高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.2 向量的线性运算 Word版含答案

第1课时向量的加法在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示．它的实际位移AB，可以看作水平运动的分位移AC与竖直运动的分位移AD的合位移．问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB，AD，AC之间有什么关系？提示：AB＝AC＋AD .问题2：AD与CB之间有什么关系？提示：AD＝CB.问题3：向量AB，AC，CB之间有什么关系？提示：AB＝AC＋CB .1．向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的运算法则(1)三角形法则：已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA＋AB＝OB .(2)平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量a，b，作OA＝a，OC＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线上的向量OB＝a＋b，如图．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．问题1：如图，AC＝AB＋BC＝a＋b；同理AC＝AD＋DC＝b＋a.由此你能得出什么结论？提示：a＋b＝b＋a.问题2：如图，AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋c；AD＝AB＋BD＝a＋(b＋c)；AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c.由此你又能得出什么结论？提示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.向量加法的交换律和结合律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)a＋0＝0＋a＝a；(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．向量加法的三角形法则是从位移求和引出的，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角形法则同样适用．2．向量加法的平行四边形法则是从力的合成引出的，使用该法则关键是将向量a，b的起点移到同一点A，并以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC即为a＋b.[例1] 化简下列各式：(1) PB＋OP＋BO；(2)(AB＋MB)＋BO＋OM；(3)AB＋BC＋CD＋DE.[思路点拨] 多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则求解，也可直接运算．[精解详析] (1)PB＋OP＋BO＝(OP＋PB)＋BO＝OB＋BO＝0；(2)(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB；(3)AB＋BC＋CD＋DE＝AC＋CD＋DE＝AD＋DE＝AE.[一点通] 在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加”，即AB＋BC＋CD＝AD的形式，计算简捷且不易出错．1．在平行四边形ABCD中，BC＋CD＋DA＝________.解析：BC＋CD＋DA＝(BC＋CD)＋DA＝BD＋DA＝BA.答案：BA2．下列各式中结果为0的是________．①AB＋BC＋CA；②AB＋MA＋BO＋OM；③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC.解析：①原式＝AC＋CA＝0；②原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MA)＝AO＋OA＝0；③原式＝(BO＋OA)＋(CO＋OC)＝BA＋0＝BA.④原式＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.故①②④符合．答案：①②④3．化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.[例2] 已知四边形AECF是平行四边形，B，D是对角线EF上的两点，且FD＝EB(如图所示)．求证：四边形ABCD是平行四边形．[思路点拨] 要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明AB＝DC或AD＝BC.[精解详析] ∵四边形AECF是平行四边形，∴FC∥AE，FC＝AE，又∵FC，AE方向相同，∴FC＝AE，∵DF＝EB，且在一条直线上，DF与EB方向相同，∴DF＝EB，∵AB＝AE＋EB，DC＝DF＋FC，∴AB＝DC，∴AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．[一点通] 解决此类问题应注意以下两点：(1)要注意向量加法的三角形法则及平行四边形法则的应用条件；(2)要注意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量．4.如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝________.解析：由于BA＝DE，故BA＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.答案：CF5．在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF＝b，求AC，AD，AE.解：如图所示，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO＝AB＋AF＝a＋b，故有AD＝2AO＝2a＋2b.在平行四边形ABCO 中，AC ＝AB ＋AO ＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b .而BC ＝AO ＝FE ＝a ＋b ，由三角形法则得AE ＝AF ＋FE ＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b .[例3] 小雨滴在无风时以4 m/s 的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s 的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何 ？(提示：tan 37°＝34)[思路点拨] 根据题意作出示意图，然后利用向量解决． [精解详析]法一：如图，设OA 表示小雨滴无风时下落的速度，OB 表示风的速度，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC 就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt △OAC 中，|OA |＝4 m/s ，|AC |＝3 m/s ， 所以|OC |＝|OA |2＋|AC |2＝5 m/s.且tan ∠AOC ＝|AC ||OA |＝34，即∠AOC ≈37°.所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s ，方向约为东偏南53°.法二：如图，设OA 表示小雨滴无风时下落的速度，AB 表示风的速度，以OA ，AB 为两边作三角形OAB ，则OB 就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt △OAB 中，|OA |＝4 m/s ，|AB |＝3 m/s ， 所以|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝5 m/s.所以tan ∠AOB ＝|AB ||OA |＝34，即∠AOB ≈37°.所以小雨滴实际飞行的速度为5 m/s ，方向约为东偏南53°.[一点通] 利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解决时要注意作图的准确性．6．一条宽为 3 km 的河，水流速度为2 km/h ，船在静水中的航速为4 km/h ，该船要从河的一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样安排行驶方向？用时多少？解：如图，设AC为水流速度，AD为最大航速，以AC和AD为邻边作平行四边形ACBD.根据题意AC⊥AB，在Rt△ABD和平行四边形ACBD中，| DB|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠ABD＝90°，所以|AB|＝|AD|2－|DB|2＝23，sin ∠BAD＝|DB||AD|＝12，所以∠BAD＝30°.设所用时间为t(h)，则t＝323＝12(h)．答：船沿着与水流方向成120°的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时．7．在日本“3·11”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解：如图所示，设AB、BC分别是直升飞机两次位移，则AC表示两次位移的合位移．即AC＝AB＋BC，在Rt △ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝20 3 km ，在Rt△ACD中，|AC|＝|AD|2＋|DC|2＝40 3 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 3 km处．向量加法法则的应用对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．课下能力提升(十四)一、填空题1．化简：OA＋AB＋CD＋BC＝________.解析：OA＋AB＋CD＋BC＝OB＋CD＋BC＝OB＋BC＋CD＝OC＋CD＝OD.答案：OD2．若|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．解析：当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.答案：[3,13]3．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④|a＋b|<|a|＋|b| ⑤|a＋b|＝|a|＋|b|解析：∵a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝(AB＋BC)＋(CD＋DA)＝AC＋CA＝0，∴①③⑤正确．答案：①③⑤4．在边长为1的正三角形ABC中，若向量BA＝a，BC＝b，则|a＋b|＝________.解析：如图，设AC的中点为D，由平行四边形法则知|a＋b|＝|BE|＝2|BD|＝ 3.答案： 35．下列命题中正确命题的个数为________．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0③若AB＋BC＋CA＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等解析：①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有AB＋BC＋CA＝0；④假命题，只有当a与b同向时才相等．答案：1二、解答题6．已知A、B、C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，若GA＋GB＋GC＝0，求证：G 是△ABC的重心．证明：如图所示，∵GA＋GB＋GC＝0，∴GA＝－(GB＋GC)，以GB、GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GD＝GB＋GC，∴GD＝－GA.又因为在▱BGCD中，BC交GD于点E，∴BE＝EC，GE＝ED.∴AE是△ABC的边BC的中线，且|GA|＝2|GE|.∴G是△ABC的重心．7．已知|OA|＝|OB|＝2，且∠AOB＝120°，求|OA＋OB|的值．解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝OA＋OB.因为|OA|＝|OB|＝2，且∠AOB＝120°，所以△OAC是正三角形．所以|OA＋OB|＝|OC|＝|OA|＝ 2.8．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．解：如图，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向的速度，OC表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，|OB|＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，所以|OA|＝|AC|tan 30°＝|OB|×3＝53≈8.7(km)，|OC |＝|OA |cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h ，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.第2课时 向量的减法问题1：我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法则？提示：有，向量a 减去b 相当于加上b 的相反向量－b . 问题2：已知向量a 和b ，如何作出a －b?提示：作OA ＝a ，OB ＝b ，AC ＝－b .则OC ＝a ＋(－b )＝a －b ，因四边形ABCD 为▱ABCD，∴BA ＝OC ＝a －b .问题3：向量的减法是否也满足三角形法则和平行四边形法则？ 提示：满足，作OA ＝a ，OB ＝b ，则BA ＝a －b .1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA ＝a ，OB ＝b ，则BA ＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，－AB＝BA，就可以把减法转化为加法，在运用三角形法则做向量减法时，只要记住“重合两向量的起点，连结两向量终点，箭头指向被减向量”即可．[例1] 化简：(AB－CD)－(AC－BD)．[思路点拨] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．[精解详析] 法一：(AB－CD)－(AC－(BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.法二：(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB－AC)＋(BD－CD)＝CB＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.法三：在平面上取一点O，则AB＝OB－OA，(AB－CD)－(AC－BD)＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.[一点通] 法一是把向量的减法转化为加法进行化简；法二是利用向量减法法则进行化简；法三可设一个辅助点O，利用AB＝OB－OA的关系进行化简．事实上，平面内任一向量都可以写成两个向量的和；同样，任一向量都可以写成两个向量的差．要学会通过这种转化来简化运算．1．下列四个式子中，可以化简为AB的有________．①AC＋CB；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA.解析：AC＋CB＝AB；OB－OA＝AB.答案：①④2．下列四个式子，不能化简为AD的序号是________．①(AB＋CD)－CB；②(AD－BM)＋(BC－MC)；③OC－OA＋CD；④MB＋AD－BM解析：①原式＝AB＋(CD－CB)＝AB＋BD＝AD；②原式＝AD＋BC－(BM＋MC)＝AD＋BC－BC＝AD；③原式＝AC＋CD＝AD；④原式＝MB＋AD＋MB≠AD，∴只有④不能化为AD.答案：④3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式不．正确的是________．①AD＋BE＋CF＝0 ②BD－CE＋DF＝0③AD＋CE－CF＝0 ④BD－BE－FC＝0解析：①AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋CF＝－BD＋BE＋CF＝DE＋CF＝DE ＋ED＝0；②BD－CE＋DF＝(BD＋DF)－CE＝BF－CE≠0；③AD＋CE－CF＝AD＋(CE－CF)＝AD＋FE≠0；④BD－BE－FC＝(BD－BE)－FC＝ED－FC＝ED＋CF≠0.答案：②③④[例2] 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量a－b＋c，并求出它的模．[思路点拨] 可先作a－b，再与c求和．[精解详析] 延长AB至F，使|AB|＝|BF|，连结CF，由于BF＝AB＝a，∴CF＝a－b.a－b＋c＝CF＋AC＝AC＋CF＝AF.则AF即为所求，如图所示．且|AF|＝2|AB|＝2.[一点通] (1)作两个向量的差向量，起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点，即“统一起点，连结终点，指向被减”．(2)对比两个向量的求和运算，掌握向量减法的运算法则．向量减法是加法的逆运算．作图一般要通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．4．保持例题条件不变，求作向量a＋b＋c，并求它的模．解：如图，由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，所以延长AC至E，使|CE|＝|AC|，则a＋b＋c＝AC＋CE＝AE，且|a＋b＋c|＝|AE|＝2|AC|＝2 2.5．将本例中条件变为“BA＝a，BC＝b，CA＝c”，试作向量a＋b－c，并求其模．解：如图：a＋b＝BA＋BC＝BD，∴a＋b－c＝BD－CA .作BE＝CA，所以a＋b－c＝ED，且|ED|＝|a＋b－c|＝2.[例3] 如图，平行四边形ABCD中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OD.[思路点拨] 寻找图中已知向量与所要表示的向量之间的关系，然后利用向量的加法或减法来解决．[精解详析] 如图所示，因为OA＝a，OB＝b，OC＝c，又BC＝OC－OB＝c－b，AD＝OD－OA＝OD－a，又BC＝AD，所以c－b＝OD－a，则OD＝a－b＋c.[一点通] (1)在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．(2)事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线的向量的和，即AM＝AB＋BM 以及AB＝NB－NA (M，N是同一平面内任意一点)．6.如图，四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝________(用a，b，c表示)．解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c7．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.证明：法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∴b＋c＝DA＋OC＝CB＋OC＝OB，∴b＋c－a＝OB－AB＝OB＋BA＝OA.法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OC＋CD＝OD，∵DA＝b，∴b＋c－a＝b＋OD＝DA＋OD＝OA.1．利用向量减法几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图甲所示，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b＝OA－OB，即向量BA等于终点向量(OA)减去始点向量(OB)，利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b，作OA＝a，OB＝b，AC＝－b，则OC＝a＋(－b)，如图乙所示．2．运用向量减法法则运算的常用方法(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算；(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点；(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一．3．用几个基本向量表示某个(些)向量的技巧(1)首先，观察待表示向量的位置；(2)其次，寻找(或作)相应的平行四边形和三角形；(3)再次，运用法则找关系；(4)最后，化简结果．课下能力提升(十五)一、填空题1.如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝________.解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS－RT＋ST；②BD＋DC＋AB－AC；③AB－AC－CB；④AB＋BC－AC解析：①RS－RT＋ST＝0②BD＋DC＋AB－AC＝BC＋CB＝0③AB－(AC＋CB)＝0④AB＋BC－AC＝0.答案：43．下列命题中，正确的个数是________．①在平行四边形中，BA＋AD－BD＝AB＋CD；②a＋b＝a⇔b＝0；③a－b＝b－a；④AB－CB＋CD－AD的模为0.解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔(a－a)＋b＝0⇔b＝0知，②正确．由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．答案：34．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为__________．①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)．②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c.③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.解析：根据题意画出如下图形，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确．答案：①②③5．已知菱形ABCD边长是2，则向量AB－CB＋CD的模为________．解析：∵AB－CB＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，∴|AB－CB＋CD|＝|AD|＝2.答案：2二、解答题6．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴OD＝OA＋OB＝a＋b，∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.7．化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．解：(1)(BA－BC)－(ED－EC)＝CA－CD＝DA.(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)＝AC＋BA－DC＋DB＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB＝BC＋CB＝0.8.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.第3课时向量的数乘问题1：我们知道x＋x＝2x，那么a＋a是否等于2a?提示：是．问题2：2a方向与a方向是否相同？并给以说明．提示：方向相同，如图．AC＝AB＋BC＝a＋a＝2a.问题3：－a＋(－a)等于－2a吗？其方向与a的方向有何关系？提示：等于，方向相反．1．向量的数乘实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.2．向量数乘的运算律设a、b为任意向量，λ、μ为实数，则：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.问题1：我们知道，向量a、2a和－3a是共线向量，向量a和λa(λ∈R)是共线向量吗？提示：共线．问题2：若b＝2a(a≠0)，b与a共线吗？提示：共线．问题3：若向量a和向量b共线，且|b|＝2|a|，试想两向量有何等式关系？提示：若a、b同向，则b＝2a，若a、b反向，则b＝－2a.向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b和a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .1．关于实数与向量的积λa 的理解λa 是一个向量，不是一个实数，我们可以把向量a 的长度扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)，同时，我们可以不改变a 的方向(当λ>0时)，也可以改变a 的方向(当λ<0时)．2．向量共线定理定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，则a 与b 共线；反之，若a 与b 共线(a ≠0)，则必存在一个实数λ，使b ＝λa .[例1] 计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37b ＋76a ；(3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．[思路点拨] 利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并． [精解详析] (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －23a －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋37b ＋12a ＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －712a ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b .[一点通] 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．1．计算： (1)14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b ＋3a －136a －12b ；(2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )． 解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μ a ＋2λ b .2．若a ＝12x －y ，b ＝x －12y ，其中a ，b 是已知向量，求向量x 与y .解：将第一个方程的－2倍与第二个方程相加， 得32y ＝－2a ＋b ， ∴y ＝－43a ＋23b .代入原来的第二个方程，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋23b ＝b移项并化简，得x ＝－23a ＋43b .综上，x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b .[例2] (1)设两非零向量a 和b 不共线，如果AB ＝a ＋b ，CD ＝3(a －b )，BC ＝2a ＋8b .求证：A 、B 、D 三点共线；(2)已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，求实数k 的值． [思路点拨] (1)证明A 、B 、D 三点共线，即证明存在实数λ，使AB ＝λBD ； (2)利用向量共线的条件列方程组求解．[精解详析] (1)∵BD ＝BC ＋CD ＝(2a ＋8b )＋3(a －b )＝5a ＋5b ，AB ＝a ＋b ， ∴AB ＝15BD ，∴AB ∥BD ，又AB 、BD 有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 又∵e 1和e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，即k ＝±1.[一点通] 利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a ＝λb ”， 通过向量关系得到“三点共线”的结论．3．已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________． ①a ＝2e 1，b ＝2e 2②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2解析：对于②，b ＝－2a ；对于③，a ＝4b ，此时a 与b 共线． 答案：②③4．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：∵AB ＝5e ，CD ＝－7e ，∴CD ＝－75AB .∴AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |. 又∵|AD |＝|BC |， ∴四边形ABCD 是等腰梯形． 答案：等腰梯形5.如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．证明：∵D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点， ∴AB ＝AM ＋AC ， ∴AM ＝AB －AC ＝CB . 同理可证明AN ＝AC －AB ＝BC .∴AM ＝－AN .∴AM ，AN 共线且有公共点A ， ∴M ，A ，N 三点共线.[例3] 如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．[思路点拨] 由已知得A 为BC 中点，D 为OB 的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．[精解详析] (1)依题意，A 是BC 中点， ∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.[一点通] 利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．6．如图，已知▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝4OE .证明：在△OAE 中，OA ＋AE ＝OE ，同理，OB ＋BE ＝OE ，OC ＋CE ＝OE ，OD ＋DE ＝OE ， 以上各式相加，得OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝4OE .7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：法一：连接CN . ∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形． ∴CN ＝－AD ＝－b . ∵CN ＋NB ＋BC ＝0， ∴BC ＝－NB －CN ＝b －12a ，MN ＝CN －CM ＝CN ＋12AN ＝14a －b .法二：在梯形ABCD 中， 有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，即a ＋BC ＋(－12a )＋(－b )＝0.可得BC ＝b －12a .在四边形ADMN 中，有AD ＋DM ＋MN ＋NA ＝0， 即b ＋14a ＋MN ＋(－12a )＝0，可得MN ＝14a －b .1．向量数乘的基本运算应注意的问题(1)实数与向量的积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算； (2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算；(3)含向量的方程，一定要弄清未知量是实数还是向量． 2．向量共线定理的应用向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的基础之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．课下能力提升(十六)一、填空题1．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 解析：∵|a |＝3，|b |＝2，∴|a |＝32|b |.又∵b 与a 反向，∴a ＝－32b .答案：－322．化简：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b ＝________.解析：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b－4a －2b＝13(a ＋4b －4a ＋2b ) ＝13(－3a ＋6b )＝－a ＋2b . 答案：－a ＋2b3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.答案：324．如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)解析：MN ＝CN －CM ＝14CA －12CB ＝12BC －14AC ＝12AD －14(AB ＋AD )＝14AD－14AB ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b二、解答题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋k e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：DB ＝CB －CD ＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB ＝2e 1＋k e 2，因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ∥DB .设DB ＝λAB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝2λ4＝λk⇒k ＝－8.7．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，用BC 表示AD ＋BE ＋CF .解：因为AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC＝13(AB ＋BC )＋23AB ＝13AC ＋23AB ， BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋13AC ，CF ＝CA ＋AF ＝－AC ＋23AB .从而AD ＋BE ＋CF ＝13AC ＋23AB －AB ＋13AC －AC ＋23AB ＝13AB －13AC ＝13CB ＝－13BC .8.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上一点，且DE AE ＝CF BF＝12，若AB ＝a ，DC ＝b ，试用a 、b 表示EF . 解：法一：分别取AE 、BF 的中点G 、H ， 则有ED ＋EG ＝CF ＋HF ＝0，又EF ＝ED ＋DC ＋CF ，且EF ＝EG ＋GH ＋HF ，两式相加，得EF ＝12(b ＋GH )，即GH ＝2EF －b ， 同理GH ＝12(EF ＋a )．所以2EF －b ＝12(EF ＋a )，解得EF ＝13a ＋23b .法二：EF ＝EA ＋AB ＋BF ，①EF ＝ED ＋DC ＋CF .②由DE AE ＝CF BF ＝12，知EA ＝－2ED ；BF ＝－2CF . ②×2，得2EF ＝2ED ＋2DC ＋2CF ，③①＋③，得3EF ＝AB ＋2DC ＝a ＋2b ， ∴EF ＝13a ＋23b .。