2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.5 简单复合函数的求导法则 课件(26张)

② 其实，y (3x 2)2 是一个复合函数，
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.
yu 2u ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu
,
ux
,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
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复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
=3sin2xcosx+3x2cosx3.
例2 求曲线y 3 (3x2 1)在点（1，3 4）处的切线方程。
【解析】
自学课本：P50，例3
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作业 课本P51页习题2-5第3,5题
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ux
lim
u0
y u

yu
lim y lim y u lim y lim u x0 x x0 u x x0 u x0 x

lim
u0
y u
lim x0
u x

yu
ux，
yx yu ux .
求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)合理选定中间变量(中间变量的选择应是基本函数结 构)； (2)正确分析函数的复合关系； (3)从最外层开始，由外及里，一层层地求导；明确求 导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x
练习2 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
简单复合函数的 求导法则
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知识回顾
1、导数公式表
函数
y c(c是常数） y x (为实数）
y ax (a 0, a 1)
y ex
y log ax (a 0, a 1)
y ln x
y sin x y cosx
Title
y tan x
（2）该函数关系式有何特点
讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
注意： 1、复合函数是y关于的x函数，自变量是x，而非中间变量u；
例1：求 y sin 2x 的导数
分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
解1：yx (sin 2x) (2sin xcos x)
2(cosxcosxsin xsin x) 2cos 2x
解2： y sin 2x 可由y=sinu,u=2x复合而成
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
y um, u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
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问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 18x 12
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
例2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
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课前练习：
1.y x(x2 1 1 ),求y '； x x2
2.y x sin x cos x ,求y '； 22
3.y x cos(x), 求y '；
4.y 1 ,求y '； sin x
y
'

2x2

1 x2
y ' 1 1 cos x 2
y ' x cos x x sin x 2x
【解析】
(2) y sin3 x sin x3
例1 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 x
(2) y sin3 x sin x3
解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′
=(sin3x)′+(sinx3)′
=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y 1 x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u) 1 2u 2
y ' cos x sin2 x
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引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形
成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r 的函数：
S f (r) r 2
油膜半径r 随着时间 t的增加而扩大，其函数关
系为：
r (t) 2t 1
问：（1）油膜面积 S 关于时间 t 函数关系式
2、y＝f(u)叫作外层函数， u = (x)叫作内层函数.
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练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)

u(x) u '(x)v(x) u(x)v '(x)
3)

v(x)


v2 ( x)
y cot x
导函数
y 0
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y

1 c os2
x
y


1 s 的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
且 yx yu ux，或 yx f (u) (x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则)
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有
增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
lim
x0
u x
1 (1 x2 )
也在心中运算
.
这样可以直接写出下式
yx 2
1 (1 x2 )
(1 x2 )x

x .
1 x2
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
求复合函数导数的步骤：
①确定中间变量，明确函数关系y＝f(u)， u = (x) ； ②分步求导，先求f′(u)，再求 ′(x)． ③计算f′(u)· ′(x)，并把中间变量转化为自变量的函
数． 整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤．
作业
课本P51页习题2-5第1,2题
例1 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 x