高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数2数学教案

1．3.2 函数的极值与导数
1．极值点与极值
(1)极小值与极小值点
如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：
①f(a)□01<f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值；
②f′(a)＝□020；
③在x＝a附近的左侧，f′(x)□03<0，函数单调递□04减；
在x＝a附近的右侧，f′(x)□05>0，函数单调递□06增．
(2)极大值与极大值点
如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：
①f(b)□07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；
②f′(b)＝□080；
③在x＝b附近的左侧，f′(x)□09>0，函数单调递□10增；
在x＝b附近的右侧，f′(x)□11<0，函数单调递□12减．
2．求函数f(x)极值的方法与步骤
解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)□13>0，右侧f′(x)□14<0，那么，f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)□15<0，右侧f′(x)□16>0，那么，f(x0)是极小值．
(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□17不是极值点．
函数极值点的两种情况
(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来
不一定成立．
(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y ＝|x |在x ＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f ′(x )＝0的根或不可导点两种情况．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3
＋ax 2
－x ＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1
x
有极值．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做
(1)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，
b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极大值点的
个数为________．
(2)函数f (x )＝ax 3
＋x ＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a <0 (3)1 探究1 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝3
x
＋3ln x ；
(2)f (x )＝x 3－3x 2
－2在(a －1，a ＋1)内的极值(a >0)． [解] (1)函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝－3
x 2＋3x
＝
3
x －1
x 2
，
令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此当
(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；
当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；
当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．
[条件探究] 若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？
[解] 由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．
当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上得，当－1<a <0时，f (x )有极大值－2，无极小值． 当a ≤－1时，f (x )无极值． 拓展提升
求函数极值的方法
一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0，设解为x 0，
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；
(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．
注意：如果在x 0附近的两侧f ′(x )符号相同，则x 0不是函数
f (x )的极值点．例如，对于函数f (x )＝x 3，我们有f ′(x )＝3x 2.
虽然f ′(0)＝0，但由于无论是x >0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3
是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3
的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
【跟踪训练1】 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x
x 2＋1－2；
(2)f (x )＝x 2e －x .
解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝
2
x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1
x 2＋12
.
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
由上表可以看出，
当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R .
f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x
＝x (2－x )e －x
.
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： 由上表可以看出，
当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4
e 2.
探究2 已知函数的极值求参数
例2 已知f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．
[解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2
＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2
＋6x ＋3＝3(x ＋1)2
≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．
当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2
＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；
当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值． 所以a ＝2，b ＝9. 拓展提升
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【跟踪训练2】 已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．
(1)求实数b 的值；
(2)求实数a 的取值范围．
解 (1)因为f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0.
(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a ．
依题意有－2
3
a >0.
又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以必有2≤－2
3
a ≤4，解得－6≤a ≤－3.
探究3利用极值判断方程根的个数
例3 已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．
[解] f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表：
时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．
所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.
故实数a的取值范围为a>5或a<－27.
拓展提升
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．
解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；
当－2<x<2时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．
当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，
当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．
1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A ．1，－3
B ．1,3
C ．－1,3
D ．－1，－3 答案 A
解析 ∵f ′(x )＝3ax 2
＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②
联立①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3.
2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D
解析 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x
(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．
3．函数f (x )＝x 3
－6x 2
－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．
答案 10 －98
解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大
值
＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.
4．函数y ＝x e x
在其极值点处的切线方程为________． 答案 y ＝－1
e
解析 由题知y ′＝e x
＋x e x
，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函
数解析式可得极值点的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
－1，－1e ，又极值点处的切线为平
行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1
e
.
5．已知函数f (x )＝x 3
－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．
解 令f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.
所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋A ． 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，
所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图． 所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0，
解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．。