次正定复矩阵

次正定复矩阵
正定复矩阵，也称为正定实对称矩阵，是一类特殊的矩阵，其特征在于它只包含正实
数元素，而且它符合矩阵乘法结合律。

一个n阶实对称矩阵A有一个n×n单位矩阵E，令
B=AE。

B是正定复矩阵，它有以下几个满足条件：
（1）对于任意实矩阵X，有：XTAX ≥ 0；
（2）对于行列式det(A)>0;
（3）对于矩阵A的每一个特征多项式，其本征值Δ_i都是正实数；
（4）矩阵正定复矩阵A可以分解为A=LDL^T形式，其中L和D是若干次方矩阵和与
相应的对角矩阵。

正定复矩阵经常出现在线性可分解程序和控制理论中，并且在机器学习中也有着重要
作用。

对于正定复矩阵，Cholesky 分解是一种特别有用的方法。

Cholesky 分解是一种将正定实对称矩阵A分解为A=LL^T的方法，它的基本思想是将
A分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵：A=L_1 L_2 ...L_n，其中L_i是下三角矩阵，而L_n^T 是其伴随上三角矩阵，有着L_1 L_2 ...L_n L_n^T=A的性质。

Cholesky分解的优点有：（1）它是计算正定复矩阵的最快方法；（2）它是计算
A^{-1}的最快方法；（3）它是计算任意特征多项式f(A)最快方法。

事实上，Cholesky分
解复杂度仅为O(n^3 )。

正定复矩阵A有很多重要的性质：（1）矩阵A的行列式 det(A)>0；（2）A的每个本征值都是正实数；（3）A有正定平方根X，使得XX^T=A；（4）对于任意实矩阵X，
XTAX≥ 0。

此外，由于Cholesky分解的快速性，它经常被用于计算大矩阵的A^{-1}。

所以，正定实对称矩阵在数学上也是非常有用的。