2020-2021学年贵州省黔西南州同源中学高二(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年贵州省黔西南州同源中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.把11化为二进制数为()
A. 1 011(2)
B. 11 011(2)
C. 10 110(2)
D. 0 110(2)
2.若命题p：∃x∈R，sinx≥1，则￢p为()
A. ∀x∈R，sinx≤1
B. ∀x∈R，sinx<1
C. ∃x∈R，sinx<1
D. ∃x∈R，sinx≤1
3.已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平
均数的大小关系为()
A. 中位数>平均数>众数
B. 众数>中位数>平均数
C. 众数>平均数>中位数
D. 平均数>众数>中位数
4.某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，
需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当()
A. 简单随机抽样
B. 系统抽样
C. 分层抽样
D. 先从小学生中剔除1人，然后再分层抽样
5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，
骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y=1的概率为()
A. 1
6B. 5
36
C. 1
12
D. 1
2
6.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()
A. 至多有一次中靶
B. 两次都中靶
C. 两次都不中靶
D. 只有一次中靶
7.命题“若a2+b2=0，则a，b都为零”的逆否命题是()
A. 若a2+b2≠0，则a，b都不为零
B. 若a2+b2≠0，则a，b不都为零
C. 若a，b都不为零，则a2+b2≠0
D. 若a，b不都为零，则a2+b2≠0
8.按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到
了一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为y ̂=−2.35x +147.77.如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是( )
A. 140
B. 143
C. 152
D. 156
10. 已知命题p ：“|x −2|≥2”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时
为假命题，则满足条件的x 为( )
A. {x|x ≥3或x ≤−1，x ∉Z}
B. {x|−1≤x ≤3,x ∉Z}
C. {−1,0，1，2，3}
D. {1,2，3}
11. 在区域{0≤x ≤1 
0≤y ≤1
内任意取一点P(x,y)，则x 2+y 2<1的概率是( )
A. 0
B. π4−1
2
C. π
4
D. 1−π
4
12. 点P(2,−1)为圆(x −1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )
A. x +y −1=0
B. 2x +y −3=0
C. x −y −3=0
D. 2x −y −5=0
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某射箭运动员一次射箭击中10环、9环、8环的概率分别是0.2，0.3，0.3，那么他
射箭一次不够8环的概率是______．
14. 圆心为C(1,−2)，半径长是3的圆的标准方程是______ ．
15. 若过直角三角形ABC 的直角顶点A 任作一条直线l ，则l 与斜边BC 相交的概率为
______．
16. 已知x 是[−10,10]上的一个随机数，则使x 满足x 2−x −6≤0的概率为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球．现从口袋中每次任
取一球，每次取出不放回，连续取两次．问：
(1)取出的两只球都是白球的概率是多少？
(2)取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？
18.已知圆过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y=0上．
(1)求圆的标准方程；
(2)判断点P(2,4)与圆的关系．
19.已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”．
(1)写出命题P的否命题；
(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．
20. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本
的频率分布直方图(如图)． (1)计算居民收入的平均数和众数；
(2)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1500,2000)(元)月收入段应抽出______人．
21. 某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程；
(3)据此估计广告费用为9万元时，销售收入y 的值． 参考公式：回归直线的方程y ̂
=bx +a ，其中b =∑(n i=1x 1−x)(y i −y)
=
∑x i n i=1y i −nxy
∑x i 2n i=1−nx
2，
a =y .
−bx .
．
22.从甲、乙两种玉米苗中各抽出10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25414037221419392142
乙：27164427441640401640
(1)画出甲、乙两种玉米株高的茎叶图，指出乙种株高的中位数；
(2)从平均状况来说哪种玉米苗长得高；
(3)从方差看哪种玉米苗长得整齐．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：11÷2=5 (1)
5÷2=2 (1)
2÷2=1 0
1÷2=0 (1)
故11(10)=1011(2)
故选：A．
利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
本题主要考查的知识点是十进制与二进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵命题p：∃x∈R，sinx≥1，
则−p为：∀x∈R，sinx<1，
故选B
本题中的命题是一个特称命题，其否定是全称命题，依据特称命题的否定书写形式写出命题的否定即可
本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
众数是数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；平均数是把所有数据求和后除以数据个数所得到的数．根据众数、中位数、平均数的概念分别计算．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的求法．
【解答】
从小到大数据排列为20、30、40、50、60、60、70，
60出现了2次，为出现次数最多的数，故众数为60；共7个数据，第4个数为50，故中位数是50；
平均数=(20+30+40+50+60+60+70)÷7=330
7
≈47．
∴众数>中位数>平均数．
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：∵学生差异比较明显，
∴根据抽样的定义可以采用分层抽样比较合适，
由于总人数为401，故先从小学生中剔除1人，然后再分层抽样，
故选：D．
根据抽样的定义即可得到结论．
本题主要考查简单抽样的判断和应用，比较基础．
5.【答案】C
【解析】解：∵log2X Y=1
∴Y=2X，满足条件的X、Y有3对
而骰子朝上的点数X、Y共有36对
∴概率为3
36=1
12
故选：C．
先转化出X、Y之间的关系，计算出各种情况的概率，然后比较即可．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A的概率P(A)=m
n
．
6.【答案】C
【解析】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，
它的互斥事件是两次都不中靶，
故选：C．
事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．
本题考查互斥事件和对立事件，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
7.【答案】D
【解析】解：∵原命题为：若a2+b2=0，则a，b都为零；
∴逆否命题为：若a，b不都为零，则a2+b2≠0；
故选D．
把原命题的结论和条件进行否定后，作为逆否命题的条件和结论即可得到结果．
本题考查了原命题和逆否命题的之间关系，由原命题写出它的逆否命题．
8.【答案】C
【解析】解：第一次执行循环体时，输出A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出A=3，S=3，满足继续循环的条件，则A=5，
第三次执行循环体时，输出A=5，
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
根据回归方程为ŷ=−2.35x+147.77，要求我们预报当某天气温−2℃时，该小卖部大
约能卖出热饮的杯数，只要代入x 的值，做出y 即可．
本题考查线性回归方程的应用，即根据所给的或是做出的线性回归方程，预报y 的值，这是一些解答题目中经常出现的一个问题，是一个基础题． 【解答】
解：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程y ̂=−2.35x +147.77． ∴某天气温为2℃时，即x =2，
则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y =−2.35×2+147.77≈143 故选B ．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则p 为假命题，q 为真命题；
又由命题p ：“|x −2|≥2”，命题“q ：x ∈Z ”， 则有{|x −2|<2
x ∈Z ，即0<x <4且x ∈Z ，
则x =1，2，3；
即满足条件的x 为{1,2，3}； 故选：D ．
根据题意，分析可得p 为假命题，q 为真命题，由此求出x 的取值范围，即可得答案． 本题考查复合命题真假的判断，注意分析p 、q 的真假，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，
分析可得区域{0≤x ≤1 
0≤y ≤1表示的区域为以正方形
OABC 的内部及边界，其面积为1；
x 2+y 2<1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC 的内部的面积为
π×124
=π
4，
由几何概型的计算公式，可得点P(x,y)满足x 2
+y 2
<1的概率是π4
1=π4；
故选：C ．
首先根据题意，做出图象，设O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，分析可得区域{
0≤x ≤1 
0≤y ≤1表示的区域为以正方形OABC 的内部及边界，易得其面积，x 2+y 2<1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC 的内部的面积π
4，由几何概型的计算公式，可得答案．
本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式(组)转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
12.【答案】C
【解析】 【分析】
本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
由垂径定理得AB 中点与圆心C 的连线与AB 互相垂直，由此算出AB 的斜率k =1，结合直线方程的点斜式列式即可得到直线AB 的方程． 【解答】
解：∵AB 是圆(x −1)2+y 2=25的弦，圆心为C(1,0)， 又AB 的中点是P(2,−1)， 所以AB ⊥CP ，
因此，AB 的斜率k =−1
k CP =
−1
0+1
1−2
=1，
所以直线AB 的方程是y +1=x −2，化简得x −y −3=0． 故选：C ．
13.【答案】0.2
【解析】解：他射箭一次不够8环的概率等于1减去运动员一次射箭击中10环、9环、8环的概率，
故所求的结果为 1−0.2−0.3−0.3=0.2， 故答案为：0.2．
利用他射箭一次不够8环的概率等于1减去运动员一次射箭击中10环、9环、8环的概率，求出结果．
本题考查相互独立事件的概率，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于基础题．14.【答案】(x−1)2+(y+2)2=9
【解析】解：∵圆的圆心为C(1,−2)，半径长是3，
∴圆的标准方程是(x−1)2+(y+2)2=9
故答案为：(x−1)2+(y+2)2=9
根据圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程．
本题考查圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
15.【答案】1
2
【解析】解：过A的直线向上的部分在
AB和AC之间的区域，则直线l必与斜
边BC相交，
则旋转一周360°的过程中，直线两次和
BC成交，
则对应的概率P=90+90
360=1
2
，
故答案为：1
2
．
根据几何概型的概率公式转化为求角度问题进行计算即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件转化为角度关系是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】1
4
【解析】解：x对应的所有结果构成的区间长度是10−(−10)=20
∵x2−x−6≤0
∴−2≤x≤3
∴满足x2−x−6≤0的x构成的区间长度是3−(−2)=5
由几何概型概率公式得P=1
4
故答案为14．
据题意，所有事件构成的是区间，属于几何概型，求出区间长度，利用几何概型概率公式求出概率．
本题考查判断事件是几何概型，利用几何概型的概率公式求事件的概率．
17.【答案】(本题满分12分)
解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号．从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次，
其一切可能的结果组成的基本事件(第一次摸到1号，第二次摸到2号球用(1,2)表示)空间为：
Ω={(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(1,5)，(5,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)}，
共有20个基本事件，且上述20个基本事件发生的可能性相同．----(4分)
记“取出的两只球都是白球”为事件A.--(5分)
A ={(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)}，共有6个基本事件．-------(7分) 故P(A)=620=310．
所以取出的两只球都是白球的概率为310.-------(8分)
(2)设“取出的两只球中至少有一个白球”为事件B ，则其对立事件B −为“取出的两只球均为黑球”.------(9分)B −={(4,5)，(5,4)}，共有2个基本事件．---------(10分) 则P(B)=1−P(B −)=1−220=910--------(11分)
所以取出的两只球中至少有一个白球的概率为910------(12分)
【解析】(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，然后例举出一切可能的结果组成的基本事件，然后例举出取出的两只球都是白球的基本事件，然后根据古典概型的概率公式进行求解即可；
(2)“取出的两只球中至少有一个白球的事件”的对立事件是“取出的两只球均为黑球”，例举出取出的两只球均为黑球的基本事件，求出其概率，最后用1去减之，即可求出所求．
本题主要考查了等可能事件的概率，以及对立事件和古典概型的概率等有关知识，属于
中档题．
18.【答案】解：(1)∵圆过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y=0上，
故可设圆心C(m,0)，则半径为CA=CB=√(m−1)2+42=√(m−3)2+(0−2)2，
求得m=−1，故圆心C(−1,0)，半径CA=5，
故要求的圆的方程为(x+1)2+y2=25．
(2)由于点P(2,4)到圆心C的距离为PC=√(2+1)2+(4−0)2=5=半径CA，
故点P在圆上．
【解析】(1)设圆心C(m,0)，则根据半径为CA=CB，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．
(2)计算点P到圆心的距离，和半径作对比，可得结论．
本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，点与圆的位置关系的判定，属于基础题．
19.【答案】解：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2+bx+c=0有实根”．
(2)命题P的否命题是真命题．
证明如下：∵ac<0，∴−ac>0，⇒△=b2−4ac>0，⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根．
∴该命题是真命题．
【解析】(1)将原命题的条件和结论都否定后即可写出命题P的否命题．
(2)利用二次方程根的判别式去判断命题P的否命题的真假，并证明．
本题考查四种命题，命题的真假．属于常规题．
20.【答案】16
【解析】解：(1)由题意可得，各组的频率从左往右依次为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05，
故平均值为1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+ 3750×0.05=2400，
众数为2250和2750．
(2)分层抽样的比例为8010000=1125，
数据在[1500,2000)的频率为0.2，
总体中在[1500,2000)(元)月收入的人数为10000×0.2=2000，
故应抽出的人数为2000×1125=16．
(1)根据频率分布直方图的数据，结合平均值和众数公式，即可求解．
(2)先求出抽样比，再求出在[1500,2000)(元)月收入的人数，进而可以求出结果． 本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了数形结合的能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐
标系中，作出散点图如图所示：
(2)x .=15×(2+4+5+6+8)=5，y .=1
5×(30+40+60+50+70)=50，
∑x i 2=145，∑y i 2=13500，∑x i y i =1380．
b ̂
=
∑x i y i −5xy ∑x i 2−5x 2=1380−5×5×50145−5×52=6.5， a ̂=y .−b x ⃗ =50−6.5×5=17.5．
因此回归直线方程为y ̂
=6.5x +17.5；
(3)x =9时，预报y 的值为y =9×6.5+17.5=76(万元)．
【解析】(1)画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图．
(2)根据所给的5组数据，先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法，做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
(3)把所给的自变量x 的值代入直线方程，做出对应的y 的值，就是要求的估计广告费用是9万元时，销售收入的值．
本题考查可线性化的回归分析，考查求线性回归方程，考查画散点图，考查求预报值，本题是一个综合题目，这种题目广东已经作为高考题目出过，要引起同学们注意．
22.【答案】解：(1)根据题意，画出茎叶图，如图；
；
(2)甲的平均数是x 甲−=110(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=110×300=30(cm)，
乙的平均数是x 乙−=110(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=
110×310=31；
∴x 甲−<x 乙−，即乙种玉米的苗长得高；
(3)甲的方差是s 甲2=110[(25−30)2+(41−30)2+(40−30)2+⋯+(42−30)2]=104.2(cm 2)，
乙的方差是s 乙2=110[2×272+3×162+3×402+2×442]=128.8(cm 2)；
∴s 甲2<s 甲2，甲种玉米的苗长得更整齐些．
【解析】(1)根据题中数据，画出茎叶图；
(2)求出甲、乙的平均数，比较即可得出结论；
(3)求出甲、乙的方差，比较即可得出结论．
本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了计算平均数与方差的问题，是基础题．。