山东交通学院数值分析期末复习题

数值分析A 卷复习题
一、填空题（每题3分，共30分）
1．已知 3.201,0.57a b ==是经过四舍五入后得到的近似值，则a b +有( 2 )位有效数字。

2.设()
i l x 是以
,(0,1,
,9)
k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则
9
()==
∑i
k kl k （ i ）。

3．n 个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为（ 1n - ）。

4.设有矩阵2304A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则1A =（ 7 ）。

5．三次样条函数是在各个子区间上的（ 3 ）次多项式。

6．用牛顿下山法求解方程3
03x x -=的下山条件是（ 1()()k k f x f x +≤ ）。

7．已知3n =时的Newton-Cotes 系数
(3)
01
8C =
，则(3)
3C =（ 1/8 ）。

8.若线性代数方程组Ax b =的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 ( 收敛 )。

9.用Gauss-Seidel 迭代法解方程组12124
23
x ax ax x +=⎧⎨+=-⎩，其中a 为实数，方法收敛的充要条件是a 满足
a <<。

二、单选题（每题3分，共30分）
1.用1+x 近似表示x
e 所产生的误差是( C )误差。

A.模型
B.观测
C.截断
D.舍入 2.已知数
2
1234721,0.721,0.700,710x x x x -====⨯是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( A )。

A.3，3，3，1
B.3，3，3，3
C.3，3，1，1
D.3，3，3，2 3.设
(1)1,(0)3,(2)4-===f f f ,则抛物线插值多项式中2x 的系数为( A )。

A.-0.5
B.0.5
C.2
D.-2
4. 为求方程
3210x x --=在区间[]1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( A )。

A.
2111
,:k x x x +==
-迭代公式1221111,:k k
x x x x +=+
=+迭代公式
C.
3
2
213111/,:()k k
x x x x +=+=+迭代公式 D.
2
3212111,:k k k
k x
x x x x x +-==+
++迭代公式
5.线性方程组AX
B =能用高斯消元法求解的充分必要条件为( D )。

A.A 为对称矩阵
B.A
为实矩阵 C.
0A ≠ D.A 的各阶顺序主子式不为零
6.用选主元法解线性方程组AX B =，是为了( B)。

A.提高计算速度
B.减少舍入误差
C.减少相对误差
D.计算方便
三、解答题（10分）
试用杜利特尔分解的追赶法解下列三对角方程组：
123310124170259x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由杜利特尔分解， 令
112
2
23
31101u c A LU l u c l u ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
== ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭
解得 2312312231022
3113535
,,,,,,l
l u u u c c ======= 求解1
2311217393
015y Ly y y ⎛
⎫
⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭得 1273245y ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
再求解
1122333110
1322005x y Ux x y x y ⎛
⎫ ⎪
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝
⎭
得 121x -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
四、解答题（15分）
已知方程组 121223
45
,x x x x +=⎧⎨+=⎩ 试
(1)构造J 迭代法迭代格式和G-S 迭代法迭代格式； (2)证明J 迭代和G-S 迭代均收敛。

方程组的J 迭代格式为
()()(
)()()
()
11132154
++⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩k k k k x x x x ，其中
102104⎛⎫
- ⎪=
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
J B G-S 迭代格式为 ()()
()()()()111132154+++⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩k k k k x x x x
把上述方程的第一个式子带入第二个，可得
()
()
()()1
2
2211312251314422++⎧
=
-⎪
⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩
k k k k x x x x 其中
102108⎛
⎫- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭GS
B 分别求J 迭代和G-S 迭代的谱半径得
(
)()11,1
8
ρρ=
<J GS B B 因此，J 迭代和G-S 迭代的均收敛。

五、解答题（15分）
设有求积公式 ：
()()()()1
0121
101f x dx A f A f A f -≈-++⎰
试确定系数012,,A A A ，使上述求积公式的代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

令求积公式依次对2
1,,x x 都精确成立，即系数012,,A A A 应满足方程组 1
012110211202112023A A A dx A A xdx A A x dx ---⎧
++==⎪⎪⎪
-+==⎨⎪
⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰ 解得 0
12141
333
,,A
A A === =因此，该求积公式为
()()()()1
1
141
101333
f x dx f f f -≈
-++⎰
易验证，该求积公式对于()3f x x =也精确成立，但对()4f x x =不精确成立。

所以，该求积公式具有三次代数精度。

数值分析B 复习题
一、填空题（每题3分，共30分）
1．已知 3.201,0.57a b ==是经过四舍五入后得到的近似值，则a b ⨯有( 2 )位有效数字。

2.设(1)1,(0)3,(2)4-===f f f ,则抛物线插值多项式中2
x 的系数为( -0.5 )。

3.设有矩阵1451A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，则1A =（ 6 ）。

4.求221
⎰x dx ，利用梯形公式的计算结果为( 2.5 )。

5.设矩阵
321204135A ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
分解为A LU =，则U
=( 32
141003321002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦ )。

6.用牛顿下山法求解方程3
03
x x -=的下山条件是（ 1()()k k f x f x +≤ ）。

7.数值积分公式
1
1218019
()[()()()]
-'≈-++⎰
f x dx f f f 的代数精度为( 2 )。

8.
( 3
12
133k k k k
x x x x +-=- )。

9.若线性代数方程组Ax b =的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 ( 收敛 )。

二、单选题（每题3分，共30分）
1.用13
+x
( D )误差。

A.舍入
B.观测
C.模型
D.截断
2.-324.7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A.5 B.6 C.7 D.8
A.4
B.2
C.1
D.3
4.拉格朗日插值多项式的余项是( D )。

A. 0112[,,,,]()()()n n f x x x x x x x x x x ---
B.(1)
()()()()(1)!
+=-=+n n n f
R x f x P x n ξ C.0101[,,,,]()()()
n n f x x x x x x x x x x --- D.(1)
1()()()()()
(1)!++=-=+n n n n f R x f x P x x n ξω
5.在牛顿-柯特斯求积公式：
()()()()=≈-∑⎰
n b
n i i a
i f x dx b a C f x 中，当系数()
n i
C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）
时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

A. 8≥n
B. 7≥n
C. 10≥n
D. 6≥n 6.
计算积分1
⎰,取4位有效数字,用梯形公式计算求得的近似值为( A )。

A.0.4268
B.0.4309
C.0.4123
D.0.4006
三、解答题（10分）
试用平方根法解下列对称正定方程组： 123164844543842210x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解：由乔累斯基分解， 令 1111213121
22
22
32
31
32
3333T l l l l A LL l l l l
l l l l ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪== ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭
解得 112233213132423123,,,,,l l l l l l ======-
四、解答题（15分）
已知方程组1212
3107
945,x x x x -=-⎧⎨-=⎩ 试
(1)构造J 迭代法迭代格式和G-S 迭代法迭代格式；
(2)讨论J 迭代和G-S 迭代的收敛性。

(
)()15
1,12
ρρ=>J GS B B 因此，J 迭代和G-S 迭代的均不收敛。

求解1234412323310y Ly y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 126y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
再求解 112233412023003T x y L x x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 9442x ⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
方程组的J 迭代格式为 ()
()()
()()()
1
22
1111
71031
594++⎧
=
-+⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩k k k k x x x x ，其中
1003904⎛
⎫ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
J B G-S 迭代格式为
()()()()()(
)
1111
71031
594
+++⎧=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩k k k k x x x x 把上述方程的第一个式子带入第二个，可得 ()
()
()()1
2
221171033597104433++⎧
=
+⎪
⎪
⎨⎛⎫⎪=-+-+ ⎪
⎪⎝⎭⎩
k k k k x x x x 其中
10031502⎛
⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
GS
B \分别求J 迭代和G-S 迭代的谱半径得
五、解答题（15分）
设有求积公式
()()()()20
1
2
012f x dx A f A f A f ≈++⎰
试确定系数012,,A A A ，使上述求积公式的代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

令求积公式依次对2
1,,x x 都精确成立，即系数012,,A A A 应满足方程组
20
12021202
2120
12
2248
A A A dx A A xdx A A x dx ⎧++==⎪⎪
+==⎨⎪⎪+==⎩
⎰⎰⎰ 解得 0
12141
333
,,A
A A === 因此，该求积公式为
()()()()11
141
012333
f x dx f f f -≈
++⎰
易验证，该求积公式对于()3f x x =也精确成立，但对()4f x x =不精确成立。

所以，该求积公式具有三次代数精度。