江西省新余四中2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

江西省新余四中2024届数学高一第二学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ）
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．相交或异面
2．在ABC 中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（ ）
A ．
12
33AB AC + B ．
2133AB AC - C ．21
33
AB AC +
D ．12
33
AB AC -
3．已知扇形圆心角为
6π
，面积为3
π，则扇形的弧长等于（） A ．
6
π B ．
4
π
C ．3
π D ．
2
π 4．已知等比数列的公比为，且
，数列
满足
，若数列
有连续
四项在集合中，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移φ(0)φ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ）
A ．
8
π
B ．
38
π C ．
4
π D ．
34
π 6．设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A ．
23
π
B ．
56
π C ．π D ．43
π
7．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．14
33
AD AB AC =-+ B ．14
33
AD AB AC =
- C ．41
33
AD AB AC =
+ D ．41
33
AD AB AC =
- 8．设1F ，2F 是椭圆22
21(02)4x y
b b
+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，
B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A
．
12
B
．
2
C ．
1
2
D ．
2
9．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( ) A ．
12
B ．4±
C ．4-
D ．32
10．函数y=tan （π
4
–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠
π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+
3π
4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π
4
，k ∈Z}
D ．{x|x≠kπ+π
4
，k ∈Z}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．不等式x （2x ﹣1）＜0的解集是_____．
12．在半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 13．已知变量,x y 之间满足线性相关关系 1.31y x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：m =_____.
14．平面四边形ABCD 中,,2,2,60AB AC BC BDC ABC ==∠=∠=︒,则
AD =_______.
15．设变量x 、y 满足约束条件1
201x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为_______.
16．已知{n a }是等差数列，n S 是它的前n 项和，且
837
5a a =，则155
S S =____. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，若8AB =，5AD =，3CP PD =.
（1）若3
BAD π∠=
，求||AP 的值；
（2）若2AP BP ⋅=，求AB AD ⋅的值. 18．已知()()2
15f x x a a x =+-+.
（1）解关于a 的不等式()10f >；
（2）若不等式()f x b <的解集为()1,2-，求实数a ，b 的值. 19．如图，在正ABC 中，2AB =，BP tBC =()t ∈R .
（1）试用AB ，AC 表示AP ； （2）若1
2
t =
，3CA EA =，求AP BE ⋅. 20．已知函数f （x ）＝a sin （
4
πx ）（a ＞0）在同一半周期内的图象过点O ，P ，Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数f （x ）的最高点，Q 为函数f （x ）的图象与x 轴的正半轴的交点，△OPQ 为等腰直角三角形． （1）求a 的值；
（2）将△OPQ 绕原点O 按逆时针方向旋转角α（0＜α4
π
＜），得到△OP ′Q ′，若点P ′
恰好落在曲线y 3x =
（x ＞0）上（如图所示），试判断点Q ′是否也落在曲线y 3
x
=（x ＞
0），并说明理由．
21．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a mb nc =+的实数m ，n ； (2)若()//(2)a kc b a +-，求实数k ；
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【题目详解】
当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【题目点拨】
本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 2、A 【解题分析】
将题中所体现的图形画出，可以很直观的判断向量的关系. 【题目详解】
如图有向量运算可以知道：
2212
()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,选择A
【题目点拨】
考查平面向量基本定理， 利用好两向量加法的计算原则：首尾相连，首尾相接. 3、C 【解题分析】
根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【题目详解】
221122263
S r r r π
απ==⨯=⇒=
扇形弧长26
3
l r π
π
α==⨯=
故答案选C 【题目点拨】
本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 4、A 【解题分析】 由题可知数列
的连续四项，从而可判断
，再分别列举满足符合条件的情
况，从而得到公比. 【题目详解】 因为数列
有连续四项在集合
中，
，所以数列
有连续四项在集合中，所以数列
的连续四项不同号，即
.
因为
，所以
，按此要求在集合
中取四个数排成
数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，
所以数列
的公比为
.
【题目点拨】
本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大. 5、B 【解题分析】
把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移
φ(0)φ>个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.
【题目详解】
()sin 2cos 2())4
f x x x f x x π
=+⇒=-，该函数求出向右平移φ(0)φ>个
单位后得到新函数的解析式为：
())]2)44
g x x x ππ
φφ=--=--，由题意可知：函数
()2)4
g x x π
φ=--的图象关于y 轴对称，所以有 2()()0428
k k k Z k Z πππ
φπφφ--=∈⇒=-
-∈>∴当1k =-时，φ有最小值，最小值为min (1)3288
πππ
φ-⋅=--=. 故选：B 【题目点拨】
本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力. 6、C 【解题分析】
求出函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移(0)m m >个单位，向右平移(0)n n >个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合，可分别得关于m ，n 的方程，解之即可． 【题目详解】
解：将函数sin 2()y x x R =∈的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数
sin 2()sin(22)y x m x m =+=+，
其图象与sin(2)6
y x π
=+
的图象重合， sin(22)sin(2)6x m x π∴+=+，226m k ππ∴=+，k z ∈，故12
m k π
π=+，k z ∈，
()k ∈Z ，
当0k =时，m 取得最小值为
12
π
．
将函数sin 2()y x x R =∈的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数
sin 2()sin(22)y x n x n =-=-，
其图象与sin(2)6
y x π
=+
的图象重合， sin(22)sin(2)6x n x π∴-=+，226
n k π
π∴-=+，k z ∈，
故12n k ππ=--，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为1112
π， m n ∴+的最小值为π，
故答案为：C ． 【题目点拨】
本题主要考查诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 7、A 【解题分析】 ∵3BC CD =
∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −1
3
AB . 故选A. 8、A 【解题分析】
228AF BF AB ++=，故AB 的最小值为3，当且仅当AB x ⊥轴时，AB 最小，
此时3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，计算得到答案.
【题目详解】
22112248AF BF AF BF AF BF AB a +++=++==， 22AF BF +最大值为5，故AB 的最小值为3，
当且仅当AB x ⊥轴时，AB 最小，此时3,
2A c ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， 即221449c b
+=又因为224b c =+，
可得1c =，故12
c e a ==. 故选：A . 【题目点拨】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 9、B 【解题分析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。

【题目详解】
由题意知，228m =⨯，∴4m =±． 故选B 【题目点拨】
本题考查等比中项，属于基础题。

10、A 【解题分析】
根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域． 【题目详解】
由题意得，y=tan （π4–2x ）=–tan （2x –π4
），由2x –πππ42k ≠+（k ∈Z ）得，x≠π2k +3π8，
k ∈Z ，所以函数的定义域是{x|x≠π2k +3π
8
，k ∈Z}，
故选:A ． 【题目点拨】
本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解题分析】
求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案． 【题目详解】
由不等式(21)0x x -<对应方程的实数根为0和
12
， 所以该不等式的解集是1{|0}2
x x <<．
故答案为：1
{|0}2
x x <<． 【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12、(16π 【解题分析】
根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不
等式得到ah ≤，得到侧面积最大值为积，作差得到结果. 【题目详解】
设球内接正四棱柱的底面边长为a ，高为h
则球的半径:2r ==
22216h a ∴+=≥ ah ∴≤
∴正四棱柱的侧面积：4S ah =≤侧球的表面积：24216S ππ=⨯=
∴当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：
(
1616ππ-=
本题正确结果：(16π 【题目点拨】
本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用. 13、1.8 【解题分析】
根据回归直线方程过样本点的中心()
,x y ，代入数据即可计算出m 的值. 【题目详解】 因为1234
2.54x +++=
=，0.1 3.14 1.80.254
m y m +++==+，
所以1.80.25 1.3 2.51m +=⨯-，解得 1.8m =. 故答案为：1.8. 【题目点拨】
本题考查根据回归直线方程过样本点的中心()
,x y 求参数，难度较易.
14、
23
3
【解题分析】 先求出233AB AC ==，再求出3cos sin 4
DCA DBC CD ∠=∠=，再利用余弦定理求出AD 得解. 【题目详解】
依题意得ABC 中，30ABC ACB ∠=∠=︒，故2
33
AB AC ==
．
在BCD 中，由正弦定理可知，
sin sin BC CD
BDC DBC
=∠∠，
得sin 3
sin CD BDC DBC BC ⋅∠∠=
=．
在BCD 中，因为90BDC ACB ∠+∠=︒， 故90DCA DBC ∠+∠=︒． 则3
cos sin 4
DCA DBC CD ∠=∠=
． 在ACD 中，由余弦定理可知，2222cos AD AC CD AC CD DCA =+-⋅⋅⋅∠， 即222223
(
3)2(3)()334
AD CD CD CD =+-⋅⋅⋅． 得23AD =
． 【题目点拨】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 15、3
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值 【题目详解】 可行域如图所示;
则2z x y =+可化为0.50.5y x z =-+,由图象可知,当2z x y =+过点(1,2)-时，有最大值，则其最大值为:1223-+⨯= 故答案为:3. 【题目点拨】
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率） 16、
21
5
【解题分析】
根据等差数列的性质得15815S a =⨯，535S a =⨯由此得解. 【题目详解】
解：由题意可知，()
1158
158********
2
a a a S a +⨯=
=
=⨯；同理535S a =⨯。

故
15885331521355
S a a S a a === . 故答案为：
21
5
【题目点拨】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）||39AP =（2）22
（1）易得AP AD DP =+，3
BAD π∠=
，再由2
2AP AP =即可得解；
（2）由2AP BP ⋅=可得出()()2AP BP AD DP BC CP ⋅=++=，再由3CP PD =，
可得：13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，即22132216AD AB AD AB -⋅-=，即可得到AB AD ⋅的值. 【题目详解】
（1）由向量的加法法则得：AP AD DP =+，3
BAD π∠=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
()2()2AP AD DP AD AD DP DP AP AD DP AD AD DP DP
=+=+⋅+==+=+⋅+221
5252cos
22525243932
π
=+⨯⨯⨯+=+⨯⨯⨯+=， 因为2
2
AP AP =，所以||39AP =
（2）()()2AP BP AD DP BC CP ⋅=++=，∴13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴2
213
2216AD AB AD AB -
⋅-=，即1325642
216
AB AD -⋅-⨯=，∴22AB AD ⋅=. 【题目点拨】
本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
18、（1）()2,3-；（2）127a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或127a b ⎧-=
⎪⎨⎪=⎩
．
【解题分析】
（1）()()1115f a a =+-+260a a =-++>，再解一元二次不等式即可； （2）由题意得()1f b -=，()2f b =，代入即可求出实数a ，b 的值． 【题目详解】
（1）∵()()2
15f x x a a x =+-+，
∴()()1115f a a =+-+260a a =-++>， ∴()()320a a -+<，
解得23a -<<，
∴原不等式的解集为()2,3-；
（2）由题意得()1f b -=，()2f b =，
即()()1154215a a b a a b ⎧--+=⎪⎨+-+=⎪⎩
，解得7a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
7
a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
∴127a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
或127a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
． 【题目点拨】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查三个二次之间的关系，考查转化与化归思想，属于基础题．
19、（1）()1AP t AB t AC =-+；（2）-2 【解题分析】
（1）由BP tBC =，可得()
AP AB t AC AB -=⋅-，整理可求出答案； （2）用AB 、AC 分别表示AP 和BE ，进而求出AP BE ⋅即可. 【题目详解】
（1）因为BP tBC =，则()
AP AB t AC AB -=⋅-，所以()1AP t AB t AC =-+. （2）当12
t =
时，11
22AP AB AC =+，因为3CA EA =，所以E 为边AC 的三等分点，
则1
3
BE AE AB AC AB =-=-， 故
111223AP BE AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22111263AB AC AB AC
=-+-⋅111π
4422cos 22633
=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=-.
【题目点拨】
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.
20、（1）2；（2）见解析. 【解题分析】
（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T ＝8，由题意可求 Q 坐标为（1，0）．P 坐标为（2，a ），结合△OPQ 为等腰直角三角形，即可得解a 2
OQ =
的值．
（2）由（Ⅰ）知，|OP |＝
，|OQ |＝1，可求点P ′，Q ′的坐标，由点P ′在曲线y 3
x
=（x ＞0）上，利用倍角公式，诱导公式可求cos234α=
，又结合0＜α2
π
＜，可求sin2α的值，由于1cosα•1sinα＝8sin2α＝
≠3，即可证明点Q ′不落在曲线y 3
x
=（x ＞0）
上． 【题目详解】
（Ⅰ）因为函数f （x ）＝a sin （4
πx ）（a ＞0）的最小正周期T 24
π
π
==
8， 所以函数f （x ）的半周期为1， 所以|OQ |＝1．即有 Q 坐标为（1，0）． 又因为P 为函数f （x ）图象的最高点， 所以点P 坐标为（2，a ），
又因为△OPQ 为等腰直角三角形， 所以a 2
OQ =
=2．
（Ⅱ）点Q ′不落在曲线y 3
x
=
（x ＞0）上． 理由如下：由（Ⅰ）知，|OP |＝
，|OQ |＝1， 所以点P ′，Q ′的坐标分别为（
（4
π
α+），
sin （4
π
α+
）），（1cosα，1sinα），
因为点P ′在曲线y 3
x =（x ＞0）上， 所以3＝8cos （4
πα+）sin （4
π
α+
）＝1sin （22
π
α+
）＝1cos2α，即cos234
α=
， 又0＜α2
π
＜
，
所以
sin2α=
又1cosα•1sinα＝8sin2α＝
84
⨯=
2≠3． 所以点Q ′不落在曲线y 3
x
=
（x ＞0）上．
21、（1）58,99m n =
=； （2）16
13
-. 【解题分析】
(1)由a mb nc =+及已知得()()()3,21,24,1m n =-+,由此列方程组能求出实数,m n ；(2)由()()
//2a kc b a +- ,可得()()()234520k k ⨯+--⨯+=，由此能求出k 的值. 【题目详解】
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以4322
m n m n -+=⎧⎨
+=⎩，解得58
,99m n ==；
(2)∵a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k ＝16
13
-. 【题目点拨】
本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.。