2019-2020学年太原市数学高二下期末达标检测试题含解析

2019-2020学年太原市数学高二下期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
1
20
1x dx -=⎰
（ ）
A ．π
B ．
2
π C ．0 D ．
4
π 【答案】D 【解析】 【分析】 定积分
1
21x dx -⎰
的几何意义是圆221x y +=的1
4
个圆的面积，计算可得结果.
【详解】 定积分1
21x dx -⎰的几何意义是圆22
1x y +=的14
个圆的面积, ∴
1
210
11144
x dx -=⨯=⎰
π
π，故选D.
【点睛】
本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题 2．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
计算出样本的中心点，将该点的坐标代入回归直线方程可得出的值。

【详解】
由表格中的数据可得
，
，
由于回归直线过点，所以，，解得，故选：D.
【点睛】
本题考查回归直线的基本性质，在解回归直线相关的问题时，熟悉结论“回归直线过样本的数据中心点
”是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题。

3．已知命题：①函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1[,2]2
；
②为了得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3
π
个单位长度；
③当0n =或1n =时，幂函数n
y x =的图象都是一条直线；
④已知函数2log ,02()12,22
x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围
是(2,4).
其中正确的命题个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
：①根据指数函数的单调性进行判断； ②根据三角函数的图形关系进行判断； ③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断. 【详解】
①因为2x
y =是增函数，所以当11x -≤≤时，函数的值域是1[,2]2
，故①正确；
②函数sin2y x =图象上的所有点向右平移
3π
个单位长度，得到函数2sin(2)3
y x π=-的图像，故②错误；
③当0n =时，0
1(0)y x x ==≠直线挖去一个点，当1n =时，幂函数y x =的图形是一条直线，故③错误；
④作出()f x 的图像如图所示：
所以()f x 在(0,1]上递减，在[1,2)上递增，在[2,)+∞上递减， 又因为,,a b c 在(0,2)上有两个，在(2,)+∞上有一个， 不妨设(0,1),(1,2),(2,)a b c ∈∈∈+∞，
则22log log 0a b +=，即1ab =，则abc 的范围即为c 的范围，
由1
202
x -+=，得4x =，
则有24c <<，即abc 的范围是(2,4)，所以④正确； 所以正确的命题有2个，故选C. 【点睛】
该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.
4．已知抛物线y 2=2x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|PF|=2，过点P 作抛物线准线的垂线交准线于点Q ，则|FQ|=（ ） A ．1 B ．2
C ．22
D ．23
【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设点P 在x 轴的上方，设P （x 1，y 1），根据抛物线的性质可得x 1=3
2
，即可求出点P 的坐标，则可求出点Q 的坐标，根据两点间的距离公式可求出． 【详解】
不妨设点P 在x 轴的上方，设P （x 1，y 1），∵|PF|=2，∴x 1+
12=2，∴x 1=3
2
∴y 13Q （-123），∵F （12，0），∴()
2
2
110322⎛⎫++- ⎪⎝⎭
，
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化. 5．下面四个命题：
1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0
200,2n n N n ∃∉≤”；
2p :向量()(),1,1,a m b n ==-，则m n =是a b ⊥的充分且必要条件；
3p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则
“A B ≤”；
4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.
其中为真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题判断1p ；根据向量垂直的坐标表示判断2p ；根据逆否命题的定义判断3p ；由且命题的性质判断4p . 【详解】
1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0200,2n n N n ∃∈≤”，1
p 不正确； 2p : a b ⊥的充分且必要条件是()(),1.1,0m n -=等价于m 0n -=,即为m n =，2p 正确；
3p ：由逆否命题的定义可知，“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >” 的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”，3
p 正确； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题或q 是假命题，4p 不正确.
所以，真命题的个数是2，故选B. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题的否定、向量垂直的充要条件、逆否命题的定义、“且”命题的性质，属于中档题. 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
6．函数2
12
()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )
A ．
()0,?+∞ B ．(),0-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可． 【详解】
由240x ->可得2x <-或2x >，
∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+． 设()2
4t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减，
又函数
12
log y t =为减函数，
∴函数()()
212
log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增，
∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 故选D ． 【点睛】
（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()
y f g x =来讲，它的单调性依赖于函数()y f t =和函数()t g x =的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数()()
y f g x =为增函数；否则函数()()
y f g x =为减函数．
（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 7．
()1
2
31x
dx -=⎰（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
【答案】C 【解析】 【分析】
用微积分基本定理计算． 【详解】
()1
2
31x dx -=⎰
31()
x x -0=．
【点睛】
本题考查微积分基本定理求定积分．解题时可求出原函数，再计算．
8．设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ B ．,,m n αβαβ⊥⊥⊂，则m n ⊥ C ．,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ D ．//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n 【答案】A 【解析】 【分析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可. 【详解】
直线,m n 所在的方向向量分别记为,a b ，则它们分别为αβ，的法向量， 因αβ⊥，故a b ⊥，从而有m n ⊥，A 正确.
B 、
C 中,m n 可能平行，故B 、C 错，
D 中,m n 平行、异面、相交都有可能，故D 错. 综上，选A. 【点睛】
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.
9．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则()P B A =( ) A ．
2
3
B ．
25
C ．
13
D ．
14
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出()|P B A ． 【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖， 所以()1|4
P B A =． 故选：D ．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
10．已知椭圆22
214
x y a +=，对于任意实数k ，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线:1l y kx =+所截得
的弦长不可能相等的是（ ） A ．0kx y k ++= B ．10kx y --= C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=
【答案】D 【解析】
分析：当l 过点10-（，）
时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l l 过点（1，0）时，直线l 和选项D 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同， 当k=0时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同．排除A 、B 、D ． 详解：由数形结合可知，当l 过点10-（，）
时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l 过点（1，0）时，直线l 和选项C 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选C ． 当0k =时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选B ． 直线l l 斜率为k ，在y 轴上的截距为1；选项D 中的直线20kx y +-=斜率为k -，在y 轴上的截距为2，这两直线不关于x 轴、y 轴、原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等． 故选C ．
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
11．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3
PFQ π
∠,则双曲
线的离心率e 等于（ ）
A 1
B
C 1
D 2+
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对称性知12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126
PF F π
∠=
，可得122PF PF =，
利用双曲线的定义得出22PF a =，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率e 的值. 【详解】
由双曲线的对称性可知，12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126
PF F π
∠=，则122PF PF =，
由双曲线的定义可得2PF PF PF a -==，
在12Rt PF F ∆
中，21212
2tan 2PF a PF F F F c ∠==
=
，c e a
∴==，故选B. 【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题． 12．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0 B ．()1,π-
C ．()1,π
D ．()1,2π
【答案】C 【解析】
分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．
详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，
∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．
点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．
二、填空题：本题共4小题
13．已知a 常数，则12
lim
2n
n n
n
n
n a C C C →+∞++++=______．
【答案】1 【解析】 【分析】
由二项式系数性质可得012...2n n
n n n n C C C C ++++=，再结合数列极限的求法即可得解. 【详解】
因为012...2n n
n n n n C C C C ++++=， 则12...21n n
n n n C C C +++=-，
所以12
lim
2n
n n n
n
n a C C C →+∞+++
+=12lim 2
n
n n a →+∞-+=1lim (1)12n n a →+∞-+=， 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了二项式系数及数列极限，属基础题.
则为不中奖，则中奖的概率为_________． 【答案】25
【解析】
试题分析：口袋中五个球分别记为1,2,,,a b c 从中摸出两球的方法有：
1,2;1,;1,;1,;2,;2,;2,;,;,;,a b c a b c a b a c b c 共10种，其中颜色相同的有1,2;,;,;,a b a c b c 共四种，有古典
概率的求法可知42105
P =
=． 考点：古典概率的求法．
15．化简0224361008201610092018
20182018201820182018
20182018
1
(C 3C 3C 3C 3C 3C )2
-+-++-＝__________． 【答案】1
2
-. 【解析】
分析：利用)2
3-=
，逆用二项式定理求和，再根据展开式特点结合棣莫弗定理
[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+求值.
或者构造()
2018
1+和()
2018
1-的二项式展开式求和，再利用()1n
和(
)1n
周期性解决问
题. 详解：
方法一：因为022436
1008201610092018
201820182018201820182018C 3C 3C 3C 3C 3
C -+-+
+- )
)
)
2
4
2018
02
4
201820182018
2018
2018
=C C C C +++
+
()
2018
1=展开式中所有有理项的和，
又因为
(
)
2018
2018201820181ππ2018π2018π1=[2()]=[2(cos sin )]2(cos sin )23333
i i ++=+，所以
(
)
2018
1+展开式中所有有理项的和为2018
20182018π12
cos
=232⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 因此
(
)
022436
10082016100920182018201820182018201820182018
1C 3C 3C 3C 3C 3
C 2-+-+
+-＝1
2
-.
方法二：原式=()
)
())2018
3
0123
201820182018201813C C C C +=+⨯+⨯-++
+
)))2016
2017
2018
2016
201720182018
2018
2018
C C C ⨯
+⨯+ ①
()
()()()
2018
3
01232018
2018
2018
2018
13C
C C C
=+⨯+⨯-+++
()
()
()
2016
2017
2018
2016
2017
201820182018
2018
C C
C
⨯+⨯+ ②
①+②可得：
()
()
2018
2018
11∴+
(
)
02
2
4
3
6
1008201610092018
201820182018201820182018233333C C C C C C =-+-+
+- 022436
100820161009201820182018201820182018201833333C C C C C C ∴-+-+
+-
()
()
2018
2018
1112⎡
⎤=+⎢
⎥⎣⎦
2018
2018
11
1-22222⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎢⎥=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎣⎦
2211
1-22222i ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1
-2
=
点睛：展开式的应用：
可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.有关组合式的求值证明，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.
16．随机变量X 的概率分布为2
()(1,2,3)a
P X n n n n
===+，其中a 是常数，则()D aX =__________． 【答案】608
729
【解析】 【分析】
根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得
11111311122334223344
a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 则43a =
，∴()213
P X ==，()229P X ==，()139P X ==，
则24113()3939E X =++=，2
2
2
132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
∴2
608
()()729
D aX a D X ==. 故答案为:608
729
【点睛】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()(2)1x x f x te t e =++-，t ∈R .
（Ⅰ）当1t =-时，求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）当0t >时，若函数()()41x g x f x e x =--+在R 上有唯一零点，求t 的值
【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞.极大值是34-
，无极小值.（Ⅱ）1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把1t =-代入2()(2)1x x f x te t e =++-，令()0f x '=，求出极值点，再求出()f x 的单调区间，确
定函数的极值；（Ⅱ）函数()()41x g x f x e x =--+在R 上有唯一零点，等价于()g x 的极小值等于0，列
出等式，可求得t.
【详解】
解：（Ⅰ）当1t =-时，2()1x x f x e
e =-+-， 则()2()2e e e 12e x x x x
f x '=-+=-，
令()0f x '=，得ln2x =-，
∴()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞.
∴()f x 的极大值是3(ln 2)4
f -=-，无极小值. （Ⅱ）当0t >时，()()41x
g x f x e x =--+2e
(2)e x x t t x =+--， 由2()2e (2)e 1x x g x t t '=+--()()e 12e 10x x t =-+=，得ln x t =-，
∴()g x 在(,ln )t -∞-上单调递减，在(ln ,)t -+∞上单调递增，
∴()g x 的极小值是(ln )g t -，∴只要(ln )0g t -=，即1ln 10t t -+=， 令1()ln 1F t t t =-+，则211()0F t t t
'=+
>，∴()F t 在(0,)+∞上单调递增. ∵(1)0F =，
∴t 的值是1.
【点睛】
本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.
18．《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，
超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图
.
根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了y 与时间变量t 的两个回归模型①：(1)ˆy bt a =+；
②(2)ˆdt y ce =.
（1）求a ，b （精确到0.01）；
（2）乙求得模型②的回归方程为(2)0.180.5ˆ1t y e =，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由. 附：参考公式：1221ˆn
i i i n i i t y nty b t
nt ==-=-∑∑，ˆˆa y bt =-，2212
1()1(ˆ)n i i i n i i y y R y y ==-=--∑∑. 参考数据： y 9(1)1i
i i t y =∑ 921i i t =∑ 9(1)21(ˆ)i i i y y =-∑ 9(2)21(ˆ)i i i y y =-∑ 921()i i y y =-∑
1.39 76.94 285 0.22 0.09 3.72
【答案】（1）ˆ0.19a
=,ˆ0.24b =（2）模型②的拟合效果较好 【解析】
分析：（1）求出t ，y 代入最小二乘法公式即可求得ˆ0.19a
= ,ˆ0.24b =， （2）利用公式求得2212,R R ，比较大小可得结论.
详解：
（1）()1123959
t =++++=， 1222176.9495 1.390.2428ˆ595n i i i n i i t y nty b t nt
==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 1.390.ˆ2450.1ˆ9a
y bt =-=-⨯=．
（2），
，
因为，所以模型②的拟合效果较好．
点睛：本小题主要考查回归直线、回归分析等基础知识；考查运算求解能力和应用意识；考查数形结合思想、概率与统计思想．
19．已知函数22()ln (R)f x a x x ax a =--∈ ．
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）若()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）20x y +=；（2）341,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）计算(1)f ，以及根据函数在某点处导数的几何意义，可得切线斜率，然后根据点斜式，可得结果. （2）利用导数，采用分类讨论的方法，0a =，0a <以及0a >判断函数的单调性，利用函数的最大值max ()0f x <，可得结果.
【详解】
（1）当1a =时，所以2()ln f x x x x =--，
则(1)2f =-又1(2')1f x x x
=--，'(1)2f ∴=-， ∴所求切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=
（2）2(2)() '()2(0)a x a x a f x x a x x x
-+=--=-> ①当0a =时，2()0f x x =-<在(0,)+∞恒成立，
②当0a >时，
由'()0f x >，得02
a x <<：
由'()0f x <，得2a x >
， ∴函数()f x 在0,2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减， 2222max 3()ln ln 224224a a a a a f x f a a ⎛⎫⎛⎫∴==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 要使()0f x <恒成立， 只需满足23ln 0224a a f a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可， 解得3402e a <<
③若0a <，
由'()0f x >，得0x a <<-；
由'()0f x <，得x a >-，
∴函数()f x 在(0,)a -单调递增，在(,)a -+∞单调递减，
∴2222max ()()ln()ln()f x f a a a a a a a =-=--+=-，
要使()0f x <恒成立，
只需满足2
()ln()0f a a a -=-<即可，解得10a -<<
综上可得，a 的取值范围为341,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题考查函数导数的综合应用，难点在于对a 进行分类讨论，判断函数的单调性，属中档题.
20．已知函数()ln f x x x =
（I ）求()f x 在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程.
（II ）求()f x 的最小值.
【答案】（I ）2y x e =-；（II ）min 1().f x e -=
【解析】
【分析】
（I ）对函数求导，把x e =分别代入导数与原函数中求出()f e '，()f e ，由点斜式即可得到切线方程； （II ）求出函数()f x 的定义域，分别令导数大于零和小于零，结合定义域，解出x 的范围即可得到函数()f x 的单调区间，由此求出()f x 的最小值。

（I ）1'()ln 1ln f x x x x x
=+⋅=+， 故'()1ln 2f e e =+=，又(),f e e = 故()f x 在x e =处的切线方程为：2()y e x e -=-,即2y x e =- .
（II ）由题可得()f x 的定义域为()0,∞+，
令1
'()1ln 0(0,)f x x x e =+<⇒∈，1'()0(,)f x x e
>⇒∈+∞ 故()f x 在1(0,)e 上单减，在1(+)e ∞，
上单增，min 1111()()ln .f x f e e e e
∴==-= 【点睛】 本题主要考查利用导数求函数上某点切线方程，以及函数单调区间和最值，在求单调区间注意结合定义域研究，属于基础题。

21．某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学.
（1）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米） 频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数（单位精确到0.01）；
（2）如果以身高达到170cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表：
体育锻炼与身高达标22⨯列联表
身高达标 身高不达标 合计 积极参加体育锻炼
60 不积极参加体育锻炼
10 合计
100
①完成上表；
②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？ 参考公式：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
【答案】（1）174，174.55；（2）①列联表见解析；②95%.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解；
（2）①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻炼的比例，完成表格；②根据公式计算出2K 即可下结论.
【详解】
（1）平均数1550.11650.151750.551850.15⨯+⨯+⨯+⨯1950.05174+⨯=，
前两组频率之和为0.25，前三组频率之和为0.8，所以中位数在第三组 中位数为0.2517010174.550.55
+⨯=. （2）根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25，达标所占频率为0.75，
所以身高不达标25人，达标75人，
根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人，
所以表格为：
假设体育锻炼与身高达标没有关系
()2
2100601015154 3.84175257525
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯. 所以有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系.
【点睛】
此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键在于数量掌握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.
22．已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+
（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;
（2）若存在1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =（2）132a e e ≤
+- 【解析】
【分析】
（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解； （2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++
，构造函数()()32ln 0h x x x x x
=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=， 即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩
， 解得014
x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线． （2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x ≤++
， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()223123
1x x h x x x x
+-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减;
当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增. 存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e ⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
， 又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以132a e e
≤+-. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。