2018年重庆市中考数学试题(A卷)及答案(word版)(可编辑修改word版)

2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案及解析
一、
选择题 (本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分。

)
1. 2 的相反数是
A. -2
【答案】 A
B. -
2
1 C. 2
D. 2
【解析】根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上“-”即可求解 【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题
2. 下列图形中一定是轴对称图形的是
A.
B. C. D.
三 三三三三
三 三三
三 三三三三
三三
【答案】D
【解析】A40°的直角三角形不是对称图形；B 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴
【点评】此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大， 考生主要注意看清楚题目要求。

3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是
A.企业男员工
B.企业年满 50 岁及以上的员工
C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工
D.企业新进员工
【答案】C
【解析】A 调查对象只涉及到男性员工；B 调查对象只涉及到即将退休的员工；D 调查
1
对象只涉及到新进员工
【点评】此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题。

4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4 个三角形，第②个图案中有 6 个三角形，第③个图案中有 8 个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个
数为
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】
∵第 1 个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4;
第 2 个图案中的三角形个数为:2+2+2=2×3=6;
第 3 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;
……
∴第 7 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16;
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，
从而计算出正确结果。

比较简单。

5.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm
，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为
A.3cm
B. 4cm
C. 4.5cm
D. 5cm
【答案】C
【解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。

【点评】此题主要考查相似三角形的性质——相似三角形的三边对应成比例，该题属于
中考当中的基础题。

30 1 6 20
6.下列命题正确的是
A.平行四边形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线互相垂直平分
C.菱形的对角线互相平分且相等
D.正方形的对角线互相垂直平分
【答案】D 【解析】
A.错误。

平行四边形的对角线互相平分。

B.错误。

矩形的对角线互相平分且相等。

C.错误。

菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等。

D.正确。

正方形的对角线互相垂直平分。

另外，正方形的对角线也相等。

【点评】此题主要考查四边形的对角线的性质，属于中考当中的简单题。

7.估计(
2 - 24 )
⋅ 的值应在
A. 1 和 2 之间
B.2 和 3 之间
C.3 和 4 之间
D.4 和 5 之间
【答案】B 【解析】
(
2 - 24 )
⋅
1
=2 30 ⨯ - 6
24 ⨯ 1 =2 6 - 2 ， 而 2 5= 4 ⨯ 5= ，
在 4 到 5 之间，所以2 - 2 在 2 到 3 之间
【点评】此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，属于中考当中的简单题。

30 1
6
5 20 5
8.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12 的是
A. x = 3, y = 3
B. x =-4, y =-2
C. x = 2, y = 4
D. x = 4, y = 2
【答案】C
【解析】由题可知,代入x 、y 值前需先判断y 的正负，再进行运算方式选择。

A 选项y ≥ 0 ，故将x 、y 代入x2+ 2 y，输出结果为15 ，选项排除；B 选项y ≤ 0 ，故将x 、y
代入x2- 2 y，输出结果为20 ，选项排除；C 选项y ≥ 0 ，故将x 、y 代入x2+ 2 y，输出
结果为12 ，选项正确；D 选项y ≥ 0 ，故将x 、y 代入x2+ 2 y ，输出结果为20 ，选项排除；
最终答案为C 选项。

【点评】本题为代数计算题型，根据运算程序，先进行y 的正负判断，选择对应运算方
式，进行运算即可，难度简单。

9.如图，已知AB 是 O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与 O 相切于点D，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C，若 O 的半径为 4，BC = 6 ，则PA 的长为
A．4 B．2C．3 D．2.5
3
【答案】A
【解析】作OH⊥PC 于点H.易证△POH∽△PBC，∴PO
=
OH
,∴
PA + 4
=
4
,∴PA = 4
PB BC PA + 8 6 【点评】此题考查圆切线与相似的结合，属于基础题
10.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED = 58︒，升旗台底部到教学楼底部的距离DE = 7 米，升旗台坡面CD 的坡度i = 1: 0.75 ，坡长CD = 2 米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC = 1 米，则旗杆AB 的高度约为
（参考数据：sin 58︒≈ 0.85 ，cos 58︒≈ 0.53 ，tan 58︒≈ 1.6 ）
A．12.6 米B．13.1 米C．14.7 米D．16.3 米
【答案】B
【解析】延长 AB 交地面与点 H . 作 CM ⊥DE . 易得CM = 1.6. DM
= 1.2,, AH
=
tan58︒
HE
∴ AH 1 + 1.2 + 7
= 1.6 ∴ AH = 14.72,∴ AB = 14.72 - 1.6 ≈ 13.1
【点评】此题考查三角函数的综合运用，解题关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系，属于中等题
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A ，B 在反比例函数 y = k
（ k > 0 ， x > 0 ）
x
的图象上，横坐标分别为 1，4，对角线 BD ∥x 轴．若菱形 ABCD 的面积为 45
，则 k 的值为
2
A. 5
4
【答案】D
B. 15
4
C ．4
D ．5
⎨ ⎨ 得 【 解 析 】 设 A(1,m),B(4,n), 连 接 AC 交 BD 于 点 O,BO=4-1=3,AO=m-n, 所 以
, m - n = 15 有因为 m = 4n ,所以 n = 5 , k = 5
⨯ 4 = 5
4 4 4
【点评】此题考查 k 的几何意义与坐标，面积的综合运用，属于中挡题
⎧ x - 1 < 1 + x
12. 若数 a 使关于 x 的不等式组⎪
2 3 有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程
y + a +
2a ⎪⎩5x - 2 ≥ x + a
= 2 的解为非负数，则符合条件的所有整数 a 的和为( ) y - 1 1 - y
A. -3
B. -2 C ．1 D ．2
【答案】C
⎧ x - 1 < 1 + x
⎧x < 5
【解析】 解不等式⎪
2 ⎪
3 ⎨x ≥ a + 2
⎪⎩5x - 2 ≥ x + a ⎪⎩
4 ，由于不等式有四个整数解，根据题意
A 点为 a + 2 ， 则 0 < a + 2 ≤ 1
， 解得 - 2 < a ≤ 2 。

解分式方程
4 4
y + a + 2a
= 2 得 y = 2 - a ，又需排除分式方程无解的情况，故 a ≤ 2 且 a ≠ 1 .结合不等式 y - 1 1 - y - 2 < a ≤ 2且a ≠ 1
- 1,0,2 组的结果有 a 的取值范围为 ，又 a 为整数,所以 a 的取值为 ,和为 1. 故选 C
【点评】此题考查含参不等式和含参分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题
二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算： -2 + (- 3)0 = ．
【答案】3
【解析】原式=2+1=3
【点评】此题考查有理数的基本运算，属于基础题
14．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 2 ，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于
点E ，图中阴影部分的面积是（结果保留）．D C
A E B
【答案】6 -
【解析】S
阴= 2 ⨯ 3 -
90
360
•• 22= 6 -
【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题
15. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5 天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为。

25.4
24.9
23.4
22.4
21.9
O
【答案】23.4 万
【解析】从图中看出，五天的游客数量从小到大依次为 21.9, 22.4, 23.4, 24.9, 25.4，则中位数应为 23.4 万。

【点评】本题考查了中位数的定义，难度较低。

16.如图，把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，得到∠AGE = 30︒，若AE =EG = 2 厘米，则 ABC 的边BC 的长为厘米。

3
【答案】 6+4
【解析】 过 E 作 EH ⊥ AG 于 H 。

AE = EG = 2 3, ∠AGE = 30︒.
∴GA = 2 A H = 2 A E ⋅ cos 30︒ = 2 ⨯ 2 3
⨯
3
= 6.
2
由翻折得 BE = AE = 2 3, GC = GA = 6.
∴ BC = BE + EG + GC = 6 + 4 3.
【点评】 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等。

17. A , B 两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从 A 地出发到 B 地，分别以
一定的速度匀速行驶，甲车先出发 40 分钟后，乙车才出发。

途中乙车发生故障，修车耗时 20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达 B 地。

甲、乙两车相距的路程 y （千米）与甲车行驶时间 x （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 B 地还有
千米。

3
⎪ t
【答案】 90
【解析】 甲车先行 40 分钟（
40 = 2
h ）， 所行路程为 30 千米， 因此甲车的速度为 60 3
30
= 45km / h 。

乙车的初始速度为45⨯ 2 = 10 + 4 V ⇒ V = 60km / h ，因此乙车故障后
2 3
速度为60 -10 = 50km / h 。

3 乙 乙
⎧
60t + 50t = (t + t + 1) ⨯ 45 ⎧3t + t = 3
⎪ 1 2 1 2 3 1 2 ⇒ ⇒ = ⎨ 4 1
⎨ + t = 7 t 2 2
⎪45⨯ + (t + t +
) ⨯ 45 = 240 ⎪⎩ 1 2 3 ⎪⎩ 3 3 ∴ 45⨯ 2 = 90km
【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较高。

18. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮。

其中， 甲种粗粮每袋装有 3 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，1 千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有 1 千克
A 粗粮，2 千克
B 粗粮，2 千克
C 粗粮。

甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 A , B , C
三种粗粮的成本价之和。

已知 A 粗粮每千克成本价为 6 元，甲种粗粮每袋售价为 58.5 元， 利润率为 30%，乙种粗粮的利润率为 20%。

若这两种袋装粗粮的销售利润率达到 24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是。

（ 商品的利润率=
商品的售价-商品的成本价
⨯100% ）
商品的成本价
【答案】 8 : 9
【解析】 用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
1 2
A 3 1
B 1 2
C 1 2
甲中A 总成本价为3⨯ 6=18 元，根据甲的售价、利润率列出等式58.5 -甲总成本价
= 0.3 ，甲总成本价
可知甲总成本为 45 元。

∴甲中B 与C 总成本为45 -18 = 27 元。

∴乙中B 与C 总成本为27 ⨯ 2 = 54 元。

∴乙总成本为54 +1⨯ 6 = 60 元。

设甲销售a 袋，乙销售b 袋使总利润率为 24%.
(72 - 60)b + (58.5 - 45)a
⨯100% = 24% 。

45a + 60b
13.5a +12b = 10.8a +14.4b ⇒ 2.7a = 2.4b
∴a : b = 8 : 9
【点评】本题考查了不定方程的应用，其中包括销售问题，难度较高。

三、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

19.如图，直线AB//CD，BC 平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
【答案】72°
【解析】∵ AB//CD，∠1=54°
∴ ∠ABC=∠1=54°
∵ BC 平分∠ABD
∴ ∠DBC=∠ABC=54°
∴ ∠ABD=∠ABC+∠DBC=54°+54°=108°
∵ ∠ABD+∠CDB=180°
19 题图
∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°
∵∠2=∠CDB
∴ ∠2=72°
【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线性质以及角平分线性质求角度.
20.某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
1
1
（1） 请将条形统计图补全；
1 1
（2） 获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级，现
4 4
准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率. 1 【答案】（1）如下图；（2）
3
【解析】（1）10 ÷ 25% = 40 （人）
获一等奖人数： 40 - 8 - 6 -12 -10 = 4 （人）
（2）七年级获一等奖人数： 4 ⨯ = 1 （人）
4
八年级获一等奖人数： 4 ⨯ = 1 （人） 4
∴ 九年级获一等奖人数： 4 -1-1 = 2 （人）
七年级获一等奖的同学人数用 M 表示，八年级获一等奖的同学人数用 N 表示， 九年级获一等奖的同学人数用 P 1 、P 2 表示，树状图如下：
共有12 种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4 种，
则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率 P = 4 =
1 1
2
3 .
【点评】此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状
图法是解题关键，难度中等.
四、解答题（本大题 5 个小题，每小题 10 分，共 50 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

21、计算：
（1） a (a + 2b )- (a + b )(a - b )
【答案】 2ab + b 2
【解析】 解： 原式= a 2 + 2ab - (a 2 - b 2
)
= 2ab + b 2
⎛ x + 2 ⎫ x 2 - 4x + 4 （2）
x - 3 + x + 2⎪ ÷ x - 3 ⎝ ⎭
【答案】
x + 2
x - 2
3
【解析】 解： 原式= x + 2 + (x + 2)(x - 3) ⋅ x - 3
x - 3 x 2 - 4x + 4
(x + 2)(x - 2) ⋅ x - 3
=
x - 3 (x - 2)2
x + 2 =
x - 2
【点评】本题考查了整式的乘除以及分式的化简运算。

22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y = -x + 3 过点 A (5, m) 且与 y 轴交于点 B ，把点 A
向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点C .过点C 且与 y = 2x 平行的直线交 y 轴
于点 D .
(1) 求直线CD 的解析式；
（2）直线 AB 与CD 交于点 E ，将直线CD 沿 EB 方向平移，平移到经过点 B 的位置结束， 求直线CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围. 【答案】（1） y = 2x - 4 （2） - ≤ x ≤ 2 2
【解析】解：（1）由题意可得，
点 A (5, m) 在直线 y = -x + 3 上
∴ m = -5 + 3 = -2
即 A (5, -2)
又 点 A 向左平移 2 个单位，又向上平移 4 个单位得到点C
∴ C(3, 2)
直线CD 与 y = 2x 平行
∴设直线CD 的解析式为y = 2x + 3
又 直线CD 过点C(3, 2)
∴直线CD 的解析式为y = 2x - 4
（2）将x = 0 代入y =-x + 3 中，得y = 3 ，即B (0, 3)
故平移之后的直线BF 的解析式为y = 2x + 3
令y = 0 ，得x =-3
2
，即F (-
3
, 0)
2
将y = 0 代入y = 2x - 4 中，得x = 2 ，即G(2, 0)
∴CD 平移过程中与x 轴交点的取值范围是：-3
≤x ≤ 2
2
【点评】本题主要考察求解一次函数的解析式以及图像移动过程中自变量的取值范围，题型比较简单。

23.在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。

（1）原计划是今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数至少是道路拓宽的里程数的
4 倍，那么，原计划今年 1 至
5 月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。

2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1 :2，且里程数之比为 2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。

经测算：从今年 6 月起至年底，如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加
a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至5 月的基础上分别增加5a%，8a%，求a 的值。

【答案】（1）40 千米；（2）10。

【解析】解：
（1）设道路硬化的里程数至少是 x 千米。

则由题意得：
x≥4(50-x)
解不等式得：
x≥40
答：道路硬化的里程数至少是 40 千米。

（2）由题意得：
2017 年：道路硬化经费为：13 万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：20 万/千米，里程为：15km
∴今年 6 月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元
∴列方程：
13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)令 a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
化简得：
2(1 + t)(1 + 5t) + (1 + 5t)(1 + 8t) = 3 (1 + 10t)
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
10t2-t=0
t(10t-1)=0
∴t1 = 0（舍去）
1 t
2 =
10
∴综上所述： a = 10
答：a 的值为 10。

【点评】
本题考察一元二次不等式的应用，一元二次方程的应用。

求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。

（1）利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的 4 倍”列出不等式求解。

（2）根据 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出 6 月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。

表示出总费用列方程求解。

24.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB = AE，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.
（1）若AH = 3，HE = 1，求∆ABE的面积；
（2）若∠ACB = 45°，求证：DF = 2CG.
【解析】解：
（1）∵AH = 3. HE = 1
∴AB = AE = AH + HE = 4
又∵在Rt∆ABE中
BH = = =
K 7
AB 2 - AH242 - 32
7 ∴ S ∆ABE = 1 AE ∙ BH = 2 1
× 4 ×
= 2 2
（2）证: 过点A 作AM ⊥ BC于点M,交BG 于点K,
过点G 作GN ⊥ BC交于点N.
∴ ∠AMB = ∠AME = ∠BNG = 90°
∵ ∠ACB = 45°
∴ ∠MAC = ∠ACB = ∠NGC = 45°
∵ AB = AE
∴ BM = ME = 1
BE, ∠BAM = ∠EAM
2
又 ∵ AE ⊥ BG
∴ ∠AHK = 90°
在∆AHK 和∆BMK 中
∠AHK + ∠MAE + ∠AHK = 180°
∠AMB + ∠NBG + ∠BKM = 180°
∴ ∠MAE = ∠NBG(8 字图)
设 ∠BAM = ∠MAE = ∠NBG = α
∴ ∠BAG = ∠MAC + ∠BAM = 45°
+ α
∠BGA = ∠ACB + ∠NBG = 45°
+ α
∴ ∠BAG = ∠BGA
∴ AB = BG
∴ AE = BG
在∆AME 和∆BNG 中
∠AME = ∠BNG, ∠MAE = ∠NBG, AE = BG.
∴ ∆AME ➀∆BNG (AAS)
7
➨
2 ∴ ME = NG
在等腰 Rt ∆ABE 中，NG = NC
∴ GC = 2NG = 2ME =
BE 2
∴ BE = 2GC
∵ O为AC 的中点
∴ OA = OC
∵ 四边形ABCD 为平行四边形
∴ AD ∥ BC,AD = BC
∴ ∠OAF = ∠OCE
∠AFO = ∠CEO
∴ ∆AFO ➀∆CEO (AAS)
∴ AF = CE
∴ AD - AF = BC - CE
即 DF = BE
∴ DF = BE = 2CG
25、对任意一个四位数 n,如果千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上的数字之和也为 9，则称 n 为“极数”.
（1） 请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99 的倍数，请说明理由；
（2） 如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数，若四位数 m
m
为“极数”，记 D （m ）=33.求满足 D （m ）是完全平方数的所有 m.
【答案】(1)1188, 2475; 9900(符合题意即可) (2)1188 ,2673 ,4752 ,7425. 【解析】解：
( ) = = + +( (1)猜想任意一个“ 极数” 是99的倍数。

理由如下：
设任意一个“ 极数” 为xy (9 - x )(9 - y )(其中1≤ x ≤ 9, 0 ≤ x ≤ 9, 且x, y 为整数) xy (9 - x )(9 - y )=1000x +100y+10 (9 - x ) +(9 - y )
=1000x +100 y + 90 -10x + 9 - y
= 990x + 99 y + 99
= 99(10x + y +1)
∴x, y 为整数，则10x + y +1为整数，则任意一个“ 极数” 是99的倍数.
(2)设m = xy (9 - x )(9 - y )(1 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ x ≤ 9且x, y 为整数)
99 (10x + y +1) 则由题意可知D m 3 10x y 1 33
1 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9
∴33 ≤ 3(10x + y +1) ≤ 300
又 D (m )为完全平方数且为3的倍数
∴ D (m )可取36,81,144, 225.
① D (m ) = 36 时，3(10x + y +1) = 36
10x + y +1 = 12
∴ x = 1, y = 1, m = 1188
② D (m ) = 81 时，3(10x + y +1) = 81
10x + y +1 = 27
∴ x = 2, y = 6, m = 2673
③ D (m ) =144 时，3(10x + y +1) = 144
10x + y +1 = 48
∴ x = 4, y = 7, m = 4752
④ D (m ) =225 时，3(10x + y +1) = 225
10x + y +1 = 75
∴ x = 7, y = 4, m = 7425
∴综上所述，满足D (m )为完全平方数的m 的值为1188，2673, 4752, 7425.
【点评】：本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征， 分类讨论。

【易错点】：易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征；难度一般。

10
10 26. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y = - x 2 + 4x 上,且横坐标为 1，点 B 与点
A 关于抛物线的对称轴对称，直线 A
B 与y 轴交于点
C ，点
D 为抛物线的顶点，点
E 的坐
标为 (
1，1)
（1） 求线段 AB 的长；
（2） 点 P 为线段 AB 上方抛物线上的任意一点，过点 P 作 AB 的垂线交 AB 于点 H ，点 F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH + HF + 1
FO 的最小值； 2
（3） 在（2）中， PH + HF +
1 FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60︒ 后得
2 到△CF ' H ' ,过点 F ' 作CF ' 的垂线与直线 AB 交于点Q ，点 R 为抛物线对称轴上的一点，
在平面直角坐标系中是否存在点 S ，使得点 D , Q , R , S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 S 的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】（1） AB = 2
（2） PH + HF + 1 FO = 3 3 + 9 2 4 4
（3） S 1 (-1，3+ )； S 2 (-1，3- )； S 3 (5，3)； S 4 (-1，8)
【解析】解：（1）由题意得A (1，3) B (3，3） D (2，4)
C (0，3)
则AB = 2
E (1，1)
（2）延长PH ，交BE 于点N
B (3，3)，E (1，1)
∴直线BE 的解析式为: y =x
设P (m ，- m2+ 4m )，1＜m＜3 ,则N (m，m)
分析可得，当PN 取最大值时，S△PBE 取最大值
∴PN = -m2+ 4m -m
= -(m -3
)2+
9 2 4
∴当m =3
，PN 取最大值2
∴P ( 3
，
15
)，H (
3
，3 )
2 4 2
构造与y 轴夹角为30︒的直线 OM，如图所示
则OM : y = - 3x ，即 3x + y = 0 , MF = 1 FO 2
∴ PH + HF + 1 FO = PH + HF + MF
2
当 HM ⊥ OM 时， (PH + HF + MF )MIN = PH + HM
3 3 + 3 ∴ HM = 2 = 3 3 + 3
2 4 2
∴ PH + HF + 1 FO = PH + HM
2
= 3 + 3 3 + 3 = 3 3 + 9 4 4 2 4 4
（3）∵OM 的解析式为 y = - 3x ,HM⊥OM,且 HM 过点 H
∴HM 的解析式为: y =
3 x + 3 - 3
3 2
∴ F (0，3- 3
） 2
M
2
3
10 10
又∵ C (0，3)
∴CF =
3
2
在RT△CQF ' 中，CF ' =CF =
3
, ∠QC F ' = 300
2
∴CQ =CF ' =1
∴Q (-1，3)
①以DQ 为边,此时S1 (-1，3- )；S2 (5，3)；S3 (-1，3+ )；
②以DQ 为对角线，此时S4(-1，8)
S4
Q
【点评】此次二次函数的压轴题与前几年的中考题的考查基本类似.
第(1)问与 16、17 年的中考第一问略有区别,之前考查的是求一次函数的解析式或者求点的坐标,今年考查的是求线段的长度,虽然题目的问法有所改变,但是题目的难度却降低了
第(2)问的考查从 15 年开始基本上就没有变化,考查的都是双最值的问题.前半部分求面积的最大值要把它转化成求线段的最大值.后半部分为三条线段和最小问题,相对前两年考查方向一致,不过,其中一条线段的长度前面带有系数.求解过程中,若可以想到利用点到直线的距离公式求线段长,则计算会简化很多.
第(3)问持续考查特殊图形的存在性问题(今年考查菱形的存在性问题),学生要学会从已知的线段为边或对角线两种情况进行讨论.
整体来说成绩较好的学生本题可以拿到 8-10 分.。