2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题 文 新人教A版

2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题 文 新人教A 版
选择题（每题只有一个正确答案，共10道小题，每题5分，共计50分）
1、若，则= （ ）
A.{3}
B.{1}
C.
D. {－1}
2、是复数为纯虚数的（ ）条件
A.充分
B.必要
C.充要
D. 非充分非必要
3、为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）
A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
4、不等式（ ）
A. B.
C. D.
5、已知等差数列的前13项之和为，则等于 （ ）
A. B. C. D. [
6、 运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M 的值是
（ ）
A.0
B.1
C. 2
D. －1
7、某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得
这个几何体的体积为（ ）
A.12
B.
C.
D.
8、已知函数y ＝ax2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝（ ）
A.18
B.14
C.12
D. 1 9、已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y≤x x ＋y≥2
x≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为（ ）
A.12
B.43
C.32
D. 2 10、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于（ ）
A.4
B.3
C.2
D. 1
填空题（本题共5小题，每题5分，共计25分）
11、若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于
12、函数f(x)＝ax3－2ax2＋(a＋1)x不存在极值点，则实数a的取值范围是________．
13、从1=1，1－4=－(1+2),1－4+9=1+2+3,1－4+9－16=－(1+2+3+4),…,推广到第个等式为_____________________________________.
14、已知向量和的夹角为，则 .
15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A）(几何证明选做题)如图，是圆的切线,
切点为, 点在圆上，，
则圆的面积为；
（B）(极坐标系与参数方程选做题)极坐标方程表示的曲线截所得的弦长
为；
（C）（不等式选做题）不等式|2x-1|<|x|+1解集是．
三、解答题（要求要有一定的解答或推理过程，本题共6小题，共计75分，）
16、已知函数
（I）求函数的最小正周期。

(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。

17、等差数列中，
（I）求的通项公式；
(II)设
18、已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（I）求证：AP⊥平面BDE；
(II) 求证：平面BDE⊥平面BDF；
19、袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：（I）3只全是红球的概率；
(II) 3只颜色全相同的概率；
(III)3只颜色不全相同的概率．
20、已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。

（I）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(II)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
21、已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）若函数在时有极值，求的表达式；
(II) 若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题只有一个正确答案，共10道小题，每题5分，共计50分）
1．D
2．B
3．D
4．D
5．B
6．C
7．D
8．B
9．D
10．B
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计25分）
11．．
12．0≤a≤3．
13．1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）．
14．13 ．
考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【几何证明选做题】
15．A、4π．
B、．
C、{x|0＜x＜2} ．
三、解答题（要求要有一定的解答或推理过程，本题共6小题，共计75分，）
16．解：（1）因为f（x）=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1
所以函数f（x）的最小正周期为T==π
（2）由（1）知，当2x+=2kπ+，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值
因此函数f（x）取最大值时x的集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}
17．解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
18．解：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，
∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE=E，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分别为AC、PC的中点，
∴DF是△PAC的中位线，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又∠EDF=90°，∴平面BDE⊥平面BDF．
19．解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
从袋中摸球，摸到红球的概率是，
三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，
∴P=
（2）利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
，．
3只颜色全相同的概率为P2=2×=2•=．
（3）3只颜色不全相同的概率为（或）
答：全部摸到红球的概率是，3只颜色全相同的概率是，3只颜色不全相同的概率是20．解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为
（a＞b＞0），
其半焦距c=6
∴，b2=a2﹣c2=9．
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）
关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．
设所求双曲线的标准方程为
由题意知，半焦距
c1=6，
，
b12=c12﹣a12=36﹣20=16．
所以所求双曲线的标准方程为．
21．解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∵函数y=f（x）在x=﹣2时有极值
∴f′（﹣2）=0即﹣4a+b=﹣12
∴
解得a=2，b=﹣4，c=5
∴f（x）=x3+2x2﹣4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x2﹣bx+b
∵函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立
f′（x）的最小值为f′（1）=1﹣b+b≥0∴b≥6
f′（﹣2）=12+2b+b≥0∴b∈∅，f′（x）的最小值为
∴0≤b≤6
总之b的取值范围是0≤b≤6
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