高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案

数学《计数原理与概率统计》复习资料
一、选择题
1．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.
命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假
C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2
2
D E E ξξ
ξ=-，利用公式
1a b c ++=，计算D D ξη-的值.
【详解】
12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++
12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，
()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，
E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，
()249E a b c ξ=++，()()2
223E a b c ξ=++，
所以()()2
4923D a b c a b c ξ=++-++
()294E a b c η=++，()()2
232E a b c η=++，
()()()()2
229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，
()()()()()22
83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++
()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，
所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.
综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】
本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是
()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.
2．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】
由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
3．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．
15
B ．
310
C ．
25
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
【详解】
从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =
这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：3
10
故选B
4．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ．
18
B ．
35
C ．
58
D ．
78
【答案】C 【解析】 【分析】
设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】
设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200
A 表示某生等车时间不超过5分钟，
所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008
S S === 故选C
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
5．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()
A．3
5
B．
9
25
C．16
25
D．
2
5
【答案】B
【解析】
PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为
25π-16π9
25π25
,故选B.
6．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）
A．3
5
B．
1
3
C．
4
15
D．
1
5
【答案】C 【解析】 【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，231461
5
C p C ==；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，442461
15
C p C ==；
故12415
p p p =+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
7．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3
C ．0.58
D ．0.958
【答案】D 【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
8．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】
由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率1133331
55C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13
3325
5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21
13P P P ==. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122
542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师
对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（）A．36 B．72 C．24 D．48
【答案】A
【解析】
【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有
212
421
2
2
6
C C C
A
=种分组方
法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有336
A=种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636
⨯=种不同的问卷调查方案．
故选A．
【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
11．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有
2 22
A=种，剩余的3门全排列，即可求解.
【详解】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4
节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有2
22
A=种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3
36
A=种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636
⨯⨯=种不同的排法.故选：C.
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．
若实数2a =，则101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A 【解析】 由题意可得：
(
)
()
1019222
10
101010
10
22222232.
a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元
C ．56万元
D ．57万元
【答案】D 【解析】
试题分析：由表格可算出1(1245)34x =
+++=,1
(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b
=,代入算出
ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.
考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .
14．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，
()2
21331321
222228
D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】
由题意可知：()()2
21210p p p p -+-+= ， 且()2
011p <-<，()0211p p <-<，2
01p <<
解得：01p <<，
()()()2
211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，
()()()()()()2
2
2
2
2
141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
288p p =-+，
设()411,3E p t ξ=-=∈-，
2
21113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪
⎝⎭ ()2
1122
t =-
-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2
880,2D p p t ξ=-+=∈，
2
1822p t ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭，
2
1228t p -⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
当102p <<
时，1228t
p -=-，此时12412
8t E ξ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，
当
112p ≤<时，1228t
p -=+，此时124128t E ξ⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭
，当D t ξ=增加时，E ξ减小，
所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.
综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
15．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
14
6
π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r
a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4
462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为
()1223100111-x-x |442346
dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B
【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
16．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）
A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<
B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>
C ．12E E ξξ=，12
D D ξξ<
D ．12
E E ξξ>，12D D ξξ>
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
17．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）
A ．E E ξη<，D D ξη<
B ．E E ξη<，D D ξη>
C ．E E ξη<，
D D ξη=
D ．
E E ξη=，D D ξη= 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η．
【详解】
由题意得：
E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116
， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-
⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236
=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136
-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η．
故选：C ．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．
18．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( )
A ．125个
B ．60个
C ．100个
D ．48个
【答案】C
【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
19．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC 中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC 的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（ ）
A ．233
- B ．(233)π- C ．233- D ．(233)π- 【答案】D 【解析】
【分析】
设圆的半径为r ，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率.
【详解】
设“质点落在阴影部分内部”为事件M .
如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a .
因为130PBO ∠=︒，所以3tan 303
r BP =︒=，解得3BP r =.同理，3CQ r =. 又因为122PQ O O r ==，所以
332(232)BP CQ PQ r r r r BC a ++=++===，所以由几何概型得，点落在阴影部分内部的概率是
2222(233)()133(232)4
P M a a r π-===⨯+. 故选：D.
【点睛】
此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.
20．已知不等式
501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩
， ∴{}|15P x x =-<<，
||111x x <⇒-<<， ∴1(1)15(1)3
P --==--． 选B ．
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．。