研究生《数值分析》试卷

研究生“数值分析”试题
一， 填空（20分）
1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。

2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。

3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈n
k k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。

4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。

5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。

6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）
（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩
⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f
二，（10分）
在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？
三，（10分）
四，（10分）
设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，
试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件
)()(j j x f x p =
=j 0，1，2，3
)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式
五，（10分）
试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰3
11dx x
，并精确到小数点后4位。

六，（10分）
利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式
)''4'(3
1111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶
七，（10分）
设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=
证明： 当1
)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。

当1)]('[)(-=ααf m 时，)(x F 至少是二阶的。

八，（10分）
试对方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-128243220301532321
321321x x x x x x x x x ，对收敛的Gauss －Seidel 迭代格式，并取T x )0,0,0()0(=， 计算到)2(x
九，（10分）
试证明高斯求积公式∑⎰=-≈n
k k k x f A dx x f 111)()(的求积系数k A 恒为正。