北师大版九年级上期数学培优学案
北师大版九年级上期数学培优学案圆及其相关问题
北师大版九年级上期数学培优学案圆知识点一：圆的基本性质 1、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 2、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 （ ） （A ）2条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）5条3．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 4．下列判断中正确的是( )(A)平分弦的直线垂直于弦(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧(C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 知识点二：点与圆的位置关系1、在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,以点A 为圆心作圆,若B,C,D 三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A 的半径R 的取值范围是2、一已知点到圆周上的点的最大距离为8 ,最小距离为2 .则此圆的半径_____.3、在Rt △ABC 中∠C=90O,AC=4,OC=3,E 、F 分别为AO 、AC 的中点,以O 为圆心、OC 为半径作圆,点E 在⊙O 的圆_____,点F 在⊙O 的圆_____.4、在直角坐标系中,⊙O 的半径为5厘米,圆心O 的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O 的位置关系是.5、⊙O 的半径为10，弦AB 的长度为12，则在⊙O 上到弦AB 的距离为1的点有_____个，在⊙O 上且到弦AB 的距离为2的点有_____个． 知识点三：垂径定理1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。
北师大版九年级上期数学培优学案反比例函数
北师大版九年级上期数学培优学案反比例函数一、 典型例题例1下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y =（2）xy 2-=（3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 例2 当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？练习 已知函数 y = （5m — 3）x n -2+ （n+m ）（1）当m ，n 为何值时，是一次函数？（2）当m ，n 为何值时，为正比例函数？（3）当m ，n 为何值时，为反比例函数？例3已知y=y 1+y 2 ,y 1与x ＋1成正比例，ｙ2与x ＋1成反比例，当x ＝0时，ｙ＝－5；当x ＝2时，ｙ＝－7。
（1）求ｙ与x 的函数关系式；（2）当ｙ＝5时，求x 的值2．反比例函数的图象和性质: 反比例函数(0)k y k =≠的图象是双曲线，其图象和性质如下表：例4双曲线y=k x（k≠0），当k>0时，它的两个分支分别在第______象限，在每个象限内y 随x 的增大而______；当k<0，它的两个分支在第______象限，在每个象限内y 随x 的增大而________． 练习1 ：如果函数222-+=k k kxy 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？x yO xy OA B C D练习2： 在反比例函数y =xk 3-的图象上，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为。
例5反比例函数4y x =-的图象大致是（）3．确定反比例函数解析式？例4 已知反比例函数的图象经过点（-3，2）．（1）求它的解析式． （2）分别判断A （2，3），B （-6，1），C （（3）说明y 随x 的变化而增减情况．练习：1．若反比例函数y ＝xk -1的图象在第一、三象限，则（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0 C ．k ＞1 D ．k ＜1 2．在同一坐标中，函数y ＝kx 和y ＝x k 的大致图象是（） 3．反比例函数y=kx ，若k<0，则（ ）A ．y 的值为负;B ．双曲线在一、三象限C ．y 随x 的增大而增大;D ．在所在的每一个象限，y 随x 的增大而增大4. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．5. 在反比例函数xy 2=的图象上的一个点的坐标是（） A ．)1,2( B ．（-2，1）C ．（21,2） D ．)2,21( 6. 若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定 7. 如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（）8．已知y ＝y 1－y 2，其中y 1与x 2成正比例，y 2与（x ＋3）成反比例，并且当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝0.求：当x ＝22时，y 的值．。
北师大版本数学九年级上册培优精品(全套)
北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。
北师大版初三数学上册教案全册_九年级教案_教学设计_教学反思
九年级数学上全册精品教案第一章证明（二）（课时安排）1．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线1课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于60延伸．二、回忆上学期学过的公理1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2019年暑假北师大版九年级数学上册 第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计(含答案)
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义：特殊四边形的存在性问题一、坐标系下平行四边形的存在性问题 1．已知三点求第四点构成平行四边形：如图所示，已知11(,)B x y ，22(,)C x y ，33(,)D x y ，在平面内找一点(,)A x y ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形．2．解决方法，分两步走：（1）找点：连接BC 、CD 、BD 得到BCD △，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A 、A'、A''三点．（2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论． ①几何中心法（适用解答大题）：在平行四边形ABCD 中，连接其对角线AC 、BD 相交于点00(,)E x y ，则E 是BD 的中点，∴E 点坐标可表示为1313,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理E 也是AC 的中点，∴E 点坐标也可表示为22,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， ∴13222x x x x ++=，13222y y y y ++=，由此即可求出A 点坐标． 同理可以求得，A'、A''的坐标． ②公式法（填空选择题）：直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即132x x =x x ++，132y y =y y ++．3．例题讲解：例1、（1）在平面直角坐标系内A ，B ，C 三点的坐标分别是15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，19,22⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)，以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为_________________．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线P A 是一次函数(0)y x m m =+>的图象，直线PB 是一次函数3()y x n n m =-+>的图象，y "A D A xBEC OA'点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB 的面积是5.5，且:1:2CQ AO =，若存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为__________．【解析】（1）(2,7)-，(3,2)，(1,2)-；（2）159,22D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、2119,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭、3139,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．例2、如图，已知一次函数6y =+的图像分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点(0,2)D ，点N 在x 轴上，直线AB 上是否存在点M ，使以M 、N 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】由题意得，(0,6)B ，(0,2)D ，设6M m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(,0)N n ， ①当BD 为对角线时，由题意得，860m n ++=⎧=，解得m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴M ； ②当BM 为对角线时，由题意得，122m n =⎧=+，解得m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(4)M --，③当DM 为对角线时，由题意得，86m n =⎧=+，解得m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(M -，综上所述，M或(4)M --或(4)M --．例3、如图3-1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为(4,0)，直线134y x =-+经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB//OC ．（1）求顶点B 的坐标；备用图（2）如图3-2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '为点O 关于直线l 的对称点，连接CO '，并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．【解析】（1）∵(4,0)A ，AB//OC ，设点B 的坐标为(4,)y ，把4x =代入134y x =+中，得2y =，∴(4,2)B ；（2）过C 点作CN AB ⊥于N ， ∵AB//OC ，∴OCM DMC ∠=∠， 由题意DCM OCM ∠=∠， ∴DCM DMC ∠=∠ ∴5CD MD ==，∵134y x =-+，当0x =时3y =，∴3OC =， ∵4CN OA ==， ∴2NM =， ∴1AM =， ∴(4,1)M设l 解析式y kx b =+把(03)，，(4,1)代入得备用图1314b k b =⎧⎨=+⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴l 的解析式132y x =-+；（3）∵6AD =，BC 为一边， ∴(4,6)D ， ∴OD 的解析式为32y x =， 过P 作y 轴垂线交直线AD 于点U ，过点Q 作x 轴平行线与y 轴交于点V ， 设点1,32P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵OCQ ABP ∠=∠,90CVQ PUB ∠=∠=︒，且CQ PB =， ∴CVQ BUP △≌△，则4PU QV x ==-，∴14,42Q x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入32y x =中，得5x =，∴115,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，如图，同理2(2,4)P -，当BC 为对角线时，设1,32P a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，3,2Q b b ⎛⎫⎪⎝⎭，即4133522a b a b +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎨=⎩，∴3(2,2)P ． 二、菱形的存在性问题1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形．2．解决方法，分两步走：（1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题．（2）等腰三角形存在性问题： ①找点：两圆一线；②求点：以谁为顶点分类讨论． 4．例题讲解：例4、（1）已知如图，直线2y =+与坐标轴交于A 、B 两点，若点P 是直线AB 上的一个动点，试在坐标平面内找一点Q ，使以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，则Q 的坐标是__________．（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB//OC 90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-． ①求点B 的坐标；②若点P 是直线:4DE y x =-+上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）1)-（或(3,或3（）或(3,--．（2）①过点B 作BF x ⊥轴于F ，在Rt BCF △中，∵45BCO ∠=︒，BC =12CF BF ==， ∵C 的坐标为(18,0)-，∴6AB OF ==， ∴点B 的坐标为(6,12)-．②结论：存在．将菱形的问题转化成等腰三角形的问题． 1）当OP 为对角线，即EO EP =，则有124PE P E OE ===，∴114PN NF ===-∴1P -，∴1Q -；2(P -+，∴2(Q -；2）当EP 为对角线，即OE OP =， ∴3(4,0)P ，∴3(4,4)Q ；3）当OE 为对角线，即EP OP =， ∴4(2,2)P ，∴4(2,2)Q -．综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形； 点Q的坐标为：1Q -，2(Q -，3(4,4)Q ，4(2,2)Q -例5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，6AD =，4OA =、3OB =，若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，求F 点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】1(3,8)F ；2(3,0)F -；37522147F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；44244,2525F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、矩形的存在性问题1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为矩形．2．解决方法，分两步走：（1）转化：转化为直角三角形的存在性问题． （2）直角三角形存在性问题： ①找点：两线一圆；②求点：以谁为直角分类讨论． 3. 例题讲解：例6、如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 的函数解析式为23y x =+，点P 在直线l 上，已知(1,0)A -、32B （，），在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、B 为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】存在，将矩形的问题转化成直角三角形的问题．由题意得，(1,0)A -、32B （，），∴直线AB 为：1122y x =+． ①当90A ∠=︒时，则AP AB ⊥，点P在过点A 且垂直于AB 的直线上， 此时直线AP 的解析式为：22y x =--， 由题意得，2223y x y x =--⎧⎨=+⎩，解得5412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴51,42P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，115,42Q ⎛⎫⎪⎝⎭，②当90B ∠=︒，则BP AB ⊥，点P 在过点B 且垂直于AB 的直线上， 此时直线BP 的解析式为：28y x =-+，由题意得，2823y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得54112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴511,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，③当90P ∠=︒，则PA PB ⊥，设点(,23)P m m +， 由题意得，(23)(21)1(1)(3)m m m m ++=-+-，即2560m m +=，解得10m =，265m =-，∴()0,3P 或63,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴(2,1)Q -或167,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，51,42P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，511,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,3)P ，63,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应的点Q 为115,42Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1)Q -，167,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭．四、复习巩固及课后作业1、如图，已知直线1:22l y x =-+与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，直线y x m =+与直线l 交于点P ．（1）若点P 在第一象限，试求出m 的取值范围．（2）当直线y x m =+经过线段OM 的中点B ，求出两直线交点P 的坐标．（3）若点M 关于原点的对称点为C ，过C 作x 轴的垂线x n =，点A 在x 轴上，与原点O关于直线x n =对称，设点Q 在直线122y x =-+上，点E 在直线x n =上，若以A ，O ，E ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标．【解析】（1）∵直线122y x =-+和直线y x m =+相交点P ，∴可得：122y x y x m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得42343m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为424,33m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵点P 在第一象限，可得4203403mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得24m m <⎧⎨>-⎩，解得42m -<<，∴m 的取值范围为42m -<<．（2）∵直线122y x =-+与x 轴交于M 点，把0y =分别代入解析式中，可得：点(4,0)M ，∵B 为OM 的中点，∴点B 的坐标为(2,0)，∵(2,0)B 在y x m =+上， ∴得：20m +=，解得：2m =-，∴直线的解析式为：2y x =-，∴82,33P ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）∵(4,0)M ，∴(4,0)C -，∴可得直线的解析式为：4x =-，且可得(8,0)A -，又(0,0)O ，设(4,)E m -，1,22Q n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭①当OA 为对角线时，由题意得，4801202n m n -+=-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得44m n =-⎧⎨=-⎩，∴(4,4)E --， ②当OE 为对角线时，由题意得，84012002n n m -+=-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，∴(4,0)E -（舍去）③当AE 为对角线时，由题意得，04812002n n m +=--⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得812m n =⎧⎨=-⎩，∴(4,8)E -，综上所述，(4,4)E --或(4,8)E -．2、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长()OA OB ＜是方程218720x x -+=的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，2OD CD =． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AD 的解析式；（3）P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得，218720x x -+=，解得16x =，212x =，∴6OA =，12OB =，∴(6,0)A ，(0,12)B ，∴(3,6)C ．（2）作DF x ⊥轴于点F ，CE x ⊥轴于点E ， 则OFD OEC △△∽，∴23OF OD OE OC ==， 可得2OF =，4DF =．∴(2,4)D ． 设直线AD 的解析式为y kx b =+．∴6024k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =-⎧⎨=⎩，∴6y x =-+．∴直线AD 的解析式为6y x =-+．（3）存在．如图：分为P 在x 轴上方和P 在x 轴下方两种情况，1(Q -；2Q -；3(3,3)Q -；4(6,6)Q ．3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt AOB △的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA 、OB 的长满足2|8|(60OA OB -+-=），ABO ∠的平分线交x 轴于点C 过，点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求线段AB 的长； （2）求直线CE 的解析式；（3）若M 是射线BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）10AB =；2019年暑假北师大版九年级数学上册 第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计（含答案）11 / 11 （2）443y x =--； （3）1(3,2)P 或2(4,8)P -．。
北师大版九年级数学上册全册学案(89页)
北师大版九年级上册数学数学导学案单位：教师：日期：第一章 特殊的平行四边形1.1 菱形的性质与判定第一课时 性质学习过程：一、自主预习（10分钟）自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。
按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。
图中相等的线段有： 图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。
性质：证明：二、合作解疑（20分钟） 菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。
2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ， 求两条小路的长和花坛的面积。
3.如图是边长为16cm 的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1= .4.如右图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF. 求证：①△ABE ≌△ADF ；平行四边形菱形 ？1 CB A A②∠AEF=∠AFE.综合应用拓展如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4． 求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．三、限时检测（10分钟）1．______________的平行四边形叫做菱形．2．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD 可得菱形，由此可以得 到_____________的四边形是菱形．3．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________________ ． 第3题图4．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______． 5．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ）A ．对角线相等B ．是中心对称图形C ．是轴对称图形D ．对角线互相平分 6．菱形的周长为20 cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________． 7．以菱形ABCD 的钝角顶点A 引BC 边的垂线，恰好平分BC ，则此菱形各角是____________．1.1 菱形的性质与判定第一课时 判定学习过程：一、自主预习（10分钟） 1．复习（1）菱形的定义： （2）菱形的性质1 性质2（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？ 2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 3．【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 通过演示，容易得到： 菱形判定方法1 ：注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 通过下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法2 ：二、合作解疑（20分钟））1.判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）AB C D(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ） (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ） (4).对角线相等的四边形是菱形（ ） 2.已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？ 求证：（1）四边形ABCD 是平行四边形(2) 过A 作AE ⊥BC 于E 点, 过A 作AF ⊥CD 于F.用等积法说明BC=CD. (3) 求证：四边形ABCD 是菱形.综合应用拓展如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点． 求证：MN 与PQ 互相垂直平分．三、限时检测（10分钟） 1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是 ；（2）对角线互相垂直平分的四边形是 ；（3）对角线相等且互相平分的四边形是 ；（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．（A ）两条对角线相等 （B ）两条对角线互相垂直（C ）两条对角线相等且互相垂直 （D ）两条对角线互相垂直平分．3．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ， 求证：四边形OCED 是菱形。
北师大版九年级上期数学培优学案一元二次方程复习
北师大版九年级上期数学培优学案一元二次方程复习【热身练习】1. 当a =____________时，方程2310ax x ++=是一元二次方程.2. 已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一根为__________.3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.4. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，且0a b c ++=，则方程必有一根为____________.5、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1B.1-C.1或1-D.126、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.7.已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；8、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.9、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .10、方程2310x x -+=的根的情况是____________________.11、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式3322121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.12、方程23270x +=的解是（ ）A. B. C. D. 无实数根13、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）A. 1B. 2C. 3D.14、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）A 、1或2B 、0或3-C 、1-或2-D 、0或3【提高练习】1、若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于22.已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是 （ ）（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或13、两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。
北师大版九年级上期数学培优学案---半期复习
北师大版九年级上期数学培优学案---半期复习1．方程022=-x x 的解是（ ）A ．2=xB ．0=xC ．01=x ，22-=xD ．01=x ，22=x2．在函数5y x=中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．0≠x B ．2≤x 且0≠x C ．2-≥x 且0≠x D ．2-≥x3．如果双曲线ky x=过点（3，－2），那么下列的点在该双曲线上的是（ ）A ．（3，0）B ．（0，6）C ．（－1.25，8）D ．（－1.5，4）4．若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1->k B ．1->k 且0≠k C ．1<k D ．1<k 且0≠k5．函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点（－4，1y ），（－1，2y ），（2，3y ），则函数值1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．3y ＜1y ＜2yB ．3y ＜2y ＜1yC ．1y ＜2y ＜3yD ． 2y ＜3y ＜1y6．某厂今年3月份的产值为50万元,5月份上升到72万元,这两个月的平均每月增长的百分率是多少?若设平均每月增长的百分率为x ，则列出的方程是（ ）A ．)1(50x +72=B ．)1(50x ++2)1(50x +72=C ．722)1(50=⨯+xD ．2)1(50x +72=7用换元法解方程213()320x x xx--++=时，如果设1x y x -=，那么原方程可转化为（ ）A ．2320y y ++=B ．2320y y --=C ．2320y y -+=D ．2320y y +-=8已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =9如图所示，反比例函数图象上一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB ＝3，则反比例函数的解析式为10.的一元二次方程02=++c bx x 的两个实数根分别为1和2，则b ＝ ，c ＝ ．11.，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3， E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是12（1）02222=+-x x （公式法） （2）2220x x --=(配方法)13.场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
北师大版-数学-九年级上册学案
北师大版-数学-九年级上册学案初中-数学-打印版九年级数学学科导学案课题：4.1成比例线段(1)（第1 课时）【学习目标】课标要求：（一）教学知识点1、了解相似形、线段的比概念；2、会求两条线段的比,应用线段的比解决实际问题。
（二）能力训练要求通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
（三）情感与价值观要求1．、．有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；2．、．通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识；3．、．在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。
目标达成：1、了解相似形、线段的比概念；2、会求两条线段的比,应用线段的比解决实际问题。
学习流程：【课前展示】【创境激趣】初中-数学-打印版初中-数学-打印版初中-数学-打印版活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容―相似图形。
【自学导航】1、线段的比2成比例线段3.比例的性质4.例1【合作探究】活动内容：1.请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB =,或AB=k ・CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。
五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。
AB: A ’B ’=5 : 3，就初中-数学-打印版初中-数学-打印版是线段AB 与线段A ‘B ’的比。
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
3.想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一个长度单位.4.做一做：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，CD ，EH ，EF 的长度分别是多少？分别计算值。
北师大版九年级上数学培优反比例培优
北师大版九年级上数学培优---反比例函数一、选择题1.用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是2P I R =，下面说法正确的选项是〔〕 A ．P 为定值，I 与R 成反比例 B ．P 为定值，2I 与R 成反比例 C ．P 为定值，I 与R 成正比例D ．P 为定值，2I 与R 成正比例2.函数5y x =-+，4y x=，它们的共同点是：①在每一个象限内，都是函数y 随x 的增大而增大；②都有局部图象在第一象限；③都经过点(14)，，其中错误．．的有〔 〕 Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个 3．反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，那么1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y <<4．函数y ax a =-与ay x=〔a ≠0〕在同一直角坐标系中的图象可能是〔〕5．如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,那么122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10xyBA o6．如图，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线ky x=交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，假设△OBC 的面积等于3，那么k 的值〔〕OABCDxy 〔第6题〕〔第7题〕A ．等于2B ．等于34C ．等于245D ．无法确定 7．如图，在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，那么G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图像上的是〔〕A ．点GB ．点EC ．点D D ．点F ． 8．如图，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．假设四边形ODBE 的面积为6，那么k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．如下图，菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2.假设反比例函数的图象经过点B ，那么此反比例函数表达式为〔〕 A ．1y x=B ．2y x =C ．21y x +=D ．212y x +=10.如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，假设反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，那么k 的取值范围是【】A ．2≤k ≤9B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8 二、填空题1.在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，那么k 的值等于．2.一个函数具有以下性质：①它的图像经过点〔-1，1〕；②它的图像在二、四象限内；③在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而增大.那么这个函数的解析式可以为. 3．点〔1，3〕在函数)0(>=x xky 的图像上。
北师版九年级数学上册全部学案(精华)
A
证明：
B
o
我发现 ,
的平行四边 形四边形是菱形 .
C
菱形的判定方法 :
1、
的四边形是菱 形
符号语言
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D
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2、 符 号语言
的平行四边形是菱形
课堂活动 活动 1 预习反馈 活动 2 例习题分析
例 □ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O，且 AB=5， AO=4,OB=3.求证： □ABCD是菱形。
）
∴∠ ABC=∠DCB
∴∠ ABC=
∴ □ABCD是矩形
（
）
D O
C
2. 知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。 ” 已知： 在四边形 ABCD中∠ A=∠B=∠ C=90?
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求证：四边形 ABCD矩形
证明： ∵∠ A+∠ B+∠ C+∠D= 度
对角线长和面积。
A
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B
O
D
C
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第 2 课时
学习目标： 1. 理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用； 2. 灵活运用判定方法进行有关的证明和计算 . 重点： 掌握并会应用菱形的判定方法 . 难点： 菱形判定方法的应用 .
菱形的判定
（
）
A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等 D. 每一条对角线平分一组对角
2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是
北师大版九年级上期数学培优学案反比例函数
北师大版九年级上期数学培优学案反比例函数1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图第（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC 的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（3）题图第（4）题图（4）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（5）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1． ① 求点A 、B 、D 的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．练习：1. 已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜21 D 、m ＞21 2.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜2 3.直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线xy 4=交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝___________． 4. 已知反比例函数xy 4=，则当14-<<-x 时，y 的取值范围是--------―――---（ ） A 、41<<y B 、24-<<-y C 、14-<<-y D 、42<<y5. 已知y ＝y 1－y 2，其中y 1与x 2成正比例，y 2与（x ＋3）成反比例，并且当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝0.求：当x ＝22时，y 的值．。
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北师大版九年级上期数学培优学案
二次函数的定义及图像、性质
一、 二次函数的定义：
1．形如：的函数叫做二次函数，其中是自变量，是因变量。
（a,b,c 是常数且a0） 定义解读：（1）二次函数自变量的最高次方必须是2次。
（2）解析式的右边是不含根号、分母、绝对值的符号，即右边的整式结构。
例1. 下列关于x 的函数，是不是二次函数? （1）13-=x y ； （2）25x y =；（3）x
x y -=
21
；（4）()132+-⋅=x x y ；
（5）1423+-=x x y （6）()2
2124--=x x y （7）322+-=
x x y （8）322+-=x x y .
例2．已知关于x 的函数y =(m 2-2m -3)x 2+(m +1)x +m 2. （1）若它是关于x 的二次函数，m 要满足的条件是； （2）若它是关于x 的一次函数，m 要满足的条件是. 练习：若函数 .
例3．心理学家研究发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受程度y 与提出概念所用的时间x (分钟)之间满足函数关系式： y 的值越大，表示接受程度越高.
（1）若用10分钟提出概念，学生的接受程度y 的值是多少?
（2）如果分别用5分钟、10分钟或20分钟来提出这一概念，那么三者相比，用哪种方式，学生的接受
程度更高?
练习：1. 如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙长度为10米），围成一个矩形的花圃. 设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米.
（1）求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域； （2）花圃的面积是否可能等于48平方米?为什么?
()300436.21.02≤≤++-=x x x y
2. 如图5，一块草地是长80 m、宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
4.已知一边长为5米的正方形草坪，现在若想扩建草坪，使草坪的边长增加米，如果草坪面积增加为，求与之间的函数关系式。
5.已知矩形的窗户的周长是8米，写出窗户面积与窗户的宽（米）之间的函数关系式，并判断此函数是否为二次函数，并求出自变量的取值范围。
二、二次函数的图形、性质
1.y=ax2 的图象性质
例1.已知函数是关于x的二次函数。
求：
（1）满足条件的m 的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y 随x的增大而增大？
练习：已知点A(1，a)在抛物线y=x2上。
（1）求A的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
例2（1）已知原点是抛物线y＝（m＋1）x2的最高点，则m的范围是（）
（A）m＜—1 （B）m＜1 （C）m＞—1 （D）m＞—2
（2）当满足y随x的增大而减小，则m=
练习：1.抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是（）
（A）顶点坐标不同（B）对称轴相同（C ）开口方向一致（D）都有最低点
2.对于y＝ax2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（）
（A） a越大开口越大，a越小开口越小（B） a越大开口越小，a越小开口越大
（C） |a|越大开口越小，|a|越小开口越大（D） |a|越大开口越大，|a|越小开口越小
3.若的图像上，试判断
4.函数y=a2x与y=ax的图象大致如图_______．
5.求直线y＝2x＋8与抛物线y＝x2的交点坐标A、B及△AOB的面积
2
将y ＝
ax 的图像向平移单位得到函数y ＝ax +c
例1.
如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y
-=2在同一坐标系中的图象是（ ）.
例2. 已知二次函数12
+
=ax y 正比例函数kx y =的图象有一个公共点是()1,1--. （1）求二次函数及正比例函数的解析式；
（2）能否找到一个自变量x 的最大取值范围，使得二次函数、正比例函数值都随x 的增大而增大？若能，写出这个取值范围；若不能，说明理由.
例3.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽64米，水位上升3米就达到警戒CD ，
这时水面宽34米.若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱顶？
O
A
O
B
O C
O
D。