湖北省黄冈中学数学三角形解答题章末练习卷(Word版 含解析)

湖北省黄冈中学数学三角形解答题章末练习卷（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过
分析发现1902
BOC A ︒
∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，
∴112ABC ∠=∠，122
ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛
⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭
（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？
【答案】（1）12BOC A ∠=
∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12
∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得
∠OCD =12∠ACD =12
∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；
【详解】
（1）12
BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线， ∴12OBD ABC ∠=∠，12
OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角， ∴1122
OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=
∠+∠-∠=∠ 即12
BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，
∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12
∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，
∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，
∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12
（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） ∴1902
BOC A ︒∠=-
∠ 【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．
如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC ＝60°，求证：△AOC 为“灵动三角形”；
（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠B AO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
∴∠ACO＝3∠OAC，
∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x），∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60+x＝3（90-x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90-x＝90°，
∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90-x＝3（60+x），
∴x= -22.5（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.
(1)用“8字型”
如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；
(2)造“8字型”
如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;
(3)发现“8字型”
如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分
线，EF为∠BED的平分线.
①图中共有________个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.
【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.
【解析】
分析：（1）根据题意即可得到结论；
（3）①由图形即可得到结论；
②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；
详解：
（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；
（2）如图，连结BC，
∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°，
故答案为：540°；
（3）①图中共有6个“8字型”；
故答案为：6．
②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED
∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，
∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC
∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH
∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE
∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG
∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG
∴∠D+∠B=2∠F；
∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，
∴x=5．
点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β
（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】
【分析】
（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；
（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=1
2
(α+β)，在
△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；
（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得
∠CBE+∠CDH=1
2
(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入
∠CBE+∠CDH=1
2
(α+β)计算即可得出一组内错角相等．
【详解】
（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=120°，
∴∠MBC+∠NDC=120°；
（2）β﹣α=60°
理由：如图1，连接BD，
由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=1
2
∠MBC，∠CDG=
1
2
∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=1
2
∠MBC+
1
2
∠NDC=
1
2
(∠MBC+∠NDC)=
1
2
(α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，
∴1
2
(α+β)+180°﹣β+30°=180°，
∴β﹣α=60°，
(3)平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=1
2
∠MBC，∠CDH=
1
2
∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=1
2
∠MBC+
1
2
∠NDC=
1
2
(∠MBC+∠NDC)=
1
2
(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=1
2
(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB=1
2
(β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．
5．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；
(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI∥CF，②35°.
【解析】
分析：（1）只要证明∠AIB=90°+1
2
∠ACB，∠ADI=90°+
1
2
∠ACB即可；
（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=1
2
∠ACE-
1
2
∠ABC=
1
2
（∠ACE-∠ABC）即
可解决问题；
详解：(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI＝1
2
∠BAC，∠ABI＝
1
2
∠ABC，
∴∠BAI＋∠ABI＝1
2
(∠BAC＋∠ABC)＝
1
2
(180°－∠ACB)＝90°－
1
2
∠ACB.
在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－1
2
∠ACB)＝90°＋
1
2
∠ACB.
∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝1
2
∠ACB.∵DI⊥IC，
∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋1
2
∠ACB.
∴∠AIB＝∠ADI. (2)解：①结论：DI∥CF.
理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－1
2
∠ACB，CF平分∠ACE，
∴∠ACF=1
2
∠ACE＝
1
2
(180°－∠ACB)＝90°－
1
2
∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.
②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.
∵∠FCE＝1
2
∠ACE，∠FBC＝
1
2
∠ABC，
∴∠F＝1
2
∠ACE－
1
2
∠ABC＝
1
2
(∠ACE－∠ABC)＝35°.
点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.
6．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；
（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；
（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.
【详解】
（1）如图1,延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：
如图2，
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3
∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C
∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:
如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2
∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝
13∠AOC，∠PCE＝1
3
∠ACE，求∠P 的大小； (3)如图③，在(2)中，若射线OP 、CP 满足∠POC＝1n ∠AOC，∠PCE＝1
n
∠ACE，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论(用含n 的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45n
【解析】
试题分析：（1）根据AB 坐标可以求得∠OAB 大小，根据角平分线性质可求得∠OAC 大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=
13∠AOC、∠PCE=1
3
∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=
1n ∠AOC、∠PCE=1
n
∠ACE 可以求得∠PCE 和∠POC 的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A (0，1)，B (4，1)，∴AB ∥CO ，∴∠OAB ＝180°－∠AOC ＝90°. ∵AC 平分∠OAB ，∴∠OAC ＝45°，∴∠OCA ＝90°－45°＝45°，∴∠OAC ＝∠OCA .
(2)解：∵∠POC ＝∠AOC ，∴∠POC ＝×90°＝30°.∵∠PCE ＝∠ACE ，∴∠PCE ＝ (180°－45°)＝45°.∵∠P ＋∠POC ＝∠PCE ，∴∠P ＝∠PCE －∠POC ＝15°. (3)解：∠OPC ＝
.
证明如下：∵∠POC ＝∠AOC ，∴∠POC ＝×90°＝.∵∠PCE ＝∠ACE ，∴∠PCE ＝
(180°－45°)＝
.
∵∠OPC ＋∠POC ＝∠PCE ， ∴∠OPC ＝∠PCE －∠POC ＝
.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE 和∠POC 的大小是解题的关键．
8．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝
2
DAC
DBC
S
S .
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2
DBC
DAC
S
S +是否仍然成立?请
说明理由；
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论． 【答案】(1) S △DMC =2
DAC
DBC
S
S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -，理由见
解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=
1
2
（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的． （2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =
2
DAC
DBC
S
S +仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线
AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝
12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12
DC·(AE+BF)= 12
DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2
DAC
DBC
S S +；
(2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而
S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.
9．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，
CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：
如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1
2
ABP
S
AB PE =
⋅，1
2
ACP
S
AC PF =
⋅，1
2
ABC
S AB CH =
⋅ 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
+=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH +=．
如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】PE PF CH -= 【解析】 【分析】
参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP
ACP
ABC
S S
S
+=，同样，P 为BC
延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP
ACP
ABC
S S
S
=-，即可得出结论．
【详解】
∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴1
2
ABP
S
AB PE =
⋅，1
2
ACP
S AC PF =
⋅，1
2
ABC
S
AB CH =
⋅ 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
=-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH -=． 故答案为：PE PF CH -=． 【点睛】
本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．
10．图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与
CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得
∠P的度数；
（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，
∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.。