人教A版数学必修1限时规范训练：3.1.1方程的根与函数的零点

第三章 3.1 3.1.1
【基础练习】
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
【答案】A
【解析】B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．
2．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－1，x ≤0，
log 2x ，x ＞0.则函数y ＝f (x )的零点个数
是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】f (x )＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2－1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，
log 2x ＝0，
解得x ＝－1或x ＝1．故选C ． 3．(2018年甘肃模拟)函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫
12，1 B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
【答案】C
【解析】函数f (x )＝log 2x ＋x －4在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12－4＝－92<0，f (1)＝0＋1－4＝－3<0，f (2)＝1＋2－4＝－1<0，f (3)＝log 23－1>0，故函数f (x )的零点所在区间为(2,3)．故选C ．
4．(2019年宁夏银川校级月考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数
f (x )在R
上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(－1,0)
D ．[－1,0)
【答案】D
【解析】当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1
3，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有
一个根即可，即e x ＝－a ．当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)．故选D ．
5．已知函数f (x )为奇函数且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【答案】0
【解析】∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0．
6．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫15，＋∞
【解析】因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，
即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0，a ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
5a －1≤0，a ＋1≤0，
解得a ≥1
5或a ≤
－1．
7．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在区间(0,1)内恰有一个解，求a 的取值范围． 【解析】设f (x )＝x 2－2ax ＋a ． 由题意知f (0)·f (1)＜0，
即a (1－a )＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1－a ＜0或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＜0，1－a ＞0， ∴a ＜0或a ＞1．
8．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1上有没有实数根？为什么？ 【解析】设f (x )＝log 2x ＋x 2， f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＋⎝⎛⎭⎫122＝－1＋14＝－34
＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，即f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0，函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是连续的，因此，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦
⎤1
2，1上有实根． 【能力提升】
9．设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
【答案】B
【解析】设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫12－2<0，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1<0，f (2)＝23－⎝⎛⎭
⎫120>0．∴
函数f (x )的零点在(1,2)内．
10．(2019年山东济南校级模拟)已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －1
4
x
的零点依次为a ，b ，c ，则( )
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
【答案】B
【解析】由f (x )＝0得e x ＝－x ．由g (x )＝0得ln x ＝－x ．由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1．在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0，0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c ．故选B ．
11．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________． 【答案】0或－1
4
【解析】a ＝0时，f (x )只有一个零点－1；a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－1
4．
12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3．∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3．
f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1． ∴f (x )＝x 2－x ＋3．
(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示． 由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点．
由图象，得⎩⎪⎨⎪
⎧
3＋m ＞0，114＋m ＜0，
解得－3＜m ＜－11
4
，
即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－11
4．
由Ruize收集整理。

感谢您的支持！。