《数系的扩充》同步练习6(苏教版选修2-2)

高中学生学科素质训练
高三数学测试题—数系的扩充
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．若复数)()65()43(2
2
R m i m m m m ∈--+--是虚数，则 （ ）
A ．1-≠m
B ．6≠m
C ．61≠-≠m m 或
D ．61≠-≠m m 且
2．设)/()(,0bi a bi a z b a -+=>>则复数的主辐角主值是 （ ）
A ．2
22
2arcsin b a b a +-
B ．2
22
2arccos b a b a +-
C ．)]/(2[2
2
b a ab arctg -
D ．)/(2a b arctg +π
3．已知1z 212,z z C z =∈的一个必要但不充分的条件是 （ ） A ．0||||21=-z z B ．21z z =
C ．21z z -=
D ．2
22
1z z =
4．已知复数21
2
341,2,)3()21(z i
z z i i z 则-=-+=的模等于 （ ）
A ．
8
2 B ．
6
2 C ．
4
2 D ．
2
2 5．已知=-+=-=)arg()arg(,2
222,112
221z z i z i z （ ） A ．43π
-
B ．
4
3π C ．
45π D ．4
5π-
6．设复数,|sin ||cos |i z θθ+=，则函数z z f ⋅=)(θ的性质适合（ ） A ．最小正周期为π，值域为]2,0[ B ．最小正周期为π，值域为]2,1[
C ．最小正周期为,2
1π值域为2,0[]
D ．最小正周期为,2
1π值域为]2,1[
7．复平面上的点z 对应复数z=a +b i ，（a ,b ∈R ），z 是z 的共轭复数，下列命题
①若|z|=1，则1=⋅z z ；
②z z -是纯虚数；
③若点Z 在第二象限，则).(arg a
b
arctg z +=π其中正确的是 （ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②③
8．3
arg ,1|1|π
≥≤-∈z z C z 且满足，则z 在复平面内表示的点集是图（ ）中的
阴影部分.
9．设0||,2
=+∈z z C z 则方程的根是 （ ）
A ．4个
B ．2个
C ．3个
D ．1个
10．在复平面上有三个村庄A （0，1），B （0,3），O （0，0）（单位：公里），现要建一个自来水厂向这三个村庄供水，适当选取厂址可节约供水管道，则最少需要铺设管道的公里数是 （ ）
A ．6
B ．7
C ．22
D ．10
二、填空题（本题11—14小题每小题4分，15—16小题每小题5分，共26分） 11．集合N M C z i z i z Z N C z x z M 则},|,||||{},1|1||{∈-=+=∈=-=是 . 12．复数)23(|sin ||cos |πθπθθ<<+i 的辐角主值是 .
13．若ωωωω++=++4
2)1(,01则复数的三角形式是 . 14．=-=⋅+∈z i z z z C z 则若,4
21, .
15．设22
|
|1||,1|1|,z z m z C z +==+∈，则m 的最大值是 .
16．若2121),22
3
arg(),42arg(θθθθ--=+=则i i 的值是 .
三、解答题 17．（本题满分12分）
若1z 、a z z z z b z z z z a z z C z 问且,,,0,22111221212⋅+⋅=⋅+⋅=≠⋅∈、b 可否比
x
y
y
y
y （A ） （B ） （C ） （D ）
x x x
0 0
3
π 3π 3
π3
π 3
π
较大小？若不可，说明理由；若可，指明大小关系，并证明你的结论. 18．（本题满分12分）
已知常数||||,0,101100z z z z z C z =-≠∈满足复数且，又复数z 满足11-=zz ，求
复平面内z 对应的点的轨迹. 19．（本题满分12分）
如图，设P 是抛物线2
x y =上任意一点，以线段OP 为一边作正方形OPQR （O 、P 、
Q 、R 按顺时针顺序排列），利用复数求点R 的轨迹. 20．（本题满分12分）
已知1z 、||,03,1212z z z C z =++∈且、2、||2z 成
等差数列，求)arg cos(arg 21z z -的最大值. 21．（本题满分12分）
设z 为复数，在复平面上已知曲线C 1、C 2、C 3且C 1满足32|1||1|=++-z z ，
C 2满足,2||=z C 3满足|,2
3
||21|-=+
z z C 1与C 3的两个公共点为A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的平行线交C 2于M 、N 两点，OM 、ON 的倾角分别为α、β，（O 为原点）求cos(α
+β)的值. 22．（本题满分4分）
复平面内曲线C 的方程是)0(2||||2222>>=--+-+b a a b a z b a z ，Z 1、
Z 2、Z 3是曲线C 上的点，点Z 1所对应的复数是3121,Z Z i Z Z bi =⋅，试确定三角形Z 1Z 2Z 3的个数.
高三数学测试题参考答案--八、复数
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．C 10. B 提示：设厂址的位置为Z ，则Z 到三个村庄的供水管道长为
R
Q x
P
y
|)3(||)(||||3|||||||||||2-+-+=-+-+=++=z i z z z i z z BZ AZ OZ d ωω
|2
523||3||)3()1(||)3()(|22i i i z z i z z +-
=⋅+=+-++=-+-+≥ωωωωωωω 74
2543=+=
（公里）其中i 2
321+-
=ω，等号成立当且仅当z ， )3(),(2--z i z ωω同向共线，即∠AZB=∠BZO=∠OZA=120°时，d
有最小值
7
公里，图示
为 A ′B 的长. 二、填空题
11．{0，2} 12．θ－π 13．ππsin cos i + 14．i i 21121---或 15．54 16．－π
三、解答题
17．解：22211221||||z z z z z z b +=⋅+⋅= 为实数，而,12211221a z z z z z z z z a =⋅+⋅=⋅+⋅= 可见a 也为实数，∴a ，b 可比较大小.)()(22112211z z z z z z z z b a ⋅+⋅-⋅+⋅=-
.,0||))(())((22121211221b a z z z z z z z z z z ≤∴≤--=---=--=
18．解：)0(|
|1|1||,1||1|,1,1000
011≠=+=--∴-=∴-=⋅z z z z z
z z
z
z z z 即
∴Z 对应的点的轨迹是以01z -对应的点为圆心，以|1|0
z 为半径的圆，但应除去原点.
19．解：设),(.)2
sin 2)(cos (:),,(:
x y P xi y i yi x OP R y x yi x OR -+-=++∈+又则π
π在抛物
线
.)(,222x y y x x y =-==即则上则点R 的轨迹为抛物线y 2=x ，除去顶点（0，0）.
20．解：,3,4||||2121-=+=+z z z z 又
得（如图）
|
|||2)3|||(|)cos(cos )arg cos(arg 212222121z z z z a z z ⋅-+-=
--==-πα
;1|
|||27||||29|]|||2|)||[(|2121212
21+⋅-=⋅-⋅-+-=z z z z z z z z
又,4||||,4||||2,||||2||||21212121
≤⋅∴≤⋅∴⋅≥+z z z z z z z z
.8
1)arg cos(arg .8114271||||272121的最大值是z z z z -=+⨯-≤+⋅-
∴
O
y
x
α
－3
Z 1
Z 2
21．解：C 1为椭圆：.023:;2,;12
332222
2=-+=+=+y x C y x C y x 为直线为圆
设)sin 2,cos 3(),sin 2,cos 3(ββααB A 把A 、B 两点的坐标代入直线C 3的方程中，得
02sin 23cos 3=-⋅+αα① .02s i n 23c o s 3=-⋅+ββ② ①—②得
02
sin
2
cos
262
sin
2
sin
320)sin (sin 23)cos (cos 3=-++-+-=-+-βαβαβαβαβαβα即
.7561612
121)cos(,62
2
2
-=+-=+++-=
+=+∴βαβ
αβαβ
αtg tg tg
故有
22．解：由椭圆定义，已知方程可化为31213121222222.Z Z Z Z Z Z i Z Z b a y a x b ⊥=⋅=+得由,
且.||||3121Z Z Z Z =21Z Z 可设∴、31Z Z 的方程分别为y =k x +b 、.1b x k
y +-=把它们分别与椭
圆方程联立，解得点Z 2、Z 3的坐标分别为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=.2,2;2,22222
3222232222222222b k b a b a y k b a bk a x b k a a bk a y k a b bk a x 和 由||||3121Z Z Z Z =和两点的距离公式，化简得.02
2
2
2
3
2
=-+-b k a k a k b ① 即.0)(10].)()[1(2222222222=+-+=∴=+-+-b k a b k b k b k a b k b k 或② 方程②的判别式).3)((222b a b a -+=∆
i ）当03>∆>时b a ，方程②有相异二实根，则方程①有相异三实根，此时有三个△Z 1Z 2Z 3； ii ）当,0,3=∆=时b a 由②得k=1，则①有一个实根，此时有1个△Z 1Z 2Z 3； iii ）当,0,3<∆<
时b a 方程②无实根，则①有1个实根，此时有1个△Z 1Z 2Z 3.
综上可知，当b a
3>时，有3个△Z 1Z 2Z 3；当b a 3≥时，有1个△Z 1Z 2Z 3.
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