC ＝∠CAG ； (2)求证：AC 2
＝AE ·AF .
考点36 选修4－4 坐标系与参数方程
两年高考真题演练
1．(2015·湖南)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．
2．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝t 2
，
y ＝22t
(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．
3．(2014·广东)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2ρcos 2
θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．
4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2
2
t ，y ＝1＋2
2t (t 为参数)的普通方程
为________．
5．(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2
＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半
径．
6．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝3＋1
2
t ，
y ＝32t
(t 为参数)．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
7．(2014·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
考点36 选修4－4 坐标系与参数方程
一年模拟试题精练
1．(2015·北京东城区一模)已知点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫5，2π3，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，－52
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－532，52
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52，532 2．(2015·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin θ＝1截得的弦长为( )
A. 3 B ．2 C ．23 D ．3 3．(2015·海淀区一模)圆⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ
(θ为参数)被直线y ＝0截得的劣弧长
为( )
A.
2π
2
B ．π
C ．22π
D ．4π 4．(2015·北京丰台区一模)在极坐标系中，曲线ρ2
－6ρcos θ＋2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A 、B 两点，则A 、B 两点间的距离等于( )
A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．4
5．(2015·安徽桐城市一模)在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，切线长为( )
A ．4
B ．7
C ．2 2
D ．3 2
6．(2015·黄山市质检)在平面直角坐标系内，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋3
2
t y ＝2＋3
2t (t 为参数)，若M ，N 分别是曲线C 与直线l 上的动点，则|MN |的
最小值为( )
A.2＋1 B ．32－1 C.2－1 D ．32－2
7．(2015·广东揭阳市一模)在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4，截得的
弦长为________．
8．(2015·北京朝阳区一模)极坐标系中，设ρ＞0，0≤α＜2π，曲线ρ＝2与曲线ρsin θ＝2交点的极坐标为________．
9．(2015·东莞一模)在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4作圆ρ＝2cos θ的切线，切线的极
坐标方程为________．
10．(2015·天津和平区一模)已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2
y ＝4t ＋3(t 为参数)，圆C 的极
坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离等于________．
11．(2015·芜湖市质检)设M 、N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上
的动点，则M 与N 的最小距离是________．
12．(2015·天津河北区一模)在以O 为极点的极坐标系中，若圆ρ＝2cos θ与直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 相切，且切点在第一象限，则实数a 的值为________．
13．(2015·天津红桥区一模)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，π6(m ＞1)到直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝
3的距离为2，则m 的值为________．
14．(2015·郑州市一预)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t
为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值．
考点37 选修4－5 不等式选讲
两年高考真题演练
1．(2015·江苏)解不等式x＋|2x＋3|≥2.
2．(2015·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求at＋12＋bt的最大值．
3．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
4．(2015·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；
(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
5．(2014·江苏)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2
)(1＋x 2
＋y )≥9xy .
6．(2014·新课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1
b
＝ab .
(1)求a 3＋b 3
的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
考点37 选修4－5 不等式选讲
一年模拟试题精练
1．(2015·广州市综合测试一)已知a 为实数，则|a |≥1是关于x 的绝对值，不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．(2015·内江四模)若f (x )＝log 13x ，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ，S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2a 2
＋b 2，a ，b 为正实数，则R ，S ，T 的大小关系为( )
A ．T ≥R ≥S
B ．R ≥T ≥S
C ．S ≥T ≥R
D ．T ≥S ≥R
3．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －4a |(a ＞0)，若对任意x ∈R ，都有f (2x )－1≤f (x )，则实数a 的最大值为( )
A.18
B.14
C.1
2
D ．1
4．(2015·淮北模拟)若对任意x ∈[0，5]，不等式1＋m 4x ≤24＋x
≤1＋n
5x 恒成立，则
一定有( )
A ．m ≤12，n ≥－13
B ．m ≤－12，n ≥－1
3
C ．m ≤－12，n ≥13
D ．m ＜－12，n ＞－1
3
5．(2015·茂名市二模)不等式|x －2|－|x ＋1|≤1的解集为________．
6．(2015·蚌埠市质检)设m 是实数，若x ∈R ，不等式|x －m |－|x －1|≤1恒成立，求m 的取值范围________．
7．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －k |＋|x －2k |，若对任意的x ∈R ，f (x )≥f (3)＝f (4)都成立，则k 的取值范围为________．
8．(2015·天津市和平区一模)若不等式2|x |－1＞a (x 2
－1)时满足－1≤a ≤1的所有a 都成立，则x 的取值范围是________．
9．(2015·天津和平区一模)若实数x ，y ＞0且xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________，
x 2＋4y 2
x ＋2y
的最小值是________． 10．(2015·东莞市三模)若关于x 的不等式a ≥|x ＋1|－|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．
11．(2015·淮北模拟)已知m ，n ，x ，y 均为正实数，且m ≠n ，则有m 2x ＋n 2y ≥（m ＋n ）2
x ＋y ，
当且仅当m x ＝n y 时等号成立，利用此结论，可求函数f (x )＝43x ＋3
3－x
，x ∈(0，2)的最小值为
________．
12．(2015·郑州市一预)已知函数f (x )＝m －|x －1|－2|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；
(2)若二次函数y ＝x 2
＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．
13．(2015·唐山市摸底)f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |(m ＞0)．
(1)证明：f (x )≥4；
(2)若f (2)＞5，求m 的取值范围．
参考答案 第十一章 选修4系列 考点35 选修4－1 几何证明选讲
【两年高考真题演练】
1．A [由圆的相交弦定理得CM ·MD ＝AM ·MB ＝29
AB 2
＝8，
CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而CN ＝3，所以NE ＝83
，选A.]
2．3 [连接OC ，则OC ⊥DE ，∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ，∴OC AD ＝
OE AE
，由切割线定理得CE 2
＝
BE ·AE ，∴BE (BE ＋4)＝12.即BE 2＋4BE －12＝0，解得BE ＝2(舍负)，∴AD ＝OC ·AE OE ＝2×6
4
＝
3.]
3.
证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角， 可知△ABD ∽△AEB .
4．(1)证明 因为DE 为⊙O 直径， 则∠BED ＋∠EDB ＝90°，
又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED ，
又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA .
(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝AD
CD
＝3，又BC ＝2， 从而AB ＝32，
所以AC ＝AB 2
－BC 2
＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2
＝AD ·AE ，
即AE ＝AB 2
AD
＝6，
故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 直径为3.
5．证明 (1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .
由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .
(2)如图设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD . 所以AD ∥BC ， 故∠A ＝∠CBE .
又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .
由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形． 【一年模拟试题精练】
1．B [在△POD 中，∠POD ＝120°，OD ＝1，OP ＝2，故PD 2
＝OD 2
＋OP 2
－2OD ·OP cos 120°，
PD ＝7，
由切割线定理：PA 2
＝PE ·PD ，得PE ＝377
.]
2．4π [连接CO 并延长，交于圆O 于点A ，连接AB ， ∵AC 是圆O 的直径，∴∠CBA ＝90°， ∵∠BCD ＝60°，∴∠CAB ＝60°，
由AC ＝2R ＝BC
sin 60°
得：R ＝2，故圆O 的面积为πR 2
＝π·4＝4π.]
3.57 [∵AE ＝1，AB ＝3，∴BE ＝AB 2－AE 2
＝22，由sin ∠FAC ＝sin ∠EAB ＝223＝FC AC ，
得AC ＝6，由BC 2
＝BA 2
＋CA 2
－2BA ·CA cos ∠BAC 得BC ＝57.]
4．3
1210
5
[连接OD ，由切割线定理： CD 2＝BC ·AC ，得CD ＝3，cos ∠AOD ＝－cos ∠DOC ＝－45
，
由余弦定理：AD 2＝AD 2＋DO 2
－2AD ·DO cos ∠ADO 得，AD ＝12105.]
5．4 3 [∵CD ＝AD ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，∴DP ＝4， 又∵∠DAP ＝90°，∴AP ＝DP 2
－AD 2
＝23，
由切割线定理：PC 2
＝PA ·PB ＝PA ·(PA ＋AB )，得：AB ＝4 3.] 6．80° [连接BC ，∵∠ACE ＝∠ABC ＝40°，∠ABP ＝90°， ∴∠PBC ＝∠PCB ＝50°， ∴∠P ＝180°－2∠PCB ＝80°.] 7.
477
[由切割线定理：AC 2＝CM ·CN ，可得CM ＝MN ＝DN ＝2，故DC ＝6，AD ＝CD 2－AC 2
＝27，
由割线定理：BD ·DA ＝DN ·DM 得BD ＝47
7.]
8.
(1)证明 ∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OB OE
，又OD ＝OE ，∴OA ＝OB . 如图，连接OC 1∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB . 又点C 在⊙O 上，∴直线AB 是⊙O 的切线．
(2)解 如图，延长DO 交⊙O 于点F ，连接FC ，由(1)知AB 是⊙O 的切线， ∴弦切角∠ACD ＝∠F ， ∴△ACD ∽△AFC ， ∴tan ∠ACD ＝tan ∠F ＝1
2
，
又∠DCF ＝90°，∴CD FC ＝1
2，
∴AD AC ＝CD FC ＝1
2
，而AD ＝2，得AC ＝4. 又AC 2
＝AD ·AF ，
∴2·(2＋2r )＝42
，于是r ＝3.
9．证明 (1)连接BC ，由AB 为⊙O 的直径，
所以∠BAC ＋∠CBA ＝90°，又因为∠CAG ＋∠GCA ＝90°，又因为GC 与⊙O 相切于C ，所以∠GCA ＝∠CBA ，所以∠BAC ＝∠CAG .
(2)由(1)可知∠EAC ＝∠CAF ，连接CF ，又因为GE 与⊙O 相切于C ，所以∠GCF ＝∠CAG ＝∠EAC ＝∠ECB ，
所以∠AFC ＝90°＋∠GCF ＝90°＋∠ECB ＝∠ACE ，所以△AFC ∽△ACE ，所以AC AE ＝AF AC
，所
以AC 2
＝AE ·AF .考点36 选修4－4 坐标系与参数方程
【两年高考真题演练】
1．x 2
＋y 2
－2y ＝0 [将极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘ρ得ρ2
＝2ρsin θ，∴x 2
＋
y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]
2．(2，－4) [∵曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C 1的直角
坐标方程为x ＋y ＝－2.曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2
，y ＝22t
(t 为参数)，则其直角坐标方程为y
2
＝8x ，联立⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，
y 2＝8x ，解得x ＝2，y ＝－4，即C 1，C 2的交点坐标为(2，－4)．]
3．(1，2) [曲线C 1普通方程2x 2
＝y ；曲线C 2普通方程x ＝1，联立曲线C 1与曲线C 2，
可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2
＝y ，x ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此两曲线的交点坐标为(1，2)．] 4．x －y －1＝0 [直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －
y －1＝0.]
5．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .
圆C 的极坐标方程为ρ2
＋22ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin θ－22cos θ－4＝0，
化简，得ρ2
＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝6，所以圆C 的半径为 6. 6．解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2
＝23ρsin θ， 从而有x 2
＋y 2
＝23y ，所以x 2
＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1
2t ，32t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0)．
7．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C
在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3.故D 的直角坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32. 【一年模拟试题精练】
1．D [∵x ＝ρcos θ＝5·cos 2π3＝－52，y ＝ρsin θ＝53
2
，
∴M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52，532]
2．C [圆ρ＝2和直线ρ sin θ＝1的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝4和y ＝1.∵圆心(0，0)到y ＝1的距离为1，
∴圆x 2
＋y 2
＝4被y ＝1截得的弦长为：222
－12
＝2 3.]
3．A [将圆的参数方程化为直角坐标，方程：(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2，
圆心(－1，1)到y ＝0的距离为1，故截得的劣弧所对圆心角为π
2，因此，所截得劣弧长
为π2×2＝2
2
π.] 4．B [将曲线转化为直角坐标方程x 2
＋y 2
－6x ＋2y ＋6＝0，即(x －3)2
＋(y ＋1)2
＝4，易得A ，B 的横坐标，分别为3＋3，3－3，故|AB |＝3＋3－(3－3)＝2 3.]
5．C [曲线C 的直角坐标系方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)．圆
心(0，2)到(23，2)的距离为23，故切线长为（23）2
－22
＝2 2.]
6．B [曲线C 和直线l 的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2＝1和x －y ＋5＝0，圆心(1，0)到x －y ＋5＝0的距离，d ＝
|1－0＋5|
12＋1
2
＝32， 故：|MN |的最小值为d －1＝32－1.] 7．4 3 [直线和圆的直角坐标方程为：
x ＋y －22＝0和x 2＋y 2＝16，
圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离为：
d ＝
|0＋0－22|
2
＝2，故所截弦长为242－22
＝4 3.]
8.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2 [ρ＝2和ρsin θ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2
＝4和y ＝2，其交点坐标为
(0，2)，其对应极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2.]
9．ρsin α－1＝0 [点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1，1)， ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，易得过点(1，1)的圆的切线方程为y ＝1，故对应极坐标方程为ρsin α－1＝0.]
10．1 [直线l 和圆C 的直角坐标方程为： 4x －3y ＋1＝0和(x －1)2
＋y 2
＝1，
故圆心(1，0)到4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1－3×0＋1|
5
＝1.]
11.2－1 [曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝22的直角坐标方程为x 2
＋(y
＋1)2
＝1和x ＋y －1＝0，圆心(0，－1)到x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0－1－1|2
＝2，故M 与
N 的最小距离为d －1＝2－1.]
12．1＋ 2 [圆ρ＝2cos θ和直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1和x ＋y －a ＝0，
∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线的距离d ＝|1＋0－a |2＝1，即a ＝1±2，∵切点
在第一象限，∴a ＝1＋ 2.]
13．5 [点M 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
32
m ，12m ， 直线ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0.
⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
m ，12m 到3x ＋y －6＝0的距离
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
3·32m ＋12m －62
＝2，得m ＝5或m ＝1(舍)．]
14．解 (1)圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.所以圆心坐
标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫2，
5π4； (2)直线l 的普通方程：22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离
d ＝
|22＋1－1|3＝22
3
，所以|AB |＝2
2－89＝210
3
，点P 到直线AB 距离的最大值为r ＋d ＝2＋
223＝523
， S max ＝1
2×
2103×523＝105
9
.考点37 选修4－5 不等式选讲 【两年高考真题演练】
1．解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－1
3
.
综上，原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≤－5或x ≥－13.
2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，
b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t
＝34－t ＋t ≤[（3）2
＋12
][（4－t ）2
＋（t ）2
] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当
4－t 3
＝t
1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.
3．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得2
3<x <1；
当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.
所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪23<x <2.
(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2a －13，0，
B (2a ＋1，
0)，C (a ，a ＋1)，
△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2
>6，故a >2.
所以a 的取值范围为(2，＋∞)．
4．证明 (1)因为(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2
＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2
＞(c ＋d )2
. 因此a ＋b ＞c ＋d .
(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2
＜(c －d )2,
即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .
由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，
即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是
(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.
因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．
5．证明 因为x ＞0，y ＞0，
所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0.
故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .
6．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab
， 得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．
故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．
所以a 3＋b 3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26·ab ≥4 3.
由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.
【一年模拟试题精练】
1．B [由|a ≥1|得a ≤－1或a ≥1，因为关于x 的不等式|x |＋|x －1|≤a 有解，而|x |＋|x －1|＝|x |＋|1－x |≥|x ＋1－x |＝1，所以a ≥1，故|a |≥1是关于x 的绝对值不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的必要充分条件．]
2．A [∵a ，b 为正实数，∴
2a ＋b ≤22ab ＝1ab ， 2a ＋b ＝4a 2＋b 2＋2ab ≤2a 2＋b 2≤22a 2b 2＝1ab ，
∵f (x )＝log 13
x 在(0，＋∞)上为增函数，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ， S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2
＋b 2，∴T ≥R ≥S .]
3．B [令F (x )＝f (2x )－f (x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＜a 2
，4x －2a －1，a 2≤x ＜a ，2x －1，a ≤x ＜2a ，－2x ＋8a －1，2a ≤x ＜4a ，－1，y ≥4a ，
其图象如图所示，由题意得，4a －1≤0，即a ≤14
.]
4．B
[令f (x )＝24＋x ，其图象如图所示，对∀x ∈[0，5]，1＋m 4x ≤f (x )恒成立，需满足m
4≤f ′(0)，即：m ≤－12，对∀x ∈[0，5]，f (x )≤1＋n 5x 恒成立，需满足n 5≥k AB ＝23－15－0， 即n ≥－13
.] 5．[0，＋∞) [当x ＜－1时，2－x ＋x ＋1＝3＞1，不满足要求． 当－1≤x ≤2时，2－x －x －1＝－2x ＋1≤1，解得x ∈[0，2]， 当x ＞2时，x －2－x －1＝－3≤1恒成立，
故x ∈(2，＋∞)满足要求，综上所述x ∈[0，＋∞)．]
6．[0，2] [令f (x )＝|x －m |－|x －1|，
当m ＝1时，f (x )＝0≤1恒成立，
当m ＞1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜1－2x ＋m ＋1，1≤x ≤m ，－m ＋1，x ＞m
需满足m －1≤1，
得m ∈(1，2]．
当m ＜1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜m ，2x －m －1，m ≤x ≤1，1－m ，x ＞1，
需满足1－m ≤1，得m ∈[0，1)，综上所述，
m ∈(0，2]．]
7．[2，3] [f (3)＝f (4)，即|3－k |＋|3－2k |－|4－k |－|4－2k |＝0，
当k ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，32时，3－k ＋3－2k －4＋k －4＋2k ＝－2≠0，不合要求． 当k ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2时，3－k ＋2k －3－4＋k －4＋2k ＝4k －8≠0，不合要求． 当k ∈[2，3]时，3－k ＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝0，符合要求．
当k ∈(3，4]时，k －3＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝2k －6≠0，不合要求．
当k ∈(4，＋∞)时，k －3＋2k －3－k ＋4－2k ＋4＝2≠0，不合要求．
故k ∈[2，3]，f (3)＝f (4)＝k ，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2x ， x ＜k k ， k ≤x ≤2k 2x －3k ， x ＞2k
当k ∈[2，3]时，f (x )≥k 恒成立，
故k ∈[2，3]．]
8．(－2，1－3)∪(3－1，2) [(x 2
－1)a ＋1－2|x |＜0，
当x 2－1＝0时，即x ＝±1，－1＜0，满足要求．
当x 2－1＞0时，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，需满足：(x 2－1)·1＋|－2|x |＜0， 解得x ∈(1，2)∪(－2，－1)．
当x 2－1＜0时，即x ∈(－1，1)，需满足(x 2－1)·(－1)＋|－2|x |＜0，
解得x ∈(－1，1－3)∪(3－1，1)，
综上所述，x ∈(3－1，2)∪(－2，1－3)．]
9．2 2 2 [x ＋2y ≥2x ·2y ＝22， x 2＋4y 2x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋4y 2－4xy x ＋2y ＝x ＋2y －4x ＋2y ≥2x ·2y －42x ·2y
＝22－2＝ 2.] 10．[－3，＋∞)
[令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2，
其图象如图所示，若a ≥f (x )
存在实数解，
则a ∈[－3，＋∞)．]
11.259 [f (x )＝43x ＋33－x ＝43x ＋99－3x ＝223x ＋329－3x ≥（2＋3）2
3x ＋9－3x ＝259，当且仅当23x ＝39－3x ，即：x ＝65
∈(－10，2)．] 12．解 (1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤1，4－3x ，x ＞1，由f (x )＞2易得不等式解集为x
∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，0； (2)由二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2
＋2，该函数在x ＝－1时取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＋m ，x ＜－1－x －3＋m ，－1≤x ≤1－3x ＋m －1，x ＞1
在x ＝－1处取得最大值m －2，
所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.
13．(1)证明 由m ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |≥ ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－x －4m ＋x ＋m ＝4m ＋m ≥4，当且仅当4m ＝m ， 即m ＝2时取“＝”，所以f (x )≥4.
(2)解 f (2)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2－4m ＋|2＋m |. 当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m
＋4， 由f (2)＞5，得m ＞1＋172
， 当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m
＋m ， 由f (2)＞5，0＜m ＜1.
综上，m 的取值范围是(0，1)∪⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋172，＋∞.。