湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)试卷

2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷
（二)
一、选择题（每小题4分，共32分)
1．(4分）当x＝时,代数式+的值是()
A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣1
2．(4分）如果一直角三角形的三边为a,b，c,∠B＝90°，那么关于x的方程a(x2﹣1）﹣2cx+b （x2+1）＝0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定根的情况
3．(4分)两年期定期储蓄的年利率为2。

25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税,王大爷于2002年6月存入银行一笔钱,两年到期时,共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为（)
A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元
4．（4分)如图，MN是⊙O的直径，∠A＝20°,∠PMQ＝50°,以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）
A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形
5．（4分）如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．不能确定
6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2
7．（4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196｜），则自变量x取1，2，3,4,…99，100这100个自然数时,函数和的值是（）
A．540B．390C．194D．97
8．（4分)设x1,x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根,实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004,则ax12005+bx22005的值为（)
A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003
二、填空题（每小题4分,共32分）
9．（4分)已知实数a满足|2002﹣a｜+＝a，则a﹣20022的值为．
10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为．
11．（4分）AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C′的位置,BC＝4，则BC′的长为．
12．(4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC，DP交AB于M,MQ交CD于N，则CN＝．
13．（4分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．
14．（4分）如图,ABCD和EBFG都是正方形,AB＝30cm，则阴影部分的面积为．
15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为．
16．(4分）如图，在△ABC中,∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°，则∠CED的度数为．
三、解答题（每小题12分，共36分）
17．（12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系,如图所示．
(1）根据图象,求一次函数y＝kx+b的表达式;
（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润?
最大毛利润是多少？此时销售量是多少？
18．(12分）如图，在⊙O的内接△ABC中,AB＝AC,D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．
（1）求证：AB2＝AD•AP；
（2）若⊙O的直径为25,AB＝20，AD＝15，求PC和DC的长．
19．（12分）已知抛物线y＝x2+(2﹣m）x﹣2m（m≠﹣2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C(B点在C点的左边）．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；
（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学
试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．(4分）当x＝时，代数式+的值是（)
A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣1
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11:计算题；511：实数．
【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝，∴x﹣2＜0，
则原式＝｜x﹣2｜+1﹣x＝2﹣x+1﹣x＝3﹣2x＝3﹣2,
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（4分）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a（x2﹣1)﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为()
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定根的情况
【考点】AA:根的判别式;KQ：勾股定理．
【专题】16:压轴题．
【分析】根据勾股定理，确立a2+c2＝b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．
【解答】解:∵∠B＝90°
∴a2+c2＝b2
化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0
∴△＝4c2﹣4（b2﹣a2）＝4c2﹣4c2＝0
∴方程有两个相等实数根
故选：A．
【点评】总结：
1、勾股定理：在直角三角形中,∠C＝90°，有a2+b2＝c2
2、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根;(3）△＜0⇔方程没有实数根
3．（4分）两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按照国家规定,所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为(）
A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元
【考点】8A:一元一次方程的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元，根据本金×利率×时间×（1﹣税率）＝税后利息，列出方程求解即可．
【解答】解：设王大爷2002年6月的存款额为x元,
由题意，得x×2.25%×2×（1﹣20％）＝540，
解得x＝15000．
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系．4．（4分）如图，MN是⊙O的直径,∠A＝20°,∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）
A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】首先根据圆周角定理得出∠POQ＝100°，进而利用等腰三角形的性质得出∠OPQ＝∠OQP,再由外角的性质得出∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，即可得出△POM是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案．
【解答】解：连接QO，PO，如图所示；
∵QO＝PO，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∵∠PMQ＝50°,
∴∠POQ＝100°,
∴∠OPQ+∠OQP＝180°﹣100°＝80°,
∴∠OPQ＝∠OQP＝40°，
∴∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，
∵PO＝OM，
∴△POM是等边三角形,
∴PM＝OP＝OM，
∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．
故选:C．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识,根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．
5．（4分）如图,AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．不能确定
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝x，得到∠AED＝x+10°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠C＝x，
∵AB＝AC,
∴∠B＝∠C＝x，
∴∠AED＝x+10°,
∵EA＝ED,
∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，
∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，
∴x＝50°，
∴∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目比较好，难度适中．
6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE:配方法的应用．
【分析】由a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，两边乘2,进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质得出a、b的数值，代入求得答案即可．
【解答】解：∵a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,
∴2a2+2ab+2b2+2a﹣2b+2＝0,
∴（a2+2ab+b2）+(a2+2a+1)+（b2﹣2b+1）＝0，
∴（a+b）2+（a+1)2+（b﹣1）2＝0,
∴a+b＝0，a+1＝0,b﹣1＝0，
解得a＝﹣1,b＝1，
∴+＝0．
故选：B．
【点评】此题考查配方法的运用，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
7．(4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196|），则自变量x取1，2,3，4，…99,100这100个自然数时，函数和的值是（）
A．540B．390C．194D．97
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将x2﹣100x+196分解为:（x﹣2）（x﹣98）,然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x＝1，99，100时的函数值即可．
【解答】解:∵x2﹣100x+196＝（x﹣2）（x﹣98）
∴当2≤x≤98时，|x2﹣100x+196｜＝﹣（x2﹣100x+196）,
当自变量x取2到98时函数值为0，
而当x取1，99，100时，｜x2﹣100x+196|＝x2﹣100x+196，
所以，所求和为（1﹣2）（1﹣98)+(99﹣2）（99﹣98)+（100﹣2）（100﹣98）＝97+97+196＝390．
故选:B．
【点评】本题考查函数值的知识,有一定难度，关键是将x2﹣100x+196分解为：(x﹣2）(x ﹣98)进行解答．
8．（4分)设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003,ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）
A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003
【考点】AB：根与系数的关系．
【专题】11：计算题．
【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；
化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2)（ax12004+bx22004)﹣x1x2（ax12003+bx22003）；
将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005,ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．
【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得:x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，
故ax12005+bx22005＝（x1+x2)（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），
＝2003×2004﹣2005×2003，
＝﹣2003．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简,难度中等，关键要掌握x1,x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分）已知实数a满足|2002﹣a|+＝a，则a﹣20022的值为2003．【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的范围，把原式变形,计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣2003≥0,
则a≥2003，
原式变形为:a﹣2002+＝a，
则＝2002，
∴a＝20022+2003,
则a﹣20022＝2003．
故答案为：2003．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键．
10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为2cm．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ:勾股定理；M2：垂径定理．
【专题】2B:探究型．
【分析】过点O作OF⊥CD，连接OD，由AE＝1cm，EB＝5cm可求出圆的半径，进而可得出OE的长，在Rt△OEF中根据∠DEB＝60°及OE的长可求出OF的长，在Rt△ODF中利用勾股定理可求出DF的长,进而可得出CD的长．
【解答】解：过点O作OF⊥CD，连接OD，
∵AE＝1cm,EB＝5cm，
∴AB＝AE+EB＝1+5＝6cm，
∴OA＝OD＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2cm，
在Rt△OEF中∠DEB＝60°，OE＝2cm，
∴OF＝OE•sin∠DEB＝2×＝cm,
在Rt△ODF中，
DF＝＝＝cm，
∵OF⊥CD,
∴CD＝2DF＝2×＝2cm．
故答案为:2cm．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（4分)AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C′的位置，BC＝4，则BC′的长为2．
【考点】PB：翻折变换(折叠问题）．
【分析】由折叠得∠BDC′＝90°，C′D＝2，得△BDC′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BC′的长．
【解答】解：如图，由折叠得：△ACD≌△AC′D,
∴∠ADC＝∠ADC′＝45°，DC＝DC′，
∴∠BDC′＝90°，
∵AD是△ABC的中线,
∴BD＝CD＝BC＝×4＝2，
∴BD＝DC＝DC′＝2，
∴△BDC′是等腰直角三角形,
∴BC′＝＝＝2．
【点评】本题是折叠问题，考查了折叠的性质和三角形中线的定义，明确折叠前后的两三角形全等,及三角形中线平分边长,在直角三角形中常利用勾股定理求线段的长度．12．（4分）如图,平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC,DP交AB于M，MQ交CD于N，则CN＝6．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以＝，故进一步可推出CN．
【解答】解：因P、Q三等分AC，故＝，
∵AB∥CD
∴＝＝，＝，
又∵AB＝CD
∴AM＝CD＝12，CN＝AM＝6．
故答案为:6．
【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题,如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
13．（4分)抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1,y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．
【考点】HF:二次函数综合题；LE:正方形的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．
【解答】解：如图，
四条直线x＝1，x＝2,y＝1，y＝2围成正方形ABCD,
因为抛物线与正方形有公共点，所以可得a＞0,而且a值越大，抛物线开口越小，
因此当抛物线分别过A（1，2)，C（2，1）时,
a分别取得最大值与最小值,代入计算得出:a＝2,a＝；
由此得出a的取值范围是．
故填．
【点评】此题利用数形结合的思想，考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与a 值的关系．
14．（4分）如图，ABCD和EBFG都是正方形，AB＝30cm，则阴影部分的面积为450cm2．
【考点】LE：正方形的性质．
【专题】15：综合题．
【分析】根据正方形的性质可证△OEG≌△OBF，由此可知S阴影＝S正方形ABCD．【解答】解：设小正方形EBFG的对角线相交于点O
∵在正方形EBFG中，对角线EF与BG互相垂直平分,
∴在△OEG与△OBF中,
∴△OEG≌△OBF
∴S阴影＝S正方形ABCD＝×30×30＝450（cm2）
即阴影部分的面积为450cm2．
故答案为：450cm2
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明S阴影＝S正方形ABCD
15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为2．
【考点】KQ:勾股定理;LH:梯形．
【专题】11：计算题．
【分析】作CE⊥AB于E,OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,先证明四边形ADCE为矩形得到AE＝CD＝3，AD＝CE,则BE＝1，再利用勾股定理计算出CE＝4,所以OD＝OA＝2，接着利用勾股定理的逆定理证明△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°,然后利用面积法计算出OH的长即可．
【解答】解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,
∵AB∥DC，
∴∠D＝180°﹣∠A＝90°，
而CE⊥AB,
∴四边形ADCE为矩形,
∴AE＝CD＝3，AD＝CE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝4，
∴AB＝4，
∵O为AD边的中点，
∴OD＝OA＝2,
在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2＝（2）2+32＝21，
在Rt△OAB中,OB2＝OA2+AB2＝（2）2+42＝28，
∴OC2+OB2＝49＝BC2，
∴△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°，
∵OH•BC＝•OC•OB，
∴OH＝＝2，
即点O到BC的距离为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
16．（4分）如图,在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°,则∠CED的度数为10°．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝20°,∠CBD＝20°，
∴BD＝CD，
∵BD＝ED，
∴ED＝CD,
∴∠CED＝∠DCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠CED＝∠DCE＝∠ACB＝10°，
故答案为：10°．
【点评】此题考查等腰三角形的问题,关键是根据等腰三角形的判定和性质解答．
三、解答题（每小题12分，共36分）
17．(12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x（元/件）可近
似于一次函数y＝kx+b的关系，如图所示．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式;
（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少？此时销售量是多少？
【考点】HE:二次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象上的点可以求得一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式和S＝（x﹣500）y，可以解答本题．
【解答】解：（1）∵点(600,400)，（700，300）在y＝kx+b上，
∴，
解得，
即一次函数的表达式是y＝﹣x+1000（500≤x≤800)；
（2）S＝（﹣x+1000)（x﹣500）＝﹣x2+1500x﹣500000＝﹣(x﹣750）2+62500，
∴x＝750时，S取得最大值，此时S＝62500，y＝﹣750+1000＝250，
即销售单价定为750元时，该公司获得最大毛利润，最大毛利润是62500元，此时销售量是250件．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数解析式，会求函数的最值．
18．（12分)如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC 的延长线于点P．
（1）求证:AB2＝AD•AP；
（2）若⊙O的直径为25，AB＝20,AD＝15，求PC和DC的长．
【考点】KQ：勾股定理;M6:圆内接四边形的性质;MH：切割线定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）欲证AB2＝AD•AP，需证AC2＝AD•AP，因此只需证△ADC∽△ACP即可；（2）由(1）的结论可求出AP的长，过点A作直径AE交BC于点F，用相交弦定理的推论可求出AF的长，进而可求出BF、CF的长．在Rt△APF中,已知AP、AF的长，可用勾股定理求出PF的长，进而可求出PC的长,根据割线定理，可求出PD的长．
【解答】(1）证明：∵∠ADC+∠B＝180°,∠B＝∠ACB
∴∠ACP+∠ACB＝∠ACP+∠B＝180°
∴∠ADC＝∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴，即
所以AB2＝AD•AP；
（2)解：过点A作直径AE交BC于点F．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直平分BC
设AF＝a，则EF＝25﹣a，
由BF2＝AF•EF，得400﹣a2＝a（25﹣a）
所以AF＝a＝16,BF＝FC＝12．
方法1:
由（1）AB2＝AD•AP得：
在Rt△AFP中，
∴PC＝PF﹣FC＝＝
又由△PCD∽△P AB得：
∴；
方法2:（前面部分给分相同)连接BE、EC、BD．
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，且BE＝
∴EC＝BE＝15，又已知AD＝15，∴AD＝EC
∴DC∥AE,即DC⊥BC,则BD是直径
∴DC＝
在Rt△PCD中，PD＝P A﹣AD＝＝
∴PC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用．综合性强,难度较大．
19．（12分）已知抛物线y＝x2+（2﹣m)x﹣2m（m≠﹣2)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．
（1)写出A、B、C三点的坐标；
（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；
（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．
【考点】HF:二次函数综合题．
【分析】（1）先令x＝0，求出点A坐标，再令y＝0求出方程的根，分两种情况得出点B，C坐标；
（2)先判断得出点B，C坐标，再求出AB2，BC2,AC2，用m的范围得出AB,BC，AC的大小,从而得出结论；
（3)根据三角形的边角的不等关系得出结论．
【解答】解：（1)令x＝0,由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2）,
∴y＝﹣2m，
∴A的坐标为(0，﹣2m）
令y＝0，由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2)，
∴x2+（2﹣m)x﹣2m＝0，
∴(x+2)（x﹣m）＝0
∴x1 ＝﹣2，x2＝m
∵B点在C点左边．
∴①当m＜﹣2时，B，C的坐标分别为（m，0）和（﹣2，0)．
②当m＞﹣2,但m≠2时,B，C的坐标分别为(﹣2,0）和(m，0）．
(2）不存在，
理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．
由（1)的结论知，A的坐标为（0,﹣2m)，B，C的坐标分别为（﹣2，0）和（m,0）．
∴AB2＝4m2+4
BC2＝(m+2）2＝m2+4m+4
AC2＝m2+4m2 ＝5m2
∵m≥3,
∴3m2＝m×3m≥9m＞4m，
∴AB2 ＝4m2+4＞m2 +4m+4＝BC2，
∴AB＞BC．
∵m≥3，
∴m2＞＝9＞4，
∴AC2 ＝5m2 ＞4m2 +4＝AB2，
∴AC＞AB．
∴AC＞AB＞BC．
∵AB2 +BC2＝5m2+4m+8＞5m2 ＝AC2．
∴不存在实数a,使△ABC为Rt△．
（3)不存在,
理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．
由(2）的结论知，AC＞AB＞BC．
∴∠BAC最小．
∴不存在实数a，能使得∠BAC最大．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，二次函数的极值,直角三角形的判断，三角形边的大小的判断方法，解本题的关键是得出AC＞AB＞BC．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0)的式子叫做二次根式．
(2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0)是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围,并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．4．一元一次方程的应用
(一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
(3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100％)；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量);
（5）行程问题（路程＝速度×时间）;
（6）等值变换问题；
（7）和，差,倍，分问题；
（8）分配问题；
(9）比赛积分问题;
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列:根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确,是否符合题意，完整地写出答句．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0)的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△＜0时,方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2）,q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立,即＝﹣（x1+x2),＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0）的图象是抛物线,顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
9．二次函数的应用
(1)利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
(3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
10．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．含30度角的直角三角形
(1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2．
（2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3)勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4)由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中
的每一条直角边．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2）平行四边形的性质:
①边：平行四边形的对边相等．
②角:平行四边形的对角相等．
③对角线:平行四边形的对角线互相平分．
(3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底)同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．正方形的性质
(1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
16．梯形
（1)梯形的定义:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底,其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰,两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
17．垂径定理。