人教版高中数学【必修四】[重点题型巩固练习]_三角恒等变换综合_基础

人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
【巩固练习】
1．若12sin(),cos 26
33
π
π
-α=
α则（＋）＝（）
A ．79－
B ．31－
C ．31
D ．9
7
2．已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4
π
α+等于 （ ）
A ．17
B ．7
C ．1
7
- D ．7-
3．（2017 四川自贡模拟）已知2sin2α=1+cos2α，则tan()4
π
α+的值为（ ）
A ．―3
B ．3
C ．―3或3
D ．―1或3
4．已知1tan()2αβ+=，1tan()43πα-=-,则tan()4
π
β+的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．2
2
D ．2
5．已知3sin 5θ=-, 732πθπ<<，则tan 2
θ
的值为（ ）
A ．31
B ．1
3
- C ．3 D ．3-
6．（2016 福建模拟）已知1sin()33x π+=，则cos cos()3
x x π
+-的值为（ ）
A ．-
B C ．13- D ．1
3
7. 若1sin 3k k α+=
-,1cos 3k k α-=-，则tan 1
tan 1
αα-+的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．17- D ．71
8．已知cot 2α=-, 则α
αα
α2sin 42cos 42cos 22sin -+的值是（ ）
A ．25
B ．52-
C ．141
D ．114
-
9．cos 43cos77sin 43cos167o o o o
+的值为＿＿．
10．已知3,(,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4
π
α+=____.
11．（2015
山东一模）化简tan 70cos10201)︒︒︒-=________． 12．定义一种运算,,,a a b a b b a b
≤⎧⊗=⎨>⎩令25()(cos sin ),4f x x x =+⊗且0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
则函数()2
f x π
-
的最大值是______.
13．条件求值： （1）已知）的值；
＋（求3
2sin ],,2
[,0cos 2cos sin sin
622
π
αππααααα∈=-+ （2）已知2
1
4tan ）＝＋（απ
，（ⅰ）求αtan 的值；（ⅱ）求ααα2cos 1cos 2sin 2＋－的值.
14．（2017 东城区月考）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),||1a b a b ααββ==-=． （1）求cos （α－β）的值； （2）若02
2
π
π
βα-
<<<<
，且1
sin 7
β=-
，求sin α的值． 15．（2016
贵州黔南州月考）已知函数2
()2cos cos f x x x x =+，x ∈R ．
（1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）求函数f （x ）在区间[,]64
ππ
-上的值域．
【答案与解析】 1．【答案】A
【解析】由313cos ,31)6sin(
）＝＋（则απαπ
=- ∴9
719213cos 2232cos 2＝－－＝）－＋（）＝＋（απαπ 2. 【答案】 A
3．【答案】D
【解析】∵2sin2α=1+cos2α， ∴4sin αcos α=1+2cos 2α－1， 即2sin αcos α=cos 2α， ①当cos α=0时，2
k π
απ=+
，此时tan()14
π
α+
=-，
②当cos α≠0时，1tan 2α=
，此时tan tan
4tan()341tan tan 4
π
απαπ
α++==-， 综上所述，tan()4
π
α+
的值为－1或3．
故选D ． 4．【答案】B
【解析】注意角的特点：()()44
π
π
βαβα+=+--
5．【答案】D
【解析】易知4cos 5θ=-,利用1cos tan 2sin θθθ
-=可求． 6．【答案】B
【解析】1cos cos(
)cos cos 32x x x x x π
+-=+
3cos )23x x x π=
=+= 故选：B ．
7．【答案】C
【解析】需要先求出k 的值，再求出tan α的值． 8．【答案】C
【解析】ααα
α2sin 42cos 42cos 22sin -+=tan 2244tan 2αα+-．由已知求tan α再求tan2α,代入即可．
9．【答案】1
2-
【解析】cos43cos77sin 43cos167o o o o +cos43cos77sin 43sin77o o o o
=-
1
cos(4377)cos1202
=+==-o o o
10．【答案】56
65
-
11．【答案】－1
【解析】tan 70cos10201)︒︒︒-
cot 20cos101)=︒︒-
112cot 20cos1020cos 20)2cos 20=︒︒︒-︒︒
cos 201
2
cos10(sin 20cos30cos 20sin 30)sin 20cos 20︒=︒︒︒-︒︒︒︒
cos102sin10cos102
sin(10)1sin 20sin 20︒-︒︒
=⋅-︒==-︒︒
． 故答案为：－1． 12．【答案】
54
【解析】令2
()cos sin g x x x =+，则2
2
155()1sin sin (sin )2
44
g x x x x =-+=--+
≤
∴由运算定义可知，215
()()(sin ),24
f x
g x x ==--+
∴当1sin 2x =，即6x π=时，该函数取得最大值5
4
. 由图象变换可知，
所求函数()2f x π
-
的最大值与函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值相同. 13．【解析】（1）由已知得0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα ∴0cos sin 20cos 2sin 3=-=+αααα或 ① 由已知得sin 0α≠，0cos ≠α，∴2
π
α≠，π即）
（
ππ
α,2
∈ ∴tan 0<α，∴由①得3
2
tan -
=α ∴ααπ
α2cos 2
32sin 21)3
2sin(+=
+
＝)sin cos sin cos (23sin cos cos sin 2
22222αααααααα+-++ ＝
)tan 1tan 1(23tan 1tan 222αα
α
α+-++ ＝
13
6
2635- (2) (ⅰ)由已知得
21tan 1tan 1＝－＋αα，由此解得3
1
tan ＝－α
(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝65
21tan 2cos 2cos cos 2sin 2
2＝－－＝－αα
ααα
14．【答案】（1）0；（2）
7
． 【解析】（1）∵向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),||1a b a b ααββ==-=，
(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--，
∴(cos α－β)2+(sin α－sin β)2=1―2(cos αcos β+sin αsin β)=1―2cos(α－β)=1， ∴cos （α－β）=0．
（2）若02
2
π
π
βα-
<<<<
，且1sin 7
β=-
，∴cos β==
∵cos （α－β）=0，∴sin （α－β）=1，
∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-101=+⋅=． 15．【答案】（1）T =π；（2）[0，3]
【解析】（1）函数2
()2cos cos 1cos 222sin(2)116
f x x x x x x x π
=+=++=+++
所以：函数的周期为T =π （2）由于[,]64x ππ
∈-
所以：22[,]663x πππ
+∈-
1
sin(2)[,1]62
x π+∈-
所以函数f （x ）的值域为：[0，3]。