必修1《3.2.4对数函数的图象与性质的应用》课后导练含解析

课后导练
基础达标
1.函数y=2
1log ［(1-x)(x+3)］的递减区间是（ ）
A.(-3,-1)
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-3)
D.(-1,+∞) 解析：y=21log ［(1-x)(x+3)］=2
1log (-x 2-2x+3),它的定义域为（-3，1），令u=-x 2-2x+3,当x ∈
(-∞,-1)时函数u=-x 2-2x+3为增函数，所以原函数的递减区间（-3，-1）.
答案：A
2.方程log 2(x+4)=3x 实根的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：设y=log 2(x+4)及y=3x .画图知交点两个.
答案：C
3.函数f(x)与g(x)=(2
1)x 的图象关于直线y=x 对称，则f(4-x 2)的单调递增区间是（ ） A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(0,2) D.(-2,0)
解析：f(x)与g(x)=(12)x 的图象关于直线y=x 对称，
∴f(x)=21log x,∴f(4-x 2)=2
1log （4-x 2）,它的定义域为（-2，2），而令u=4-x 2,则u=4-x 2的递减
区间为（0，+∞）,
∴y=f(4-x 2)的单调递增区间是（0，2）.
答案：C
4.函数y=||log 22x 的图象大致是（ ）
解析：∵y=⎪⎩⎪⎨⎧<<≥,101.1x x x x
∴应选C.
答案：C
5.三个数60.7,0.76,log 0.76的大小关系为___________________.
解析：60.7>1,0<0.76<1,log 0.76<0,故60.7>0.76>log 0.76.
答案：log 0.76<0.76<60.7
6.函数f(x)=2
1log (x-1)+x -2的值域为_______________.
解析：定义域为（１，2），f （x ）为单调递减函数，值域为［0，+∞).
答案：［0，+∞)
7.解方程：log 9x+2log x 3=1. 解析：化为同底对数，可得2
1log 3x+x 3log 21=1, ∴(log 3x)2-2(log 3x)+1=0,
即（log 3x-1）2=0.
得log 3x=1,从而得x=3.
经检验，x=3为原方程的解.
8.已知y 1=log a (x 2-5x+6),y 2=log a (2x 2-7x+6)(a>0,且a ≠1)，若y 1>y 2,求x 的范围.
解析：当a>1时，由y 1>y 2,得
⎪⎩
⎪⎨⎧+->+->+->+-.67265,
0672,0652222x x x x x x x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<><><.
20,22332x x x x x 或或得0<x<23. 当0<a<1时，由y 1>y 2，得
⎪⎩
⎪⎨⎧+->+->+->+-.67265,
0672,0652222x x x x x x x x 解得 x<0,或x>3.
故当a>1且0<x<2
3时，有y 1>y 2; 当0<a<1且x<0，或x>3时，有y 1>y 2.
9.已知f(x)=log a x
x -+11.(a>0且a ≠1) (1)求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；
（3）求使f(x)>0的x 的取值范围.
解析：（1）由对数函数定义知x
x -+11>0,∴-1<x<1,∴f(x)的定义域为（-1，1）. （2）f(-x)=log a x
x +-11=log a (x x -+11)-1=-f(x),∴f(x)是奇函数. （3）当a>1时，
log a x x -+11>0等价于x
x -+11-x>1⇒x ∈(0,1). 当0<a<1时， log a
x x -+11>0等价于0<x x -+11<1⇒x ∈(-1,0). 故a>1时，x ∈(0,1)时，f(x)>0,
0<a<1时，x ∈(-1,0)时，f(x)>0.
综合训练
10.函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）
解析：由f(x)=log 2x 的图象把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，选A.
答案：A
11.函数y=lnx+1(x ＞0)的反函数为（ ）
A.y=e x+1(x ∈R)
B.y=e x-1(x ∈R)
C.y=e x+1(x ＞1)
D.y=e x-1(x ＞1)
解析：由y=lnx+1,
得x=e y-1.
又因为函数y=lnx+1的值域为R ，
于是y=lnx+1的反函数为y=e x-1(x ∈R).
故选B .
答案：B
12.已知函数f(x)=lg(x+1)(x>0),则f(x)的反函数为________.
解析：∵y=lg(x+1)(x>0),
∴y>0,且x+1=10y .
∴x=10y -1.∴反函数f -1(x)=10x -1(x>0).
答案：f -1(x)=10x -1(x>0)
13.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次.（lg2≈0.301 0）
解析：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%.则a(1-60%)n <0.1%a(设原空气为a)，
即0.4n <0.001,
两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,∴n>
4.0lg 001.0lg =12lg 23--≈7.
5.故至少需要抽8次. 拓展提升
14.已知函数f(x)=x 1-log 2x
x -+11,求f(x)的定义域并讨论它的奇偶性和单调性. 解析：x 需满足⎪⎩
⎪⎨⎧>-+≠,011,0x x x 由x x -+11>0得-1<x<1. 所以函数f(x)的定义域为（-1,0）∪(0,1).
因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x, 有f(-x)=-x 1-log 2x x +-11=-(x 1-log 2x
x -+11)=-f(x), 所以f(x)是奇函数.
研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x 1,x 2∈（0，1），且设x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=11x -log 21111x x -+-21x +log 22211x x -+=(11x -21x )+［log 2(212x --1)-log 2(112x --1)］ 由11x -21x >0,log 2(212x --1)-log 2(1
12x --1)>0得f(x 1)-f(x 2)>0, 即f(x)在（0,1）内单调递减,
由于f(x)是奇函数，所以f(x)在（-1，0）内单调递减.。