2024年广东深圳福田外国语教育集团中考数学二调试卷+答案

2024年广东省深圳市福田外国语教育集团中考数学二调试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

）
1．（3分）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（）
A．﹣0.B．C．D．
2．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图．则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（）
A．4.8，4.8B．13，13C．4.7，13D．13，4.8
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．4ab2﹣ab2＝3a B．＝a
C．（a3）4＝a12D．x6÷x2＝x3
5．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”
均为进制，则九十合等于（）
A．9×102圭B．9×103圭C．9×104圭D．9×105圭
6．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝129°，∠3＝102°，则∠4的度数为（）
A．57°B．54°C．52°D．51°
7．（3分）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向车道，其中，AB＝2BC＝10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（）
A．＝10B．＝10
C．＝10D．＝10
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于
EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（）
A．2B．10C．4D．5
9．（3分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）
A．B．C．a+b cosαD．a+b sinα
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰Rt△ABE，∠BAE＝90°，点E恰好落在CD边上，若AD＝，则CE的长是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：﹣3m3+12m＝．
12．（3分）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是．
13．（3分）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三、四把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是．14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC，对角线AC与BD交于点E，若，CD＝6，则＝．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）计算：cos60°﹣（）﹣2﹣|2﹣|+（2024﹣π）0．
17．（7分）先化简：，再从﹣2，﹣1，0，1中选择一个合适的数作为x代入求值．18．（7分）某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E（75≤x＜80），D（80≤x＜85），C（85≤x＜90），B（90≤x＜95），A（95≤x≤100）五个组，并绘制了如图1和图2所示的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次抽取测试的学生有人，m＝；
（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有人．
19．（8分）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元．
（1）求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；
（2）该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC边上一点，⊙O过点C且经过AB边上的点D，点D在圆上，AD＝AC．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）延长DO交⊙O于点E，连接AE，若∠BAE＝45°且BD＝2，求⊙O的半径．
21．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集发现飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足一次函数关系；飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如下表所示．
飞行时间t/s02468…
飞行的水平距离x/m08162432…
飞行高度y/m018324248…
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP＝88m．AB ＝8m．
问题解决：
任务1：确定函数表达式．
①直接写出x关于t的函数表达式：．
②求出y关于t的函数表达式．
任务2：探究飞行距离．当飞机落地（高度为0m）时，求飞行的水平距离．
任务3：确定弹射口高度h．当飞机落到回收区域AB内（不包括端点A，B）时，请写出发射台PQ弹射口高度h的变化范围：．
22．（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于F．求证：BE＝EF．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是对角线AC上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．若AE＝3，求tan∠FEC的值．
（3）在菱形ABCD中，如图3，AB＝6，∠ABC＝60°，点E是AC的三等分点，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．请直接写出线段CF的长．
2024年广东省深圳市福田外国语教育集团中考数学二调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

）
1．解：A．﹣0.是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．＝1.2，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：C．
3．解：把这50名学生视力情况从小到大排列，排在中间的两个数分别是 4.8、4.8，故中位数为
＝4.8；
在这50名学生视力情况中，4.8出现的次数最多，故众数为4.8．
故选：A．
4．解：A．∵4ab2﹣ab2＝3ab2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（a3）4＝a12，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D．∵x6÷x2＝x4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．解：九十合＝90×10×10×10×10圭＝900000圭＝9×105圭．
故选：D．
6．解：如图，
∵AC∥BD，∠3＝102°，
∴∠3＝∠MAC＝102°，
∵AB∥CD，
∴∠MAC+∠2＝180°，
∴∠2＝78°，
∵∠1+∠2＝129°，
∴∠1＝51°，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠FBM＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠FBM＝51°，
故选：D．
7．解：∵AB＝2BC＝10米，
∴BC＝5米．
∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍，∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．
又∵小刚共用时10秒通过AC，
∴+＝10．
故选：A．
8．解：如图，设OA交BC于T．半径为r，
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AT＝＝＝2，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
9．解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB•sinα＝b sinα，
在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a，
∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+b sinα，
故选：D．
10．解：如图，过点E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠CFE＝45°，
∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴BE＝＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D＝∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴＝＝，
∴EF＝AD＝×＝，
∴CE＝EF＝，
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．解：﹣3m3+12m＝﹣3m（m2﹣4）＝﹣3m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：﹣3m（m+2）（m﹣2）．
12．解：令x＝0得，
y＝4，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与y轴的交点坐标为（0，4）．
方程|x2﹣4|＝m的实数根可以看成函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m交点的横坐标．因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m有3个不同的交点．
如图所示，
当m＝4时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
13．解：将两把不同的锁分别用A与B表示，四把钥匙分别用A，B，C，D表示，且A钥匙能打开A锁，B钥匙能打开B锁，
画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，
∴一次打开锁的概率为：＝，
故答案为：；
14．解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，
∴，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴，
∴，
∴S△OEA＝，
∵S△OEA＝|k|，k＜0，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
15．解：作△ADC的外接圆⊙，连接OB，
∵∠ADC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，圆心O为AC的中点，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠BAC＝∠BCA＝45°，OB⊥AC，OB＝OA＝OC＝AC，
∴点B在⊙O上，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
作CF⊥BD于点F，DH⊥AC于点H，则∠BFC＝∠DFC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC＝45°，
∵BD＝7，CD＝6，
∴CF＝DF＝CD•sin45°＝6×＝3，
∴BF＝BD﹣DF＝7﹣3＝4，
∴AB＝BC＝＝＝5，
∴AC＝＝＝BC＝×5＝10，
∴OB＝AC＝×10＝5，AD＝＝＝8，∵S△ADC＝×10HD＝×6×8，
∴HD＝，
∵OB∥HD，
∴△BOE∽△DHE，
∴＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．解：原式＝×﹣﹣（﹣2）+1
＝﹣﹣+2+1
＝1﹣．
17．解：
＝﹣•
＝﹣
＝
＝，
∵当x＝﹣2，﹣1，1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝2．
18．解：（1）本次抽取测试的学生有10÷25%＝40（人），m%＝8÷40×100%＝20%，即m＝20，故答案为：40、20；
（2）B组人数为40×30%＝12（人），
补全图形如下：
由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为360°×＝54°；
故答案为：54°；
（3）根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有2000×＝1700（人），
故答案为：1700．
19．解：（1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．则有，
解得，
答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；
（2）设购买鸟尊工艺品m件．费用为w元．
w＝168m+（100﹣m）×132＝36m+13200，
∵m＞（100﹣m），
∴m＞25，
∴当m＝26时，w最小，最小值为36×26+13200＝14136（元），
∴当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低；最低总费用为14136元．20．（1）证明：连接AO，
在△ADO与△ACO中，
，
∴△ADO≌△ACO（SSS），
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADE＝90°，∠BAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵AD＝AC，
∴AD＝DE＝AC，
设⊙O的半径为x，
∴AD＝DE＝AC＝2x，
∵∠BDO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴x＝，
即⊙O的半径为．
21．解：（1）①设x＝kt+b，将（0，0），（2，8）代入得：
，
解得：，
∴x关于t的函数表达式为x＝4t，
故答案为：x＝4t；
②设y关于t的函数表达式为y＝at2+bt+c（a≠0），将（0，0），（2，18），（4，32）代入得：
，
解得：，
故y关于t的函数表达式为y＝﹣t2+10t；
（2）当飞机落地时，即y＝0，
∴﹣t2+10t＝0，
解得，t＝20或t＝0（不合题意，舍去），
∵x＝4t，
∴t＝20时，x＝4×20＝80，
故飞机落地时，飞行的水平距离为80m；
（3）任务3：由x＝4t和y＝﹣t2+10t得：y＝﹣x2+x，
设发射台弹射口高度为h，则此时抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+h，
当x＝AP＝88时，﹣×882+×88+h＝0，
解得：h＝22，
当x＝BP＝88+8＝96时，﹣×962+×96+h＝0，解得：h＝48，
即22＜h＜48，
故答案为：22＜h＜48．
22．（1）证明：作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴EM＝EN，∠NEM＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠BEM＝∠NEF，
∵∠BME＝∠FNE＝90°，
∴△BEM≌△FEN（ASA），
∴BE＝EF；
（2）解：过点B作BG⊥AC于点G，
∵AB＝6，AD＝BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵，
∴BG＝，
∴AG＝＝，
∴EG＝AG﹣AE＝，
∴tan∠EBG＝＝，
∵∠FEC+∠BEC＝∠EBG+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝∠EBG，
∴tan∠FEC＝；
（3）解：①当点E靠近点A时，过点B作BM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴AM＝3，BM＝3，
∵点E是AC的三等分点，
∴AE＝2，
∴CE＝4，
∴EM＝1，
∴BE＝＝2，
由（2）得∠FEC＝∠EBM，
∵∠BME＝∠ENF，
∴△BME∽△ENF，
∴，
设NC＝x，则CF＝2x，NF＝x，
∴EN＝4﹣x，
∴，
∴x＝，
∴CF＝；
②当点E靠近点C时，同理可得△BME∽△ENF，
∴，
设CN＝y，则CF＝2y，FN＝y，
∴，
∴y＝，
∴CF＝．
综上所述，线段CF的长为或．
故答案为：或．。