新版精选2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题完整版考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知3
2
()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④（2012福建
文）
2．设函数1
()f x x
=
,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ）
A ．12120,0x x y y +>+>
B ．12120,0x x y y +>+<
C ．12120,0x x y y +<+>
D ．12120,0x x y y +<+<（2012山东文）
解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点
12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2
()03F b =,因为(0)1F =,
故必有2()03F b =由此
得b .不妨设12x x <,
则22
3x b =.所
以
2
1()()2)F x x x =
-,
比较系数得
1x -=,
故1x =
.120x x +,由此知12
121212
110x x y y x x x x ++=
+=<,故答案应选B. 另 3．函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 （ ）
A ．(-1,1]
B ．(0,1]
C ．[1,+∞)
D ．(0,+∞) （2012辽
宁文）
二、填空题
4． 已知a > 0,方程x 2-2ax -2a ln x =0有唯一解,则a = .
12
5．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无 盖的盒子，盒子容积的最大值是 ．
6．已知函数ax x x f +-=3
)(在区间()1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围
是 .
7．已知函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=-
+在区间[1,]e 上的最小值为0，则max a = ． 8．函数2
()l n 1f x a x x
=++在[,)e +∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
9．已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数f (x )在x 0＝2
π
处的切线方程是 10．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()
()f x g x x
=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x
的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 关键字：动点；求切线方程；求导数；求最值 12．
已知函数
12)(,1
)(332++-=++
=a a x x g a x
x x f 若存在，
)1(,1,21>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得12|()()|9f g ξξ-≤，则a 的取值范围是 ▲ .
13．曲线12++=x xe y x
在点（0,1）处的切线方程为 ．
14．曲线4
2x y =上一点到直线1--=x y 的距离的最小值为 .
答案 162
5
15．曲线1
1
y x =
+在0x =处的切线的方程是____________________ 16．曲线3
1y x x =++在点(1,3)处的切线的方程是_______________ 三、解答题
17．已知函数()ln f x x x =-， ()ln a
g x x x
=+，（0a >）． （1）求函数()g x 的极值；
（2）已知10x >，函数11
()()
()f x f x h x x x -=-， 1(,)x x ∈+∞，判断并证明()h x 的单调
性；
（3）设120x x <<，试比较12()2x x f +与121
[()()]2
f x f x +，并加以证明．18．题目文件丢失！
19．已知函数f (x )＝1
2m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；
（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．(本小题满分14分)
20．设函数3
2()(,,,0)3
a f x x bx cx a
b
c a =
++∈≠R ． （1）若函数()f x 为奇函数，求b 的值；
（2）在（1）的条件下，若3a =-，函数()f x 在[2,2]-的值域为[2,2]-，求()f x 的零点；
（3）若不等式()()1axf x f x '≤+对一切x ∈R 恒成立，求a b c ++的取值范围．（本小题满分16分）
21．轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米． (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程；
(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
(注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．)
22．已知函数()||x f x e bx =-，其中e 为自然对数的底. （1）当1b =时，求曲线()y f x =在x=1处的切线方程； （2）若函数()y f x =有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；
（3）当0b >时，判断函数()y f x =在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围.
23．设函数y=f(x)对任意实数x ，都有f(x)=2f(x+1)，当x ∈ [0,1]时，f(x)=
274
x 2
(1-x). (Ⅰ)已知n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤
n 12
； (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x ∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.
24．函数f(x)=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a 、b 的值；
(2)方程f(x)=c 有三个不同的实数解，求c 的取值范围.
25．如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都
不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；
（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分16分）
26．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（x >6），年销量为u 万件，若已知u
-8
585与2)4
21(-x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.
(1）求年销售利润y 关于x 的函数关系式；
(2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
27．已知函数)0(1)63()1(3)(2
3
<++++-=m x m x m mx x f （1）若)(x f 的单调增区间是（0,1）求m 的值。

（2）当[]1,1-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意的一点切线斜率恒大于3m ， 求m 的范围。

28．已知函数()2(0,)a
f x x x a R x
=+
≠∈ (1）判断()f x 的奇偶性
(2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围
1. a=0时候是偶函数 a 不为0时候为非奇非偶函数
2. a 《 16
29．已知定义在正实数集上的函数
2
1()22f x x ax =
+，
2
()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．
(I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；
(II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．（湖北理）
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
30．设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． (Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； (Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
(Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．（山东理）。