贵州省遵义市2021届新高考数学二模考试卷含解析

贵州省遵义市2021届新高考数学二模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
2
|3100M x x x =--<，{}
2
9N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）
的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}
35x x <≤ B ．{
3x x <-或}5x >
C ．{}
32x x -≤≤- D ．{}
35x x -≤≤
【答案】 C 【解析】 【分析】
根据韦恩图可确定所表示集合为()R N
M ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合
,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示()R N
M ，
()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}
{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.
故选：C . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
2．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪
==⎨⎪-⎩
，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则
（ ）
A ．sgn[g （x ）]＝sgn x
B ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnx
C ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]
D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]
【答案】A 【解析】 【分析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （x）]＝﹣1，综合有：sgn[g （x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 3．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）
A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017
年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有
2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量
1 4067.4
3815.574000
1 6.6%
⨯≈<
+
，故D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
4．定义在R上的函数()
f x满足(4)1
f=，()
f x
'为()
f x的导函数，已知()
y f x
'
=的图象如图所示，若两个正数,a b满足(2)1
f a b
+<，
1
1
b
a
+
+
则的取值范围是（）
A．(
11
,
53
)B．
1
(,)(5,)
3
-∞⋃+∞ C．(
1
,5
3
)D．(,3)
-∞
【答案】C
【解析】
【分析】
先从函数单调性判断2a b
+的取值范围，再通过题中所给的,a b是正数这一条件和常用不等式方法来确定1
1
b
a
+
+
的取值范围.
【详解】
由()
y f x
'
=的图象知函数()
f x在区间()
0,∞
+单调递增，而20
a b
+>，故由()
(2)14
f a b f
+<=可知24
a b
+<.故
14217
25
111
b a
a a a
+-+
<=-+<
+++
，
又有
1171
2
13
33
22
b b
b b
a
++
>=-+>
+--，综上得
1
1
b
a
+
+
的取值范围是(
1
,5
3
).
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
5．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）
A．58厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米
【解析】 【分析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203
π
π⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.
6．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -
C ．43i -+
D ．43i --
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】
由34zi i =+，则3434
431
i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 7．已知集合A {}0,1,2=，B={}
(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
【答案】A 【解析】 【分析】
先解A 、B 集合，再取交集。

【详解】
()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A ．()
85424π
B ．()
85824π
C ．()
8
54216π
D ．()
8
58216π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】
最上面圆锥的母线长为2，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为1
224π42π2
⨯=，下面圆锥的母线长为252π48π⨯=，侧面积为
1
258π85π2
⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()
854216π，故选C.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 9．若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =-，则sin cos A A -的值为（ ） A 15
B ．15
C 5
D ．5-3
【答案】A 【解析】 【分析】
由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2
A π
π∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1
sin cos 03
A A =-<， 又由角A 是三角形的内角，所以(
,)2
A π
π∈，所以sin cos A A >，
因为()2
25sin cos 12sin cos 1()3
3
A A A A -=-=--=
，
所以sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
10．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2） C ．（﹣1，0] D ．（﹣1，0）
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】
因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45 B ．105 C ．150 D ．210
【答案】B 【解析】 【分析】
分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【详解】
集合M 含有3个元素的子集共有3
620C =，所以20k =．
在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）
中： 最大元素为3的集合有2
21C =个；
最大元素为4的集合有2
33C =；
最大元素为5的集合有2
4
6C =； 最大元素为6的集合有2
510C =；
所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝
． 故选：B ． 【点睛】
此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解. 12．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121
()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -
中，11,AD DD AB ==E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点,点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是________________.
【答案】
7
2
【解析】
【分析】
如图，连接11
,
,AC
D A D C，证明平面
1
//
ACD平面EFG.因为直线
1
//
D P平面EFG，所以点P在直线AC上. 当1D P AC
⊥时.线段
1
D P的长度最小，再求此时的
1
D P得解.
【详解】
如图，连接11
,
,AC
D A D C，
因为E，F，G分别为AB，BC，11
C D的中点，
所以//
AC EF，EF⊄平面
1
ACD，
则//
EF平面
1
ACD.因为
1
//
EG AD，
所以同理得//
EG平面
1
ACD，又EF EG E
=.
所以平面1//
ACD平面EFG.
因为直线1//
D P平面EFG，所以点P在直线AC上.
在
1
ACD
△中，
1
2
2
11
127
2,2,2,22
22
AD C
AD AC CD S
⎛⎫
====-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
故当1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，最小值为7
7
2122
=
⨯. 故答案为：7 【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可．
【详解】
作出不等式组20
200x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立20
0x y y m -+=⎧⎨+=⎩
，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---.
由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，
241m m ∴---=-，解得1m =-.
故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
15．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
【答案】5- 【解析】 【分析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得
15793
log ()a a a ++的值即可.
【详解】 13n n a a +=，
∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-．
故答案为：5-． 【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题． 16．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】.
【解析】 试题分析：∵，，
成等差数列，∴
，
又∵等比数列
，∴
.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列 基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点.
（1）求证：//FB 平面ACM ； （2）求二面角M AC F --的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45︒ 【解析】 【分析】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，由//MO FB ，得出结论；
（2）以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可. 【详解】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ， 在DFB ∆中，//MO FB ，
又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以//FB 平面ACM ；
（2）由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面
ABEF ，故AF AC ⊥，又AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -，
设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，()4,0,0AC =，()2,1,1AM =-，
由4020
m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，得()0,1,1m =， 平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =， 由2
cos ,22
AB m =
=， 故二面角M AC F --的大小为45︒.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。

中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将22⨯列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？ （2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为
1
2
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？ 附：
20()P K k ≥ 0.050
0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）列联表见解析，99%；（2）95，18
25
；（3）第二种优惠方案更划算. 【解析】 【分析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为3
5
P =，知ξ服从二项分布，即3
(3,)5
B ξ，可求得其期
望和方差；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以2
2
60(1081230)7.033 6.63522384020
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴ 有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123
205P =
=，3
()5
B ξ∴3, ，
()()393318
=3,31555525
E D ξξ⎛⎫∴⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元
若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，
()0202
1111200=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1
1
121111080==222
P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()20
221111020=224P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()111
1200108010201095424
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
11001095>∴，选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.
19．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠） （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：123
2
n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2n
n a t =（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项.
（2）由{}n b 为等比数列可得1
3t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证123
2
n c c c ++⋯+<.
【详解】
（1）由题意，得：()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）
， 当1n =时，得()1121
t
S a t =
--，得12a t =. 由()()11212(2)
1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩
，
故()111
n n n n n t
S S a a a t ---==
--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111
n n
n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又223
12312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故
()()()2
223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，
所以1
3
t =
或0t =（舍）. 所以，12,33n
n n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，则3212log 333n
n n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333
n n n T =
++⋯+ 23112423333
n n n
T +=++⋯+，相减可得 123233
2232
n n n n T c c c +=++
+=
-<⋅ 【点睛】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n
S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20
．已知函数()ln f x x x =+（a 为常数） （Ⅰ）当5a =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 为增函数，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()4,+∞；单调递减区间为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）[)4,-+∞. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）对函数()f x 进行求导，利用导数判断函数()f x 的单调性即可； （Ⅱ）对函数()f x 进行求导，由题意知,()f x 为增函数等价于()'
0f x ≥在区间()0,∞+恒成立，利用分
离参数法和基本不等式求最值即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
（Ⅰ）由题意知，函数()y f x =的定义域为()0,∞+， 当5a =-
时，()f x '=
， 令()0f x '=，得1
4
x =，或4x =， 所以()'
f
x ，()f x 随x 的变化情况如下表：
()f x ∴的单调递增区间为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,+∞，单调递减区间为1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（Ⅱ）由题意得()'122
102x f x x x
+==≥在区间()0,∞+恒成立，
即2a x x ⎛
-≤+
⎪⎝⎭
在区间()0,∞+恒成立.
122x x x
x
+≥⋅=，当且仅当
x x
=
，即1x =时等号成立. 所以min
24a x x ⎛
-≤+= ⎪⎭，所以a 的取值范围是[)4,-+∞.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，12CC =，
16AC =.
（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；
（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30，试确定点P 的位置.
【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,444P ⎛- ⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】
（1）证明：因为2AC =，12CC =16AC =
所以222
11AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.
又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，
AC BC C =，所以1CC ⊥平面ABC .
因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C
.
（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，
则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -. 设1(01)AP t AC t =<<，(,,)P x y z ，
(,,3)AP x y z =-，1(12,3)AC =--，
代入上式得x t =-，2y t =
，3(1)z t =-，所以(233)P t t t --.
设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =，2,0)MN =，(233)MP t t t =--，
由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111120
23(1)0
y tx ty t z ⎧=⎪⎨
-+-=⎪⎩. 令1z t =，得(33,0,)n t t =-.
因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，
所以3||||
m n m n ⋅=22323(1)t t =-+，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为33234P ⎛- ⎝⎭. 【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ； （2）求二面角P EC D --的正切值． 【答案】 (1)见证明；(2) 15
3
【解析】 【分析】
（1）取PD 中点G ，可证EFGA 是平行四边形，从而EF
AG ， 得证线面平行；
（2）取AD 中点O ，连结PO ，可得PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证PMO ∠是二面角
P EC D --的平面角，再在PMO ∆中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、
GF 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且1
2
GF CD =，
又//AE CD 且1
2
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =，
∴EFGA 是平行四边形，则EF
AG ，
又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，
在Rt EBC 中，BE BC BM OM OB BM CE ⋅=
==-=
∴tan PO PMO OM ∠==
P EC D --的正切值为3
． 【点睛】
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算． 23．已知函数()()2x
f x x e ax =-+.
（Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()
0,0f 处的切线方程 （Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数. 【答案】（Ⅰ）(
)
2
120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()
()2ln x x e a h x x x
-==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，
利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可. 【详解】
（Ⅰ）因为()()2x
f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+，
因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=，
所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+，
则直线方程为(
)
2
21y e x -=+，即(
)
2
120e x y +-+=； （Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x
x e a x ax -+-=，
所以()()2ln x x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()
1'10g x x x =->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，
故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e a h x x x -==-，所以()()()221ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-， 设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()222'11121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，
所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数，
当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数，
因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =，
所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根，
当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根.
【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.。