第八章 无穷级数

, 从 而 lim n
sn
,
这时级数发散.
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若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
综上所述,几何级数 aqn a aq aq2 aqn
n0
a
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 1 q ，当|q|≥1时级数发散.
对于无穷级数 un u1 u2 un n1
记Ｓ１ ｕ１，Ｓ２ ｕ１ｕ２ ，，Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和，称 {Ｓｎ } 为级数的部分和数列.
考察
1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
结果如何 ?
1 2 3 n 结果如何？
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对于
1
1 2
1 22
1 23
n1
它的部分和数列{sn}有上界.
证
必要性:若
n1
un
收敛
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有界 {Sn} 有上界. 充分性：因un 0,所以Sn1 Sn 即{Sn}单调递增
若{Sn
}有上界，则
lim
n
Sn
存在，从而
n1
un收敛.
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例1 试判定正项级数
解 由于
n 1
sin
π 2n
2n
人类知识的积累总是遵循着从已知到未 知的认识规律。
就拿微积分来说吧. 微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之
一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强 地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结 晶 而其中的极限理论则被说成是人类理
性了思导维 数的 ，典 定范 积。 分利等用概极念限；概利念用，定我积们分逐 、步 极获 限得 概
念又获得了广义积分的概念。下面看看无穷级 数理论是怎样产生的。
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1 2 3 n n(1 n) 2
1 2 3 n 结果如何？
1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1
1 2n
1 1
2(1
1 2n
)
2
1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
结果如何 ?

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第一节 数项级数的概念和性质
的敛散性．
Sn
1 2
sin 4
π 4
sin 8
π 6
sin
π 2n
2n
1 1 1 248
1 2n
1 2
1
1 2n
1 1
2
<1
即其部分和数列有界，所以正项级数 敛。
sin
π 2n
n1 2n
收
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定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数 un 和 vn
n1
n1
如果存在正整数N,当n≥N时,有un≤vn,则有：
n1
也收敛,且
(un vn ) un vn
n1
n1
n1
如:因为
n1
1与 3n
n1
1 2n
都收敛，所以
n1
(
1 2n
1 3n
)收敛.
如:因为
n1
1与 3n
n1
1 2n
都收敛，所以
n1
(
1 2n
1 3n
)收敛.
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性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛,
且其和不变.
1
例3 求 n1 (n 1)(n 2) 的和.
解
Sn
1 23
1 3 4
1 (n 1)(n
2)
因为 1
1 1
(n 1)(n 2) n 1 n 2
所以Sn
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 n 1
n
1
)
2
1 2
n
1
2
1
lim
n
Sn
, 2
所以
1
1.
n1 (n 1)(n 2) 2
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2 1
1 xp
dx
3 2
1 xp
d
x
n n1
1 xp
dx
1 n 1 dx 1 1 n p1
1 xp
P 1 P 1
1 1 p p 1 p 1
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所以当P
1时，
n1
1 np
收敛.
因此p
级数
n1
1 np
当 当
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
例4证明级数 1 1
1
1 3 3 5 (2n 1) (2n 1)
收 敛, 并 求 其 和.
解
由于un
(2n
1 1) (2n
1)
1 2
(1 2n
1
1 2n
） 1
sn
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
1 (1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
解 若 p 1,
则
1 np
1, n
而 1 发散，
n1 n
所以 1 发散。 np n1
若 p 1.则 对于m-1 x m，有 1 1 ,
mp xp
1
mp
m m1
dx xp
(m
2,3,)
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1
mp
m m1
dx xp
(m
2,3,)
Sn
1
1 2p
1 3P
1 4p
1 np
1
( 1 ) n 收敛.
n1 3
n0 3
因为
1发散，所以
1发散.
n1 n
n n100
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性质2 级数 un 与Cun 有相同的敛散性, 且收敛时
有
n1
n1
Cun C un .
n1
n1
如:因为
(1 )n 收敛，所以
2( 1 ) n 收敛.
n1 3
n1 3
因为
1发散，所以
n1
1 n 1 n2
发散.
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例3 证明级数
1
发散.
n1 n(n 1)
证 因为 1 1 1
n(n 1) (n 1)2 n 1
而
1 发散.
n1 n 1
由比较判别法知，
n1
1 发散. n(n 1)
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例4
讨论p
级数1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的
收敛性.( p 0)
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等差数列{an} 前ｎ项的求和公式
Sn
a1
a2
an
n(a1 2
an )
等比数列 {an}前ｎ项的求和公式
Sn
a1
a2
an
a1(1 qn ) 1 q
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考察级数 n 的敛散性． n 1
因为
Sn
1
2
n
n(1 2
n)
lim
n
Sn
lim
n
n(1 2
n)
所以 n发散. n1
如 : 因为1
1 2
1 22
1 2n
收敛，
所 以(1
1 2
)
(
1 22
1 23
)
收
敛.
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性质5 ( 级数收敛的必要条件)
若级数 un 收敛, 则 n1
lim
n
un
0.
注意
(1) 若
lim
n
un
0,则
un
n1
发散.
如:因为在 n 2中，lim n 2 1 0,所以 n 2发散.
lim
n
sn
s
则称级数 un收敛,s称为级数的和.并记为 s un ,这时
也称该级数n1收敛于s.若部分和数列的极限不存n在1 ,就称级
数 un 发散．
n1
如1
1 2
1 22
1 2n1
2
,1 2 3 n 发散.
当级数收敛时，其和S与部分和Sn的差S Sn un1 un2 称为级数的余项.
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2
例1 判定级数
3n1
n1
的敛散性.
解
2 3n1
n1
2
2 3
2 32
2 3n1
Sn
2
2 3
2 32
2 3n1
2[1 (1)n 3
1 1
]
3(1
1 3n
)
3
因为 lim n
Sn
lim 3(1
n
1 3n
)
3,
所以
n1
2 3n1
收敛.
即
2 3n1
n1
=3
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例2
n1
n
n1
(2)若
lim
n
un
0,则 un未必收敛.
n1
如lim 1 0,但 1发散.
n n
n1 n
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例1 证明级数 n ln
n
ln 1 2 ln 2 n ln
n
n1 n 1
2
3
n1
发散.
解
n
1
lim
n
un
lim n ln
n
lim ln n 1 n
(1
1)n
1
n
p p
1 时, 1 时,
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如(1) ｎ１２＋３＋ｎ
ｎ＝１
１
(2)ｎ＝１２ｎ－１
１２ １２１２＋２１３
＋２ｎ１－１
(3)
1 1 1 1 1
n1 n
23
n
(4) xn1 1 x x2 x3 xn1
n1
都是无穷级数.
（1)（, 2)（, 3)式称为数项级数， (4）式称为函数项级数.
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lim
n
un
0, 所以该级数发散.
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第二节 正项级数及其敛散性判别法
若级数 un的各项un≥0(n=1,2,…),则称该级数为
正项级数． n1 由于sn=sn1＋un≥sn1,
所以正项级数的部分和数列{sn}是一个单调增加 数列．
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定理1 正项级数 un收敛的充要条件是：
n1
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练习
1.
n1
1 5n
1 —4 —
1
n1 5n
1 5
1 52
1 5 1
1 1 4 5
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(ln3)n
2.
n1
2n
2 2 ln 3
——
n0
(ln 3)n 2n
1
ln 3 (ln 3)2 22
(ln 3)n 2
1 1 ln
3
2 2 ln
3
2
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1 2n1
由于
Sn
1
1 2
1 22
1 2n
1
1 2n
1 1
2(1
1 2n
)
lim
n
Sn
2
2
所以1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
无限接近于2.
对于
n1
n,由于Sn
1
2
n
n(1 2
n)
lim Sn 所以1 2 3 无限增大.
称ｎ＝１２ｎ１－１收敛，称ｎ＝１ｎ发散.
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定义2 若级数的部分和数列{sn}的极限存在,且等于s,即
如
n0
1 3n
收敛于
1 1- 1
3 2
,
3
即
1
3n
n0
3, 2
1
n1
1 3n
收敛于 3 1 1
1, 2
即
1
3n
n1
1, 2
3
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n1
1 3n1
1
1 3
1 3n1
收敛于 1 1- 1
3. 2
3
即
n1
1 3n1
1
1 -1
3. 2
3
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例6 证明调和级数
1 1 1 1 1
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
从 而 lim n
sn
1 2
,
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所以该级数收敛,它的和为1 . 2
例5 讨论几何级数(等比级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的敛散性(其中 a 0 为常数q为公比)．
注:当 a 2, q
1 3
100发散.
10100 (1)n 收敛
n1 n
n1 n
n100
2
有 2(1)n 2 (1)n
n1 3
n1 3
但 23n 23n
n1
n1
2 4 6 8 10 2(1 2 3 4 5 )
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性质3 若级数 un与 vn 都收敛,则 (un vn )
n1
n1
一.数项级数及其敛散性
定义1 由无穷多项构成的一个连加式
u1 u2 u3 un
称为一个无穷级数,简称为级数.记为 n1 un
即
un
u1
u2
u3
un
n1
其中un称为级数的通项或一般项.
若级数的每一项un都为常数,则称该级数为常数项级数(或数 项级数),若级数的项un=un(x),则称 为函数项 级数.
ln(n 1)
因为 lim ln(n n
1)
,
所以
lim
n
S
n
, 故调和级
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本堂课主要内容
1. 无穷级数的定义，无穷级数收敛与发散的概念.
2.几何级数 aqn 当 | q | 1 n0
时，收敛于
1
a
q
当 |q|≥1 时，发散.
3.调和级数
1
n1 n
发散.
4.级数 a 发散( a为常数 ).
3.级数1 2 4 8 16 的和是 3 9 27 81
3
——
1 2 4 8 16 ( 2)n1
3 9 27 81
3
1 1 2
3
3
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二、 无穷级数的基本性质
性质1 在级数的前面增加或去掉有限项其敛散性不 变,但一般会改变收敛级数的和．
如:因为
(1)n收敛，所以
(1)若级数 vn收敛,则级数 un也收敛；
n1
n1
(2)若级数 un发散,则级数 vn也发散.
n1
n1
若级数 vn发散，则 un发散.
n1
n1
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例2
考察
n1
11nn2的敛散性.
解 因为
1 n 1 n 1 1 n2 (1 n)2 1 n