《三角形的重心》 导学案

《三角形的重心》导学案
一、学习目标
1、理解三角形重心的定义和性质。

2、掌握三角形重心的相关定理及其证明。

3、能够运用三角形重心的性质解决实际问题。

二、学习重点
1、三角形重心的定义和性质。

2、三角形重心相关定理的证明和应用。

三、学习难点
1、理解三角形重心性质的证明过程。

2、运用三角形重心的性质解决复杂的几何问题。

四、知识回顾
1、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

2、三角形中线的性质：三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。

五、新课导入
同学们，我们已经学习了三角形的中线，知道三角形的三条中线交
于一点。

那大家有没有想过，这个交点有什么特殊的性质呢？这就是
我们今天要学习的三角形的重心。

六、三角形重心的定义
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

七、三角形重心的性质
1、三角形的重心到一个顶点的距离是它到这个顶点所对边中点距
离的 2 倍。

证明：如图，在△ABC 中，AD、BE、CF 是三条中线，O 为重心。

连接 DE，因为 DE 是△ABC 的中位线，所以 DE∥BC 且 DE ＝ 1/2 BC。

又因为△DOE∽△COB，且相似比为 1 ： 2，所以 CO ＝ 2 OD，
BO ＝ 2 OE，AO ＝ 2 OF。

2、三角形的重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

证明：如图，在△ABC 中，AD 是中线，O 为重心。

因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，所以
S△ABD ＝ S△ACD。

又因为重心 O 将中线 AD 分成 2 ： 1 的两段，即 AO ＝ 2 OD，所
以 S△ABO ＝ 2 S△BOD，S△ACO ＝ 2 S△COD。

所以 S△ABO ＝ S△ACO ＝ S△BCO。

八、三角形重心的应用
1、求三角形的重心坐标
在平面直角坐标系中，如果已知三角形三个顶点的坐标分别为
A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则三角形的重心坐标为(（x₁＋x₂＋ x₃) ／ 3, （y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3)。

2、解决实际问题
例如，在一个均匀的三角形薄板上，重心位置是薄板能平衡的点。

如果要在这个薄板上悬挂一个物体，使薄板保持平衡，应该将物体悬挂在重心位置。

九、课堂练习
1、已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2, 3)，B(4, 1)，C(6, 5)，求△ABC 的重心坐标。

2、在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，如果 AG ＝ 6，求 GD 的长度。

3、证明：三角形的重心将每条中线都分成 2 ： 1 的两段。

十、课堂小结
1、三角形重心的定义：三角形三条中线的交点。

2、三角形重心的性质：
到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。

和三个顶点组成的三个三角形面积相等。

3、三角形重心的应用：求重心坐标、解决实际平衡问题等。

十一、课后作业
1、课本第___页习题___。

2、思考：三角形的重心和三角形的内心、外心有什么区别和联系？
通过这节课的学习，希望同学们能够熟练掌握三角形重心的相关知识，并能够灵活运用解决问题。