苏教版高中数学必修五上学期期中考试.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
上学期期中考试
高二数学文试题
一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分） 1．命题：“0x ∃>，022<-+x x ”的否定为： ．
2．抛物线2
2y x =-的焦点坐标为 ．
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与AC 所 成角的大小为 ．
4．双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为 ．
5．“22a b
>”是“lg lg a b >”的 条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）
6．椭圆
22
1167
x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ． 7．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ．（填写所 有正确命题的序号）
①若,l m m α⊥⊂，则l α⊥；②若,l l α⊥∥m ，则m α⊥；
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
③若l ∥,m αα⊂，则l ∥m ；④若l ∥,m α∥α，则l ∥m .
8. 用长、宽分别是12与8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为 ． 9．直线3y kx =+与圆2
2
(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 ．
10.已知双曲线2
2
22(0)mx my m -=≠的一条准线方程是1y =，则实数m = ． 11.设C B A P ,,,是球O 表面上的四个点，PC PB PA ,,两两垂直，且1PA =，2PB =，
3PC =，则该球的表面积为 ．
12.已知直线y x k =+与曲线21x y =-有且仅有一个公共点，则实数k 的取值范围为 ．
13.在ABC ∆中，已知2,1BC AB AC =⋅=，则ABC ∆面积的最大值是 ．
14.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于B A ,两点，且(OA OB O ⊥ 为
坐标原点)，若椭圆的离心率]2
2
,
21[∈e ，则a 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤） 15.已知0a >且1a ≠.设命题:p 函数x
y a =是定义在R 上的增函数；命题:q 关于x 的方程
210x ax ++=有两个不等的负实根.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的
取值范围.
16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是11
,A B AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；
C 1
B 1
A 1
D
F
E
（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．
17.已知双曲线1C 以点(0,1)A 为顶点，且过点(3,2)B -. （1）求双曲线1C 的标准方程；
（2）求离心率为
2
2
，且以双曲线1C 的焦距为短轴长的椭圆的标准方程； （3）已知点P 在以点A 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线2C 上运动，点M 的坐标为(2,3)，
求PM PA +的最小值及此时点P 的坐标.
18.如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上，
点P 为线段OA 的中点． （1）求BC 边所在直线方程；
（2）求三角形ABC 外接圆的方程；
（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切，
求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．
19.如图，平面四边形ABCD 中，AB BC CD a ===， 90=∠B ，135BCD ∠=，沿对角线AC 将ABC ∆折起，使平面ABC 与平面ACD 互相垂直. （1）求证：AB CD ⊥；
（2）在BD 上是否存在一点P ，使⊥CP 平面ABD ，证明你的结论； （3）求点C 到平面ABD 的距离.
20.在平面直角坐标系xOy 中
, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
,右顶点为A ,直线
BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB 与AC 分别交
直线:1l x a =+于点,E F .
（1）若点(2,3)B ,求ABC ∆的面积；
（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k .
①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若
不为定值,请说明理由.
②求AEF ∆的面积的最小值.
D C B A
B D
C
A
参考答案
1．2
0,20x x x ∀>+-≥ 2．1(,0)2
- 3．
3
π
4．2y x =±
5．必要不充分 6．52 7．② 8．288
π
或
192
π
9．33,33⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
10．14π 11.4
3
-
12.(]{}
1,12-- 13.2 14.6
2
15. 已知0a >且1a ≠.设命题:p 函数x
y a =是定义在R 上的增函数；命题:q 关于x 的方程
210x ax ++=有两个不等的负实根.若“p 或q ”为真命题，
“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.
解：p 真：依题意， 1a > …………………4分
q 真：0x <
1
2a x x
∴=-->
（法二：002(0)0
a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ 2a ∴>）用韦达也可以 …………………6分
p 或q 为真，p 且q 为假
,p q ∴一真一假 …………………7分
101
22
a a a a ><<⎧⎧∴⎨
⎨
≤>⎩⎩或 …………………11分 12a ∴<≤ …………………14分
16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是11
,A B AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．
证明：（1）
,E F 分别是11
,A B AC 的中点 //EF BC ∴ ……………3分
又EF ABC ⊄平面
BC ABC ⊂平面 //EF ABC ∴平面 …………………6分
（2）直三棱柱111ABC A B C -
1111BB A B C ∴⊥平面 …………………7分
又1111A D A B C ⊂平面
11BB A D ∴⊥ …………………9分 又11A D B C ⊥ 111B C BB B =
111B C BB C C ⊂平面 111BB BB C C ⊂平面
111A D BB C C ∴⊥平面 …………………12分 又11A D A FD ⊂平面
111A FD BB C C ∴⊥平面平面 …………………14分
17. 已知双曲线1C 以点(0,1)A 为顶点，且过点(3,2)B -. （1）求双曲线1C 的标准方程；
（2）求离心率为
2
2
，且以双曲线1C 的焦距为短轴长的椭圆的标准方程； （3）已知点P 在以点A 为焦点、坐标原点为顶点的抛物线2C 上运动，点M 的坐标为(2,3)，
求PM PA +的最小值及此时点P 的坐标.
解：（1）依题意，11a = …………………2分
设
22
121
1(0)1y x b b -=> 将(3,2)-代入，得211b =
双曲线标准方程为：2
2
1y x -= …………………4分
C 1
B 1
A 1
D
F E
C
B A
（2）由（1）知，212c =
∴2b =
22b ∴= 2222
2212
c a b e a a -∴===
24a ∴=
∴椭圆标准方程为：22142x y +=或 22
142
y x += …………………9分
（3）依题意，抛物线标准方程为：2
4x y = 设点P 到准线1y =-的垂线段为PH
min min ()()4PM PA PM PH ∴+=+=
此时，(2,1)P …………………14分
18.如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2，0)，直角顶点B （0，－22），顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． （1）求BC 边所在直线方程；
（2）求三角形ABC 外接圆的方程；
（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切，
求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．
解：（1）∵k AB =－2，AB ⊥BC ，∴
k CB =2
2， ……………………………2分
∴直线BC 方程为:y =2
2x －22． ……………………………4分 （2）直线BC 与x 轴交于C,令y =0，得C (4，0)，∴圆心M （1，0），……………7分
又∵AM =3，∴外接圆的方程为2
2
(1)9x y -+=． ……………………10分 （3）∵P (－1，0)，M (1，0)，
∵圆N 过点P (－1，0)，∴PN 是该圆的半径．
又∵动圆N 与圆M 内切，∴MN =3－PN ，即MN + PN =3． ……………12分 ∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆， ……………14分
∴a =32，c =1，b 2=a 2－c 2=54，∴轨迹方程为
22195
44
x y +=． …………………16分 19. 如图，平面四边形ABCD 中，AB BC CD a ===， 90=∠B ，135BCD ∠=，沿对角线AC 将ABC ∆折起，使平面ABC 与平面ACD 互相垂直. （1）求证：AB CD ⊥；
（2）在BD 上是否存在一点P ，使⊥CP 平面ABD ，证明你的结论； （3）求点C 到平面ABD 的距离.
D
C
B
A
B
D
C
A
(1) 证明： AB =BC ， 90=∠B 即AB BC ⊥
∴ 90=∠ACD 即AC CD ⊥, 又 平面ABC ⊥平面ACD,
平面ABC 平面ACD=AC , CD ⊂ 平面ACD
∴ABC CD 平面⊥ …………………3分 ABC AB 平面⊂,∴AB CD ⊥ …………………4分
（2）存在，P 为BD 中点. …………………6分 证明： BC =CD ，∴BD CP ⊥, …………………7分
由（1）知，AB CD ⊥ 又 BC AB ⊥
,
,
BCD CD BCD BC C CD BC 平面，
平面⊂⊂=⋂ ∴ AB ⊥平面BCD …………………8分 又 BCD CP 平面⊂
∴CP AB ⊥, …………………10分 ABD BD ABD AB B BD AB 平面平面⊂⊂=⋂,, ,
∴ ⊥CP 平面ABD …………………12分
（3）由（1）知，ABC CD 平面⊥ 又BC ABC ⊂平面
CD BC ∴⊥ …………………14分
又 BC =CD =a ，P 为BD 中点 2
2
CP a ∴=
由（2）知，⊥CP 平面ABD
∴点C 到平面ABD 的距离即CP 的长，为2
2
a …………16分
（证法二） AB ⊥平面BCD ，BCD BD 平面⊂,
BD AB ⊥∴,a AB AD BD 222=-=，
2
2
221a BD AB S ABD =⋅=∴∆， …………………13分
ABC CD 平面⊥， …………………14分
36
1
31a S CD V ABC ABC D =⋅=∴∆-.
设点C 到平面ABD 的距离为h ，则2
6
231a S h V ABD ABD C =⋅=∆-，
所以a h 2
2
=. …………………16分
20. 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
,右顶点为A ,
直线BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB
与AC 分别交直线:1l x a =+于点,E F .
（1）若点(2,3)B ,求ABC ∆的面积；
（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k .
①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由. ②求AEF ∆的面积的最小值.
解：（1）依题意，22
222
2
223
112a b c a b a a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，得2284a b ⎧=⎨=⎩ (22,0)A ∴
26ABC AOB AOC S S S ∆∆∆∴=+= …………………4分
(2)①由2
2
e =
得222a b = 设:BC x my =，设00(,)B x y ，则00(,)C x y --
001200,y y k k x a x a ∴==-+ 22
00
122222
2
002y y k k x a m y b ∴⋅==-- 22
2
212x my x y
b
b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 22222b y m ∴=+ 121
2
k k ∴⋅=-为定值 …………………10分
②1:()AB y k x a =-
1()
1y k x a x a =-⎧⎨
=+⎩ 1
1x a y k =+⎧∴⎨=⎩ 即1(1,)E a k + 同理，2(1,)F a k + 1211
(1)22
AEF S EF a a k k ∆∴=⋅+-=-
222
2121212111124k k k k k k -=++=++≥ 当且仅当2121
14k k =即122k =±时取等 此时min 2
2
S = …………………………16分。