高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布热点探究课6概率中的高考热点问题课件
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设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)．则 P(Ai)＝ Ci413i234－i.4 分
(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.6 分
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B＝A3＋A4，且 A3 与 A4 互斥，7 分
[对点训练 2] 一个袋中装有形状大小完全相同的球 9 个，其中红球 3 个， 白球 6 个，每次随机取 1 个，直到取出 3 次红球即停止．
(1)从袋中不放回地取球，求恰好取 4 次停止的概率 P1； (2)从袋中有放回地取球． ①求恰好取 5 次停止的概率 P2； ②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列及数学 期望. 【导学号：51062380】
＝232＋13232＋2313232＝5861.6 分
(2)X 的可能取值为 2,3,4,5，7 分 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2) ＝232＋132＝59，9 分 P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝ 13232＋23132＝29，11 分 P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝
热点 1 常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几 何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)； 相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均 值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选 择概率公式．
2313232＋1323132＝1801，13 分
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10 81
8 81
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.15 分
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 【导学号：51062378】
[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃厨圾余”垃箱圾里总厨量余垃圾量＝400＋410000＋100＝23.6 分 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确．事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 “ 其 他 垃 圾 ” 箱 里 其 他 拉 圾 量 的 总 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 ， 即 P( A ) 约 为 400＋1 204000＋60＝0.7，所以 P(A)约为 1－ 0.7＝0.3.15 分
P(ξ＝3)＝1－32＋28403×2＝1871.13 分
随机变量 ξ 的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
32 243
80 243
80 243
17 81
ξ 的数学期望是 E(ξ)＝23423×0＋28403×1＋28403×2＋1871×3＝18311.15 分
14 分
热点 3 概率与分布列的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大 亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的 关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基 础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
【导学号：51062379】
[规范解答] 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.2 分
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2) 问的含义．
2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通 过 1－P( A )求解．
[对点训练 1] 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可 供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定 自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．
(2)第(2)问中利用对立事件求 P(X＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化． 如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得 2 分；把事件拆分 成 A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得 2 分，计算概率值正确，得 1 分．第(2)问 求出 X 的四个值的概率，每对一个得 1 分，列出随机变量 X 的分布列得 1 分． 3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证． 如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四 个概率的和是否为 1，若和不为 1，就有概率值出现错误了，不得分．
[解] (1)P1＝C23CA6194A33＝218.4 分 (2)①P2＝C24×132×232×13＝881.8 分 ②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3， 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k， 得 P(ξ＝0)＝C501－135＝23423； P(ξ＝1)＝C51×13×1－134＝28403； P(ξ＝2)＝C52×132×1－133＝28403；
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃
圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活
垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数
据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ＝|X－Y 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游 戏的概率为23.2 分
设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况
有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25 30 35 40
频数(次)
20 30 40 10
(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立
热点 2 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年 均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量 的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与 转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性 训练．
(本小题满分 15 分)(2017·浙江名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛， 约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数 多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果 相互独立．
(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).
＝C14131·233＋C43133×23＝4801， P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)
＝C04234＋C44134＝1871.13 分 所以 ξ 的分布列是
ξ
0
2
4
P
8 27
40 81
17 81
15 分
从而 E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).6 分
(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的 分布列相同.7 分
设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分 钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.10 分
所以 P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) ＝C34133·23＋C44134＝19.9 分
(3)依题设，ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 且 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥． 则 P(ξ＝0)＝P(A2)＝287，
P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1 ＝35 ，T2≤35) ＋P(T1 ＝40， T2≤30)＝0.2×1 ＋0.3×1 ＋ 0.4×0.9＋0.1×0.5 ＝ 0.91.15 分
法二：P( A )＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1 ＝40，T2＝40)
即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟
的概率．
[解] (1)由统计结果可得 T 的频率分布为
T(分钟) 25 30 35 40
频率
0.2 0.3 0.4 0.1
2分
以频率估计概率得 T 的分布列为
T 25 30 35 40
P 0.2 0.3 0.4 0.1 4分
14 分
[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求第一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在 4 局以内”赢得比赛的含义， 进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．
热
热
点
点
一
三
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
热点探究课(六) 概率中的高考热点问题
热
热 点 二
点 探 究 训
练
[命题解读] 1.概率是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法 体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识 及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其 中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工 具.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中 低档类题目，特别是与实际问题内容渗透，背景新颖，充分体现了概率的工具 性和交汇性．
＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故 P(A)＝1－P( A )＝0.91.15 分 [规律方法] 1.在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义， 利用试验结果，找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的基本方法． 2．注意分布列的性质在求分布列中的应用．
[对点训练 3] 在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其 余 6 张没有奖．某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：
(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.6 分
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B＝A3＋A4，且 A3 与 A4 互斥，7 分
[对点训练 2] 一个袋中装有形状大小完全相同的球 9 个，其中红球 3 个， 白球 6 个，每次随机取 1 个，直到取出 3 次红球即停止．
(1)从袋中不放回地取球，求恰好取 4 次停止的概率 P1； (2)从袋中有放回地取球． ①求恰好取 5 次停止的概率 P2； ②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列及数学 期望. 【导学号：51062380】
＝232＋13232＋2313232＝5861.6 分
(2)X 的可能取值为 2,3,4,5，7 分 P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2) ＝232＋132＝59，9 分 P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝ 13232＋23132＝29，11 分 P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝
热点 1 常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几 何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)； 相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均 值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选 择概率公式．
2313232＋1323132＝1801，13 分
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10 81
8 81
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.15 分
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 【导学号：51062378】
[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃厨圾余”垃箱圾里总厨量余垃圾量＝400＋410000＋100＝23.6 分 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确．事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 “ 其 他 垃 圾 ” 箱 里 其 他 拉 圾 量 的 总 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 ， 即 P( A ) 约 为 400＋1 204000＋60＝0.7，所以 P(A)约为 1－ 0.7＝0.3.15 分
P(ξ＝3)＝1－32＋28403×2＝1871.13 分
随机变量 ξ 的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
32 243
80 243
80 243
17 81
ξ 的数学期望是 E(ξ)＝23423×0＋28403×1＋28403×2＋1871×3＝18311.15 分
14 分
热点 3 概率与分布列的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大 亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的 关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基 础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
【导学号：51062379】
[规范解答] 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.2 分
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2) 问的含义．
2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通 过 1－P( A )求解．
[对点训练 1] 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可 供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定 自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．
(2)第(2)问中利用对立事件求 P(X＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化． 如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得 2 分；把事件拆分 成 A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得 2 分，计算概率值正确，得 1 分．第(2)问 求出 X 的四个值的概率，每对一个得 1 分，列出随机变量 X 的分布列得 1 分． 3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证． 如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四 个概率的和是否为 1，若和不为 1，就有概率值出现错误了，不得分．
[解] (1)P1＝C23CA6194A33＝218.4 分 (2)①P2＝C24×132×232×13＝881.8 分 ②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3， 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k， 得 P(ξ＝0)＝C501－135＝23423； P(ξ＝1)＝C51×13×1－134＝28403； P(ξ＝2)＝C52×132×1－133＝28403；
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃
圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活
垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数
据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ＝|X－Y 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游 戏的概率为23.2 分
设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况
有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25 30 35 40
频数(次)
20 30 40 10
(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立
热点 2 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年 均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量 的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与 转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性 训练．
(本小题满分 15 分)(2017·浙江名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛， 约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数 多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果 相互独立．
(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).
＝C14131·233＋C43133×23＝4801， P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)
＝C04234＋C44134＝1871.13 分 所以 ξ 的分布列是
ξ
0
2
4
P
8 27
40 81
17 81
15 分
从而 E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).6 分
(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的 分布列相同.7 分
设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分 钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.10 分
所以 P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) ＝C34133·23＋C44134＝19.9 分
(3)依题设，ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 且 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥． 则 P(ξ＝0)＝P(A2)＝287，
P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1 ＝35 ，T2≤35) ＋P(T1 ＝40， T2≤30)＝0.2×1 ＋0.3×1 ＋ 0.4×0.9＋0.1×0.5 ＝ 0.91.15 分
法二：P( A )＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1 ＝40，T2＝40)
即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟
的概率．
[解] (1)由统计结果可得 T 的频率分布为
T(分钟) 25 30 35 40
频率
0.2 0.3 0.4 0.1
2分
以频率估计概率得 T 的分布列为
T 25 30 35 40
P 0.2 0.3 0.4 0.1 4分
14 分
[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求第一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在 4 局以内”赢得比赛的含义， 进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．
热
热
点
点
一
三
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
热点探究课(六) 概率中的高考热点问题
热
热 点 二
点 探 究 训
练
[命题解读] 1.概率是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法 体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识 及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其 中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工 具.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中 低档类题目，特别是与实际问题内容渗透，背景新颖，充分体现了概率的工具 性和交汇性．
＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故 P(A)＝1－P( A )＝0.91.15 分 [规律方法] 1.在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义， 利用试验结果，找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的基本方法． 2．注意分布列的性质在求分布列中的应用．
[对点训练 3] 在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其 余 6 张没有奖．某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求：