2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(八)含解析

课下能力提升(八) [学业水平达标练]
题组1 用“五点法”作简图
1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π
4，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π6，π3，π2，2π
3
2．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图象是( )
3．函数y ＝sin|x |的图象是( )
4．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]的图象． 题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式 5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 C.⎝⎛⎭⎫0，π2 D.⎝⎛⎭⎫π
2，2π
6．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．
7．求函数y ＝
sin x －1
2
＋cos x 的定义域．
题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝3
2交点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．方程cos x ＝lg x 的实根的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数 10．判断方程sin x ＝x
10
的根的个数．
[能力提升综合练]
1．对余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．
其中正确的描述有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内 ( ) A ．没有根 B ．有且只有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根
3．函数y ＝cos x |sin x ||cos x |⎝⎛
⎭
⎫0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )
4．在(0，2π)上使cos x ＞sin x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，2π B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎫π，5π
4
C.⎝⎛⎭⎫π4，5π4
D.⎝⎛⎭⎫－3π4
，π4
5．在(0，2π)内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是________．
6．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 7．用五点作图法作出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π
3的图象．
8．方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π
3，π上有两个实数根，求a 的取值范围．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选B 分别令2x ＝0，π2，π，3π2，2π，可得x ＝0，π4，π2，3π
4，π.
2. 答案：D
3. 解析：选B y ＝sin|x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧sin x ，x ≥0，sin （－x ），x ＜0.作出y ＝sin|x |的简图知选B.
4. 解：列表：
x 0 π
2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0，1)，⎝⎛⎭2，3，(π，1)⎝⎛⎭3π
2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起
来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]的图象．
5. 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，
在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝⎛
⎭⎫π2，3π2.
6. 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥
2
2
.由余弦函数图象知(如图)．
所求定义域为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π
4＋2k π，k ∈Z .
答案：⎣⎡⎦
⎤－π4＋2k π，π
4＋2k π，k ∈Z
7. 解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x －12≥0，
cos x ≥0，得⎩
⎨⎧π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2
，k ∈Z .
∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋π
2，k ∈Z ，即函数y ＝
sin x －1
2＋cos x 的定义域为⎣
⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋π2(k
∈Z )．
8. 解析：选C 画出y ＝3
2
与y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象，由图象可得有2个交点．
9. 解析：选C 如图所示，作出函数y ＝cos x 和y ＝lg x 的图象．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．
10. 解：因为当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π
10＜1；
当x ＝4π时，y ＝x 10＝4π
10
＞1.
所以直线y ＝x
10在y 轴右侧与曲线y ＝sin x 有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y 轴左
侧也有3个交点，加上原点(0，0)，一共有7个交点．
所以方程sin x ＝x
10
有7个根．
[能力提升综合练]
1. 解析：选D 由余弦函数的图象知①②③④均正确．
2. 解析：选C 在同一坐标系内画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.
3. 解析：选C y ＝⎩⎨⎧sin x ，0≤x ＜π2或π≤x ＜3
2
π，－sin x ，π
2＜x ＜π，
结合选项知C 正确．
4. 解析：选A 以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x ＞sin x . ∵x ∈(0，2π)，∴cos x ＞sin x 的x 的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
5. 解析：三角函数线法，由题意知sin x ＞0，即x ∈(0，π)，由三角函数线知满足sin x ＞|cos x |的角x 在如图所示的阴影部分内，所以不等式的解集为⎝⎛
⎭⎫π4，3π4.
答案：⎝⎛
⎭⎫π4，3π4
6. 解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
7. 解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如下图)：
8. 解：首先作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的图象，如果y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π
3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，方程sin x ＝1－a 2，x ∈⎣⎡⎦
⎤π3，π就有两个实数根．
设y 1＝sin x ，x ∈⎣⎡
⎦
⎤π
3，π，y 2＝1－a 2. y 1＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤π
3，π的图象如图．
由图象可知，当
32≤1－a
2＜1，即－1＜a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π
3，π上有两个实根．。