七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题试题(附答案)

七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题试题(附答案)
一、幂的运算易错压轴解答题
1．解答下列问题
（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值；
（2）已知3m＝4，3n＝2，求的值；
（3）若，求的值．
2．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．
（1）填空：32a＝________；3b+c的值为________；
（2）求32a﹣3b的值．
3．
（1）你发现了吗？，，由上述计算，我们发；
________
（2）请你通过计算，判断与之间的关系；
（3）我们可以发现： ________
（4）利用以上的发现计算： .
4．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．
例如：因为23=8，所以（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）
5．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若2×2x=8，求x的值；
（2）若（9x）2=38，求x的值．
6．
（1）已知10m=4，10n=5，求10m+n的值．
（2）如果a+3b=4，求3a×27b的值．
7．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．
例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：
设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n，
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20)
8．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）若2×2x=8，求x的值；
（2）若（9x）2=38，求x的值．
9．综合题
（1）已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
（2）已知2×8x×16=223，求x的值．
10．综合题。

（1）若10x=3，10y=2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6=0，求8m•4n的值．
11．计算
（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1
（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4
（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．
12．请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
②一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为
（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算下列各对数的值：
log24________ ； log216=________ ； log264=________ ．
（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是________ ，那么log24、log216、log264存在的关系式是________
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log a M+log a N=________ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）请你运用幂的运算法则a m•a n=a m+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．
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一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y=2x×2y
=3×5
=15
（2）解：∵3m＝4，3n＝2，
∴ =
=
=16÷8×3
=6
（3）解：
=
解析：（1）解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y=2x×2y
=3×5
=15
（2）解：∵3m＝4，3n＝2，
∴ =
=
=16÷8×3
=6
（3）解：
=
=
=
∵，
∴，
∴原式=2×2+29=33．
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法、除法法则计算即可；（3）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再由可得，代入计算即可．
2．（1）16；40
（2）解：32a−3b＝32a÷33b
＝（3a）2÷（3b）3
＝42÷53
＝ 16125 ．
【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•
解析：（1）16；40
（2）解：32a−3b＝32a÷33b
＝（3a）2÷（3b）3
＝42÷53
＝．
【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•3c＝5×8＝40；
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则进而计算得出答案．3．（1）=
（2）解：计算得 (54)3=12564 ， (45)-3=12564
∴ (54)3=(45)-3
（3）=
（4）解：利用以上的发现计算： =
【解析】
解析：（1）=
（2）解：计算得，
∴
（3）=
（4）解：利用以上的发现计算： =
【解析】【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为 = ，再利用同底数幂进行计算可得
4．（1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【
解析：（1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，
∴（3，27）=3；
∵50=1，
∴（5，1）=0；
∵2﹣2= ，
∴（2，）=﹣2；
故答案为：3，0，﹣2．
【分析】（1）根据定义的新运算，可得出对应的c的值。

（2）根据小明的新发现，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求证。

5．（1）解：原方程等价于
2x+1=23 ，
x+1=3，
解得x=2
（2）解：原方程等价于
34x=38 ，
4x=8，
解得x=2
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，
解析：（1）解：原方程等价于
2x+1=23，
x+1=3，
解得x=2
（2）解：原方程等价于
34x=38，
4x=8，
解得x=2
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出x的值。

（2）根据幂的乘方公式（a m)n=a mn，可得出x的值。

6．（1）解：10m+n=10m•10n=5×4=20
（2）解：3a×27b=3a×33b=3a+3b=34=81
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
解析：（1）解：10m+n=10m•10n=5×4=20
（2）解：3a×27b=3a×33b=3a+3b=34=81
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
7．（1）3；0；-2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4 ，3y =5，∴，∴（3，20）=x+y ，
∴(3，4)+(3，5)=(3，20)
【解析】（1）∵33=27
解析：（1）3；0；-2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则， =5，∴，∴
（3，20）=x+y ，
∴(3，4)+(3，5)=(3，20)
【解析】（1）∵33=27，50=1，2-2= ，∴（3，27）=3，（5，1）=0，（2，）=-2．
故答案依次为：3，0，-2
【分析】根据新定义的运算得到幂的运算规律，由幂的运算规律得到相等的等式.
8．（1）解：原方程等价于
2x+1=23 ，
x+1=3，
解得x=2；
（2）解：原方程等价于
34x=38 ，
4x=8，
解得x=2．
【解析】【分析】（1）根据am=an（
解析：（1）解：原方程等价于
2x+1=23，
x+1=3，
解得x=2；
（2）解：原方程等价于
34x=38，
4x=8，
解得x=2．
【解析】【分析】（1）根据a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案；（2）根据a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案．
9．（1）解：∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
22m+3n=22m•23n=ab；
②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= a2b2
（2）解∵2×8
解析：（1）解：∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
22m+3n=22m•23n=ab；
②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=
（2）解∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6：
【解析】【分析】（1）分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；
（2）将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
10．（1）解：∵10x=3，10y=2，
∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4
=33×24
=432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0，
∴3m+2n=6，
∴8m•4n=23
解析：（1）解：∵10x=3，10y=2，
∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4
=33×24
=432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0，
∴3m+2n=6，
∴8m•4n=23m•22n=23m+2n=26=64
【解析】【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
11．（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ 13 ）﹣1
=1﹣8+1﹣3
=﹣9
（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6
（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（
解析：（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1
=1﹣8+1﹣3
=﹣9
（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6
（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
=3x﹣2x+2﹣3x﹣3
=﹣2x﹣1
（4）解：（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4
=m8+m8+m8
=3m8
【解析】【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及结合零指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案；（3）直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案；（4）直接利用幂的乘方运算法则化简求出答案．
12．（1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264
（3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax•a y
解析：（1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264
（3）log a（MN）
（4）证明：设log a M=x，log a N=y，
则a x=M，a y=N，
∴MN=a x•a y=a x+y，
∴x+y=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．
【解析】【解答】（1）∵22=4，∴log24=2，
∵24=16，∴log216=4，
∵26=64，∴log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）log a M+log a N=log a（MN）；
（4）证明：设log a M=x，log a N=y，
则a x=M，a y=N，
∴MN=a x•a y=a x+y，
∴x+y=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；
（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；
（4）首先可设log a M=b1， log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．。