2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 Word版含解析

1.2　椭圆的简单性质
课后训练案巩固提升
A 组
1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F (c ,0),方程ax 2+bx-c=0的两个实根分别为x 1和x 2,则点x 2
a 2+y 2
b 212P (x 1,x 2)( )
A .必在圆x 2+y 2=2内
B .必在圆x 2+y 2=2上
C .必在圆x 2+y 2=2外
D .以上三种情形都有解析:∵e=,∴.∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=a 2.
12c a =1234∵x 1+x 2=-,x 1·x 2=-,
b a
c a ∴=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=+1=<2.x 21+x 22b 2a 274∴P 点在圆x 2+y 2=2内.
答案:A
2.已知对k ∈R ,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m 的取值范围是( )
x 25+y 2m
A.(0,1)
B.(5,+∞)
C.[1,5)∪(5,+∞)
D.[1,5)
解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得
1m m ≥1.又m ≠5,故选C .
答案:C
3.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若△ABF 2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A .
B .
C .-1
D .322222
解析:由题意得|AF 1|=,|AF 2|=|BF 2|.
b 2
a ∵△ABF 2是等腰直角三角形,
∴|AF 1|=|F 1F 2|,即=2c.
b 2
a
∴b 2=a 2-c 2=2ac.
整理得e 2+2e-1=0,∴e=-1.
2答案:C
4.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A .=1
B .+y 2=1x 24+y 23x 24
C .=1
D .x 2+=1
y 24+x 23y 2
4解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.
22-12=3x 24+y 2
3答案:A
5.若点O 和点F 分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为
( )
x 24+y 2
3OP ·FP A.2 B.3 C.6 D.8解析:由椭圆方程得F (-1,0),设P (x 0,y 0),则=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)=+x 0+.
OP ·FP x 20y 20∵P 为椭圆上一点,∴=1.
x 204+y 203∴+x 0+3+x 0+3=(x 0+2)2+2.OP ·FP =x 20(1-x 20
4)=x 20414∵-2≤x 0≤2,∴的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.
OP ·FP 答案:C
6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F (-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 . 3解析:由已知,得a=2b ,c=2,又a 2-b 2=c 2,
3故b 2=4,a 2=16,又焦点在x 轴上,
故椭圆方程为=1.x 216+y 2
4答案:=1
x 216+y 2
47.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆上存在x 2a 2+y 2
b 2点P 使,则该椭圆的离心率的取值范围为 . a sin ∠PF 1F 2=
c sin ∠PF 2F 1
解析:如图所示,
e=-1.c a =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2
=|PF 1||PF 2|=2a -|PF 2||PF 2|=2a |PF 2|∵|PF 2|<a+c ,
∴e=-1>-1,即e>-1,2a |PF 2|
2a a +c 21+e ∴e 2+2e-1>0.
又∵0<e<1,∴-1<e<1.2答案:(-1,1)
28.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G
32的方程为 .
解析:由题设,知2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3.c a =323答案:=1
x 236+y 2
99.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.
解(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b ,①x 2a 2+y 2b 2y 2a 2+x 2b
2且椭圆过点(2,-6),
从而有=1或=1.②
22a 2+(-6)
2b 2(-6)2a 2+22b 2由①②,得a 2=148,b 2=37,或a 2=52,b 2=13.故所求椭圆的方程为=1或=1.
x 2148+y 237y 252+x 2
13
(2)如图所示,△A 1FA 2为一等腰直角三角形,OF 为斜边A 1A 2的中线(高),且OF=c ,A 1A 2=2b ,
∴c=b=3.∴a 2=b 2+c 2=18.
故所求椭圆的方程为=1.
x 218+y 2
910.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F 1(-c ,0),A (-a ,0),B (0,b )是椭圆的两个顶点.若焦点F 1到直线AB 的距离为,求x 2
a 2+y 2b
2b 7椭圆的离心率.解(方法一)由题意,直线AB 的方程为=1,x -a +y b
即bx-ay+ab=0.
∵焦点F 1到直线AB 的距离d=
,|-bc +ab |a 2+b 2∴.|-bc +ab |
a 2+
b 2=
b 7两边平方、整理,得8
c 2-14ac+5a 2=0,
两边同时除以a 2,得8e 2-14e+5=0,
解得e=或e=(舍去).
1254(方法二)在△AF 1B 中,由面积公式可得=(a-c )·b ,将b 2=a 2-c 2代入上式,整理得8c 2-14ac+5a 2=0.(以下解a 2+b 2·b 7
法同解法一)
B 组
1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A .[6,10]
B .[6,8]
C .[8,10]
D .[16,20]
解析:不妨设焦点在x 轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M (x 0,y 0),由椭圆的范围知,|x 0|≤a=10,|y 0|≤b=8,点M 到
椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.x 20+y 20x 20100+y 2064y 20(1-x 20100)
1625x 20x 20+64-1625x 20=925x 20+64因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d ≤10.故选C .x 20925
x 20答案:C 2.已知c 是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是( )x 2a 2+y 2
b
2b +c a A .(1,+∞)
B .(,+∞)2
C .(1,)
D .(1,]22解析:如图,在△AFO 中,令∠AFO=θ,其中θ为锐角,则=sin θ+cos θ=sin ∈(1,].b +c a 2(θ+π4)
2
答案:D
3.
如图,把椭圆=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7七x 225+y 216个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|= .
解析:设F 1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P 1F|+|P 7F|=|P 1F|+|P 1F 1|=2a ,同
理,|P 2F|+|P 6F|=|P 3F|+|P 5F|=2a.
又|P 4F|=a ,∴|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|=7a=35.
答案:35
4.已知定点C (-1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的直线与椭圆相交于A ,B 两点.若线段AB 中点的横坐标是-,求直线AB 的
12方程.
解依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k (x+1)(k ≠0),将y=k (x+1)代入x 2+3y 2=5,消去y 整理,得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2-5=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则
{
Δ=36k 4-4(3k 2+1)(3k 2-5)>0, ①x 1+x 2=-6k 23k 2+1.②由线段AB 中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.12x 1+x 223k 23k 2+11233所以直线AB 的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.335.已知椭圆长轴|A 1A 2|=6,焦距|F 1F 2|=4,过椭圆的左焦点F 1作直线交椭圆于M ,N 两点,设∠MF 1F 2=α(0≤α≤180°),
2问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?
解(方法一)如图,
建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,
2∴椭圆方程为+y 2=1.
x 2
9当直线MN 斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.
23故可设过F 1的直线方程为y=k (x+2).
2∴{
y =k (x +22), ①x 29+y 2=1.②①代入②,整理可得
(1+9k 2)x 2+36k 2x+72k 2-9=0,
2∴x 1+x 2=,x 1·x 2=.-362k 2
1+9k 272k 2-91+9k 2
代入|MN|=,可得
[(x 1+x 2)2-4x 1x 2](1+k 2)|MN|=.6(k 2+1)1+9k 2
∵=2,∴k=±,
6(k 2+1)
1+9k 233即tan α=±,∴α=或α=π.
33π656(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.
2令|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x ,|F 1F 2|=4,2在△MF 1F 2中利用余弦定理得x=,13-22cos α
若令|F 1N|=y ,则|F 2N|=6-y ,|F 1F 2|=4,2在△NF 1F 2中利用余弦定理得y=,13+22cos α
∴|MN|=x+y=
,∴=2,cos α=±,13+22cos α+13-22cos α=69-8cos 2α69-8cos 2α32∴α=或α=π.
π6566.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?
解分别以
椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴,以长轴的中点为坐标原点O ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD 关于原点O 及x 轴、y 轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为=1.x 2
502+y 2
302设顶点A 的坐标为(x 0,y 0),x 0>0,y 0>0,则=1,得(502-)=(502-).x 20502+y 20302y 20=302502x 20(35)2
x 20根据矩形ABCD 的对称性,可知它的面积S=4x 0y 0.
由于(502-)x 20y 20=x 20·302
50
2x 20
=.(35)2[-(x 20-5022)2+5044]
∴当时,取得最大值,此时S 也取得最大值.此时x 0=25,y 0=15,
x 20=502
2x 20y 2022矩形ABCD 的周长为4(x 0+y 0)=4(25+15)=160(m).
222因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m 的直线,这两条直线与椭圆的交点就2是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160 m .2。