遂宁市高中2019届三诊考试理科数学答案

高三数学（理科）三诊试题参考答案第1页（共8页）
遂宁市高中2019届三诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 2
2
-
14． 41 15． 4 16． 3
三、解答题：本大题共70分。

17．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为)6cos(2sin cos 3)(π
πππ+
=-=x x x x f ， ……………………2分
所以，由题意有)(3
1
)(26Z k k x Z k k x ∈+=⇒∈+=+ππππ，
这就是函数)(x f 的全部零点。

……………………4分 又由已知函数)(x f 的所有正数的零点构成递增数列{}n a ，所以{}n a 是以
3
1
为首项， 1为公差的等差数列，所以)(3
2
*∈-=N n n a n 。

……………………5分
（2）)32()21(+=n n n a b n
n )21(⋅=， ……………………6分
则n
n n n n T )2
1()21()1()21(3)21(2)21(11321⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ①
1432)2
1
()21()1()21(3)21(2)21(121+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ② ……………………8分
则①-②得：
高三数学（理科）三诊试题参考答案第2页（共8页）
11132)21)(2(1)21(2
1121)21(21)21()21()21()21(2121++++-=⋅--⋅
-=⋅-++++=n n n n n n n n n T
……………………10分
所以n n
n n n T 2
2
2)2
1)(2(2+-=+-= ……………………12分 18. （本小题满分12分） 【解析】
（1）直线PA 与EB 是异面直线 ……………………2分 （2）⊥PD 平面ABCD ，⊂DC 平面ABCD ，DC PD ⊥∴。

同理可证BC PD ⊥
DC PD = 可知PDC ∆是等腰直角三形，而E 是斜边PC 的中点，PC DE ⊥∴。

∵底面ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形ABCD 为正方形。

DC BC ⊥∴，又BC PD ⊥，D DC PD =
⊥∴BC 平面PDC ，又⊂DE 平面PDC DE BC ⊥∴，又PC DE ⊥，且C BC PC =
⊥∴DE 平面PBC ，又⊂PB 平面PBC
∴ED PB ⊥ ……………………7分 （3）∵⊥PD 底面ABCD ，而底面ABCD 是邻边相等的矩形，即底面ABCD 是正方形，∴ DP DC DA ,,两两互相垂直，建立空间直角坐标系xyz D -如图所示，设1=AD ，又由于DC PD =，且底面ABCD 是正方形，∴1=====PD CD BC AB AD ，所以
)0,0,1(A ，)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)0,0,0(D ，)1,0,0(P ，)2
1
,21,0(E 。

……………………8分
设平面PAB 的法向量为),,(111z y x =，
则⎩⎨
⎧=-⋅=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)0,1,0(),,(0
)1,0,1(),,(001
11111z y x z y x BA n ⎩⎨⎧==-⇒00111y z x ，令11=x ，则11=z ，01=y ，∴)1,0,1(=。

……………………9分
高三数学（理科）三诊试题参考答案第3页（共8页）
又设平面EBP 的法向量为),,(222z y x =，则
⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)21,21,1(),,(0)1,1,1(),,(00222222z y x z y x ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=-+⇒021
210222222z y x z y x ，令12=y ，则12=z ，02=x ，∴)1,1,0(=。

…………………10分
∴2
1
2
21,cos =
⋅=
>=
< …………………11分 又∵二面角A PB E -- 的平面角是一个钝角，∴二面角A PB E -- 的平面角的余弦值为2
1
-
……………………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设事件i A 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”，∴)()()()(55432154432154321A A A A A A P A A A A A A P A A A A A P A P ++=
274
212121322121213221323
323=
⋅⋅⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛= ……………………5分
（2）X 的取值为0,1,2,3,4,5
()()11
03
P X P A ∴===
， ()()1
2
212
1339
P X P A A ===⋅=
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()()
1232214
233327
P X P A A A ===
⋅⋅=
()()
32
1234421233227P X P A A A A A ⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()4
527
P X P A ===
()()()()()()2410123527
P X P X P X P X P X P X ∴==-=+=+=+=+==
⎡⎤⎣⎦X ∴的分布列为：
……………………11分
9
16
2745272427232742921310)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E
……………………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设),(y x P ，因为)0,(),0,(a B a A -，则点P 关于x 轴的对称点H ),(y x -。

a x y k PA
+=
，x a y k BH -=， 因为22221x y a b +=，所以()
222222
221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，所以2
2
222a b x a y k k BH
PA =-=⋅， ……………………2分 又椭圆C 过圆4)1(2
2
=-+y x 的圆心)1,0(， ……………………4分
所以1,22
2
==b a ，所以椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x ； ……………………5分
（2）由题意，抛物线D 焦点为)0,81(F ，故其方程为2
2x
y =
，联立方程组
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⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1
2
2
222y x x y ，解得1=x 或2-=x （舍去），所以)22,1(-Q ， ……………………7分
设抛物线2
2x
y =
在)22,1(-Q 点处的切线为22)1(--=x k y ，联立方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧--==22
)1(22x k y x
y ，整理得02222
=---k y ky ，由0∆=解之得42-=k ，所以所求的切线方程为2
2
)1(42---
=x y 。

即是0122=++y x 。

……………………10分
令0=x ，得4
2
-
=y ；令0=y ，得1-=x 。

故所求三角形的面积为8
214221=⨯⨯=
S 。

……………………12分
21. （本小题满分12分）
【解析】：（1）因为a e x x g x
++=)1()('， ……………………1分 则a e g +=2)1('，所以a e k +=2，由23e ak =得23)2(e a a e =+，即
03222=-+e ea a ，解得e a =或e a 3-=
……………………4分
（2）①因为当1=a 时，2
ln )(x x x f -=)0(>x ，所以x
x x x x f 2
'
2121)(-=-=，
令0)('
=x f ，则2
2=x ， ……………………5分
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当)2
2,0(∈x 时，0)('
>x f ； 当),2
2(
+∞∈x 时，0)('
<x f ； 所以函数)(x f 的单调递增区间为)22,0(；单调递减区间为),2
2(+∞； ……………………7分
②证明：（法一）因为当1=a 时，
2
3ln 23ln )()(22>-++⇔-
+<-⇔<x x x xe x xe x x x g x f x x 设x x x xe x h x ln )(2-++=。

则只需证明2
3
)(>x h
)12)(1(112)1()('x e x x x e x x h x x -++=-+++=，又设x
e x x 1
2)(-+=ϕ，则
01)(2'>+=x e x x
ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上单调递增，因为042)41(41
<-+=e ϕ，
032)3
1
(31
>-+=e ϕ，所以存在)31,41(0∈x ，使得0)(0=x ϕ，且当),0(0x x ∈时，
0)(<x ϕ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>x ϕ；所以当),0(0x x ∈时，0)('<x h ，)(x h 单
调递减；当),(0+∞∈x x 时，0)('
>x h ，)(x h 单调递增；所以
002
000min ln )()(0x x x e x x h x h x -++==，由01200=-+x e x ，得
210
0-=x e x ，所以002
000200
0ln 1ln )21()(x x x x x x x x x h -+-=-++-=，设x x x x ln 1)(2-+-=τ，)31,41(∈x ，x
x x x x x )
1)(12(112)('-+=--=τ，所以当
)31,41(∈x 时，0)('<x τ，)(x τ在)3
1
,41(单调递减，所以
233ln 97)31ln(131)31()31()()(200>+=-+-=>=ττx x h ，因此2
3
)(>x h ，即
)()(x g x f <得证。

……………………12分
（法二）因为当1=a 时，
x x x xe x xe x x x g x f x x ln 23
23ln )()(22>-++⇔-
+<-⇔< 先证当0≥x 时，232232
-≥-++x x x xe x ，即证02≥-+x x xe x
设)0()(2
≥-+=x x x xe x h x
，则12)1()('
-++=x e x x h x
，又令
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12)1()(-++=x e x x x τ，且0)0(=τ，而02)2()('>++=x e x x τ，所以)(x τ在
[)+∞,0上单调递增，0)0()()('=≥=ττx x h ，所以)(x h 在[)+∞,0上单调递增，则当
0≥x 时，0)0()(2=≥-+=h x x xe x h x
（也可直接分析02
3
22322
≥-+⇔-≥-
++x x xe x x x xe x x
01≥-+⇔x e x 显然成立）
……………………10分
再证当0>x 时，x x ln 2
3
2>- 设x x x ln 232)(--
=ϕ，则x x x x 1212)('-=-=ϕ，令0)('=x ϕ，解得2
1=x ，且当)21,0(∈x 时，0)('<x ϕ，)(x ϕ单调递减；当),2
1(+∞∈x 时，0)('
>x ϕ，)(x ϕ单调
递增；所以x x x ln 232)(--=ϕ02ln 21)21(>+-=≥ϕ，即x x ln 23
2>-
又2
32232-≥-++x x x xe x ，所以x x x xe x ln 232
>-++成立，
即)()(x g x f <得证。

……………………12分
22．
（本小题满分10分） 【解析】：（1）由θρ2cos 232
+=
得1
cos 232
2+=θρ，即3)cos (22
2=+θρρ，把θρcos =x ，θρsin =y ，2
2
2
y x +=ρ，得13
2
2
=+y x ，故曲线1C 的直角坐标方程
为132
2
=+y x ；因为曲线2C 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+-=t
y t x 71（t 为参数）。

消去参数t 得曲线2C 的普通方程为06=-+y x 。

……………………4分
（2）由题意，曲线1C
的参数方程为cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩(α为参数)，可设点P 的直角坐标
高三数学（理科）三诊试题参考答案第8页（共8页）
为(cos )αα，因为曲线2C
是直线，又||PQ =∴||PQ 即为点P 到直线60x y +-=的距离 ……………………6分 易得点P 到直线60x y +-=的距离为
sin()3|6d απ
=
=+-= ……………………7分
所以1)6
sin(=+
π
α，所以2()3k k απ=π+
∈Z ，此时点P 的直角坐标为13
(,)22
． ……………………10分 23．（本小题满分10分） 【解析】：（1）因为144)(2--+-=
x x x x f ，所以12)(---=x x x f ；…1分
①当1x ≤时，1)1(2)(=---=x x x f ，由21
)(>
x f ，解得1x ≤； ②当21<<x 时，x x f 23)(-=，由21)(>x f ，即2123>-x ，解得4
5
<x ，又
21<<x ，所以4
5
1<<x ；
③当2≥x 时，1)(-=x f 不满足2
1
)(>x f ，此时不等式无解； ………………4分
综上，不等式21)(>x f 的解集为)4
5
,(-∞.
……………………5分
（2）由题意得32)2
1
(42=+=++f c b a 。

……………………6分
所以]884422)1641[(31342)421(421c
b
b c c a a c b a a b c b a c b a c b a ++++++++=++⨯
++=++ 3
49
)88244222221(31=
⨯+⨯+⨯+≥c b b c c a a c b a a b 。

……………………9分 当且仅当73=
==c b a 时等号成立.所以c
b a 4
21++的最小值为
337 …………………10分。