河北省省级示范性高中联合体2019届高三第一次联考数学(理)试题

河北省省级示范性高中联合体2019届高三第一次联考
数学（理）试题
本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|121}A x x =-<-≤，{0,1,2,3}B =，则A B = （ ）
A ． {0,1}
B ． {2,3}
C ． {1,2}
D ．{1,2,3}
2.设命题:,2p x Z x Z ∀∈∈，则p ⌝为（ ）
A ．,2x Z x Z ∀∈∉
B ．00,2x Z x Z ∃∈∈
C ．,2x Z x Z ∀∉∉
D ．00,2x Z x Z ∃∈∉
3.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2B C =，则b =（ ）
A ．cos c C
B ． 2cos c
C C ．cos c A
D ． 2cos c A
4.已知3sin(5)3sin()2ππαα-=+，则cos()4sin 2cos πααα
+=+（ ） A
．5
B ．
5
C. -
．
5.已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．
32
B ． 1 C. -1 D ．0 6.在AB
C ∆中，2B
D DC = ，
E 是AD 的中点，则AE = （ ） A ．1163AB AC + B ．1136AB AC - C. 1163AB AC - D ．1136
AB AC + 7.函数2sin ()||1
x f x x x =++在[,]22ππ-上的图像为（ ） A ． B ． C. D ．
8.已知两个单位向量,a b 的夹角为060，则下列向量是单位向量的是（ ）
A ．a b +
B ．12a b + C. a b - D ．12
a b - 9.已知函数()2cos(3)4
f x x π=-+，则（ ） A ．()y f x =在(0,)4π上单调递增，其图像关于直线12
x π=-对称 B ．()y f x =在(0,)4π上单调递减，其图像关于直线12
x π=-对称 C. ()y f x =在(0,)4π上单调递增，其图像关于直线6
x π=-对称 D ．()y f x =在(0,)4π上单调递减，其图像关于直线6
x π=-对称
10.已知0a >且1a ≠，函数()log (6)a f x ax =-，则“13a <<”是“()f x 在(1,2)上单调递减”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
11.已知函数3211()32
f x x x ax b =--+-的图像在0x =处的切线方程为20x y a --=，若关于x 的方程2()f x m =有四个不同的实数解，则m 的取值范围为（ ）
A ．325[,)36--
B ．5[2,)6-- C. 325(,)36-- D ．5(2,)6
-- 12.已知函数2()5ln 3f x a x ax =-，2()g x x b =-，若两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当(0,)a ∈+∞时，b 的最大值为（ ）
A ． 3552e
B ．3232e C. 352e D ．3532
e 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(7,16)a = ，(5,16)a b k -=- ，且a b ⊥ ，则k = ．
14.在ABC ∆中，tan()tan
2
A B C +=，2AB =，3AC =，则BC = ． 15.若函数2sin cos 1y x x a =++-在区间[,]22ππ-上的最大值是14，则a = ． 16.如图，函数2,21()41,14x x f x x x
+-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的图像与x 轴围成一个山峰形状的图形，设该图形夹在两条直线x t =，2(22)x t t =+-≤≤之间的部分的面积为()S t ，若当0t t =时，()S t 取得最大值，则0t = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知m R ∈且0m >，设2
00
:,20p x R x m ∃∈+-=，q ：方程22
13x y m m +=-表示双曲线.
（1）若p q ∨为真，求m 的取值范围；
（2）判断p 是q 的什么条件，并说明理由.
18. 已知向量(sin ,cos )a x x = ，)b m = ，函数()f x a b = .
（1）若
3
π是函数()f x 的一个零点，求m 的值； （2）若(0)1f =，求函数()()()2
g x f x f x π=+的最大值.
19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 1cos a C A =-. （1）若2a =，求ABC ∆外接圆的半径；
（2）若10b c +=，ABC S ∆=a 的值.
20. 已知函数23()log (3)f x ax x =-+.
（1）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；
（2）已知集合[1,3]M =，方程()2f x =的解集为N ，若M N φ≠ ，求a 的取值范围.
21. 已知函数32()(2)ln (3)f x x a x x a x =-+++，(0)a >.
（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率是否为定值？
（2）若()0f x >，证明：4ln(3)2
a a a ++<+. 22. 已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()p a ，证明：234ln 2()42p a a a <<
+-.
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.C
9.A 10.C 11.D 12.A
13. 78- 17.（1）若p 为真，则020m m >⎧⎨-≤⎩
，即02m <≤， 若q 为真，则03m <<，
∴当p q ∨为假时，3m ≥，则当p q ∨为真时，03m <<.
（2）易知02m <≤⇒03m <<，但03m <<不能推出02m <≤，
故p 是q 的充分不必要条件.
18.（1）()cos f x x m x =+， 又3()0322
m f π
=+=， 所以3m =-.
（2）(0)1f m ==，
()cos sin )g x x x x x =+-
222sin cos x x x x =
sin 2x x =
2sin(2)3
x π=+ 则函数()g x 的最大值为2.
19.（1
）由正弦定理得：sin sin 1cos A C C A
=-， 因为sin 0C ≠
，所以sin cos )A A =-，
所以sin 2sin()3A A A π=+
=
sin()3A π+=. 因为4(,)333A πππ+∈，所以233A ππ+=，解得：3
A π= .
因为2sin a R A ===，所以ABC ∆
（2
）因为1sin 2ABC S bc A ∆==
=，所以16bc =，
所以a ==20.（1）因为函数的定义域为R ，所以230ax x -+>恒成立，
当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；
当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a >. 综上所述：112
a >. （2）由题可知，239ax x -+=在[1,3]上有解. 即261a x x
=
+在[1,3]上有解， 设1t x =，1[,1]3
t ∈，则26a t t =+， 因为26y t t =+在1[,1]3上单调递增，所以[1,7]y ∈.
所以[1,7]a ∈.
21.（1）∵2'()3(2)(2ln )3f x x a x x x a =-++++，
∴'(1)3(2)34f a a =-+++=，
故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率4k =为定值.
（2）证明：∵()0f x >，(0,)x ∈+∞，∴3(2)ln 0a x a x x +-++
>， 设3()(2)ln a h x x a x x +=-++，2(1)(3)'()(0)x x a h x a x
+--=> 当03x a <<+时，'()0h x <；当3x a >+时，'()0h x >
从而min ()(3)4(2)ln(3)0h x h a a a a =+=+-++>， 即4ln(3)2
a a a ++<+. 22.（1）解：2(1)(22)'()2(0)a x x a f x a x x x x ++--=
+-=->， 当2a ≤-时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞上单调递减，
当2a >-时，由'()0f x >，得202a x +<<
，()f x 在2(0,)2
a +上单调递增， 由'()0f x <，得22a x +>，()f x 在2(,)2
a ++∞上单调递减. （2）证明：易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥，由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时，()f x 在(0,)a 上不存在最大值.
当2a >时，()f x 在2(0,)2a +上单调递增，在2(,)2
a a +上单调递减， 则2max 22(2)2()()(2)ln ()2222a a a a a f x f a ++++==++-224(2)ln 24
a a a +-=++ 故224()(2)ln (2)24
a a p a a a +-=++> 设224()(2)ln (2)24
x x g x x x +-=++>，2'()1ln 22x x g x +=++. ∵2x >，∴'()0g x >，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增，
∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >.
∵
2314(34)(2)22a a a a +-=-+且2a >，∴要证23()42
p a a a <+-， 只需证2234ln 242
a a a +--+<，即证256ln 024a a +--< 设256()ln (2)24
x x h x x +-=-> 则15'()024h x x =-<+，则()h x 在(2,)+∞上单调递减， 从而()(2)ln 210h x h <=-<， 即256ln
024a a +--<，则23()42
p a a a <+- 从而234ln 2()42p a a a <<+-.。