《指数与指数幂的运算》教学设计(精品)

指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
（四）教学过程
备选例题
例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；
（2
） （1n >，且n N *∈） （3）（1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.
（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）=||x y -， 当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -.
【小结】（1）当n 为奇数时，a a n n =；
当n 为偶数时，⎩
⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n
（2）不注意n 的奇偶性对式子n n a 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在
理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.
例2 求值：
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
【解析】
=
=||2|2
=+--
=--
2(2
=
【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解分数指数幂的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂概念的理解
（三）教学方法
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
（四）教学过程
例1计算
（1）.)01.0(41225325.02
1
20
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--
（1）5.121
3
2
4
1)9
1
()6449()27()0001.0(---
+-+； 【解析】
（1）原式1122
141149100⎛⎫⎛⎫
=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11111.61015
=+-=
（2）原式=23
22123234
14
])2
1[(])87[()
3()
1.0(---
+-+ =3121)3
1()8
7(31.0---+-+ =7
314
277
8
910=
+-+. 【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
例2 化简下列各式： （1）3
133153
83327----÷
÷
a a a a a a ；
（2）
33
3
233
23134)21(248a a
b a ab
b b
a a ⨯-÷++-.
【解析】 （1）原式=32
1
233
15
383
2
3
27--
-
-÷÷a a
a a
a a
=323
73
2
-÷÷a a a =3
1
2213732)()(-÷÷a a a
=
3
26
7323
26
732---
÷=
÷÷a
a a
a a
=
6
3
2a a =
；
（2）原式=
3
13
131
313
23
1313
231224)
8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷
++-
3
13
1313
13
23
1313
23
23
1313
2313
13
12424)
42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅
++++-=
a a a a =⋅⋅=
3
13131.
【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如
8)
2(]
)2[()
2(2162
1
66
==
-=-.
（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.
2.1.1 指数与指数幂的运算（三）
（一）教学目标 1．知识与技能：
能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力；
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.
（三）教学方法
1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.
2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.
（四）教学过程
备选例题 例1 已知32
12
1=+-a
a ，求下列各式的值.
;+-1)1(a a
;)2(22-+a a
332
2112
2
(3)
.a a a a
--
--
【分析】从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32
12
1=+-a
a 的联系，进而整体代入求值.
【解析】（1）将3212
1
=+-a a 两边平方，
得.921=++-a a 即.71=+-a a
（2）将上式平方，有.49222=++-a a
.4722=+∴-a a
（3）由于3
213
212
32
3)()(-
-
-=-a a a
a
∴
332
2112
2
a a a a
--
--
11111
2
2
2
2
112
2
()()
a a a a a a a a
-
-
---++⋅=
-
118.a a -=++=
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
例2 化简.1
1
11
13
13
13
13
13
2---
+++
++-x x
x x x x x x
【分析】根据本题的特点，须注意到
)1()1(1)(13
13
23
13
3
31++⋅-=-=-x x x x x ，
=+1x 11213
3
3333
()1(1)(1),x x x x +=+-+
1111112333333
[()1](1)(1)x x x x x x x -=-=-+，
应对原式进行因式分解. 【解析】原式
1
1
1)(1
)(1
)(3
13
132313
13
3
313
12
313
3
31---
+++
++-=
x x x x x x x x x
1213
3
3
2133
(1)(1)()1
x x x x x -++=
++
1213
3
3
13
(1)(1)
1x x x x +-+++
1
)
1)(1(3
1313
13
1-+--x x x x
1212133333
11x x x x x =-+-+-- 13
.x =-
【小结】解这类题，要注意运用下列公式：
1111
2222,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2
11112222
2,a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭
112112333333
.a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫
±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。