【数学课件】2017届中考数学专题几何综合题总复习(2)
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题组训练
1．（2016•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，点D是 AE上 一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB； （3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO ，DE=2，求PD的长．
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解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°， ∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO， 即∠ACD=∠OCB， 又∵点O是AB的中点， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∴∠ACD=∠B， 2=AB•BE， （2）（ i ）∵BC BC ∴ AB = BE ， BC ∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB=∠CEB=90°， ∵∠ACD=∠B，
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∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB=∠CEB=90°， ∵∠ACD=∠B， 3 ∴tan∠ACD=tan∠B= ， 4 设BE=4x，CE=3x， 由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2， ∴（4x）2+（3x）2=100， ∴解得x=2， ∴CE=6；
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（ii）过点A作AF⊥CD于点F， ∵∠CEB=90°， ∴∠B+∠ECB=90°， ∵∠ACE+∠ECB=90°， ∴∠B=∠ACE， ∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=∠ACE， ∴CA平分∠DCE， ∵AF⊥CE，AE⊥CE， ∴AF=AE， ∴直线CD与⊙A相切．
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（1）证明：连接BD， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC， 1 ∴AD=DC=BD= 2 AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°， ∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB， 又AD=BD， ∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
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4．（2016•德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分 ∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC． （1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF； （3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
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（3）连结DE，如图， ∵OD=OB， ∴∠2=∠ODB， 而∠1=∠2， ∴∠ODB=∠1， ∴OD∥BE， ∴△POD∽△PBE， PD PO ∴ PE = PB ， ∵PA=AO， ∴PA=AO=BO， PD PD 2 ∴ PE = ，即 PD + 2 = 3 ∴PD=4．
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（2）证明：连接EF，BG， ∵△AED≌△BFD， ∴DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF；
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3．（2016•娄底）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中， ∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点． （1）求证：∠B=∠ACD． （2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE． 3 （i）若tan∠ACD= 4 ，BC=10，求CE的长； （ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关 系，并请说明理由．
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（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°， ∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE， ∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线； （2）证明：∵BD平分∠ABE， ∴∠1=∠2， 而∠2=∠AED， ∴∠AED=∠1， ∵∠FDE=∠EDB， ∴△DFE∽△DEB， ∴DE：DF=DB：DE， ∴DE2=DF•DB；
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例1（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O 的直径，∠ABC=30°，求点B作⊙O的切线BD，与CA的延 长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O 的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. （1）求证△ACF∽△DAE； 3 （2）若S△AOC = 4 ，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线.
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（2）∵△AOC为等边三角形， ∴S△AOC= 43 OA = 43 ， ∴OA=1， ∴BC=2，OB=1， 又∠D=∠BEO=30°， ∴BD= 2 3 ，BE= 3 ， ∴DE= 3 3 ；
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（3）如图，过OM⊥EF于M， ∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF， ∴△OAF≌△OBE， ∴OE=OF， ∵∠EOF=120°， ∴∠OEM=∠OFM=30°， ∴∠OEB=∠OEM=30°， 即OE平分∠BEF， 又∠OBE=∠OME=90°， ∴OM=OB， ∴EF为⊙O的切线.
专题五
几何综合题
几何综合题主要考查学生综合运用几何知识的能力 ，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，要求学 生有较强的理解能力、分析能力、解决问题的能力，对 数学知识、数学方法有较强的驾驭能力。近几年广东中 考试题总是在第24题考查圆的综合题，有圆与矩形，圆 与全等，圆与相似等，内容丰富，解题技巧要求越来越 高，解决这类问题主要方法是借助已知条件，联想并运 用其所体现的知识点，从探寻解题的突破口。
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（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°， 又∠ABC=30°， ∴∠ACB=60°， 又OA=OC， ∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°， ∵AF为⊙O的切线， ∴∠OAF=90°， ∴∠CAF=∠AFC=30°， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠DBC=∠OBE=90°， ∴∠D=∠DEA=30°， ∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC， ∴△ACF∽△DAE；
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2．（2016•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点 （点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G， DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF； （2）连接GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
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1．（2016•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，点D是 AE上 一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB； （3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO ，DE=2，求PD的长．
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解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°， ∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO， 即∠ACD=∠OCB， 又∵点O是AB的中点， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∴∠ACD=∠B， 2=AB•BE， （2）（ i ）∵BC BC ∴ AB = BE ， BC ∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB=∠CEB=90°， ∵∠ACD=∠B，
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∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB=∠CEB=90°， ∵∠ACD=∠B， 3 ∴tan∠ACD=tan∠B= ， 4 设BE=4x，CE=3x， 由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2， ∴（4x）2+（3x）2=100， ∴解得x=2， ∴CE=6；
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（ii）过点A作AF⊥CD于点F， ∵∠CEB=90°， ∴∠B+∠ECB=90°， ∵∠ACE+∠ECB=90°， ∴∠B=∠ACE， ∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=∠ACE， ∴CA平分∠DCE， ∵AF⊥CE，AE⊥CE， ∴AF=AE， ∴直线CD与⊙A相切．
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（1）证明：连接BD， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC， 1 ∴AD=DC=BD= 2 AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°， ∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB， 又AD=BD， ∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
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4．（2016•德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分 ∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC． （1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF； （3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
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（3）连结DE，如图， ∵OD=OB， ∴∠2=∠ODB， 而∠1=∠2， ∴∠ODB=∠1， ∴OD∥BE， ∴△POD∽△PBE， PD PO ∴ PE = PB ， ∵PA=AO， ∴PA=AO=BO， PD PD 2 ∴ PE = ，即 PD + 2 = 3 ∴PD=4．
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（2）证明：连接EF，BG， ∵△AED≌△BFD， ∴DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF；
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3．（2016•娄底）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中， ∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点． （1）求证：∠B=∠ACD． （2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE． 3 （i）若tan∠ACD= 4 ，BC=10，求CE的长； （ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关 系，并请说明理由．
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（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°， ∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE， ∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线； （2）证明：∵BD平分∠ABE， ∴∠1=∠2， 而∠2=∠AED， ∴∠AED=∠1， ∵∠FDE=∠EDB， ∴△DFE∽△DEB， ∴DE：DF=DB：DE， ∴DE2=DF•DB；
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例1（2016•广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O 的直径，∠ABC=30°，求点B作⊙O的切线BD，与CA的延 长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O 的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. （1）求证△ACF∽△DAE； 3 （2）若S△AOC = 4 ，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线.
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（2）∵△AOC为等边三角形， ∴S△AOC= 43 OA = 43 ， ∴OA=1， ∴BC=2，OB=1， 又∠D=∠BEO=30°， ∴BD= 2 3 ，BE= 3 ， ∴DE= 3 3 ；
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（3）如图，过OM⊥EF于M， ∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF， ∴△OAF≌△OBE， ∴OE=OF， ∵∠EOF=120°， ∴∠OEM=∠OFM=30°， ∴∠OEB=∠OEM=30°， 即OE平分∠BEF， 又∠OBE=∠OME=90°， ∴OM=OB， ∴EF为⊙O的切线.
专题五
几何综合题
几何综合题主要考查学生综合运用几何知识的能力 ，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，要求学 生有较强的理解能力、分析能力、解决问题的能力，对 数学知识、数学方法有较强的驾驭能力。近几年广东中 考试题总是在第24题考查圆的综合题，有圆与矩形，圆 与全等，圆与相似等，内容丰富，解题技巧要求越来越 高，解决这类问题主要方法是借助已知条件，联想并运 用其所体现的知识点，从探寻解题的突破口。
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（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°， 又∠ABC=30°， ∴∠ACB=60°， 又OA=OC， ∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°， ∵AF为⊙O的切线， ∴∠OAF=90°， ∴∠CAF=∠AFC=30°， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠DBC=∠OBE=90°， ∴∠D=∠DEA=30°， ∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC， ∴△ACF∽△DAE；
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2．（2016•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点 （点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G， DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF； （2）连接GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若AE=1，EB=2，求DG的长．