《三角函数的图像和性质》学案5(湘教版必修2)

三角函数
内容：三角函数（包括sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>）的图象、性质
一、知识与方法：
1．了解利用正弦线及sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈作函数sin y x =的图象（正弦曲线）的过程；
2．了解利用正切线及tan()tan x x π+=作函数tan y x =的图象（正切曲线）的过程； 3．根据诱导公式____________可知cos y x =的图象（余弦曲线）是由正弦曲线向_____平移________单位而得到的；
4．熟练掌握sin y x =、cos y x =、tan y x =的性质（请完成下表）
5．能准确描述由正弦曲线得到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象的过程； 6．能用“五点作图法”作出函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在某区间上的图象。

明确
在研究函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>时常令_____________。

二、例题讲解
例1．函数()sin(2)3
f x x π
=-
.
（1）求函数()f x 的周期；（2）求函数()f x 的值域，最值及相应的x 值； （3）求函数()f x 的单调区间；（4）求函数()f x 在3[,)2
π
π-上的增区间； （5）当[0,
]2
x π
∈时，求函数()f x 的取值范围；
（6）求函数()f x 的图象的对称中心、对称轴； （7）描述由正弦曲线得到函数()f x 的图象的过程；
（8）若将()f x 的图象向左或右平移ϕ个单位得到正弦曲线，当||ϕ最小时，求tan ϕ； （9）作出函数()f x 在7[0,)6
π
上的图象。

例2．把函数sin()y x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的图象向左平移6π
个单位，再将图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是x y sin =，则 ω=_______；ϕ=_______。

例3．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2
A π
ωϕ>><的部分图象如下图所示：
（1）求函数)(x f 的解析式并写出其图象的对称中心；
（2）若)(x g 的图象是由)(x f 的图象向右平移2个单位而得到，求当25x -≤<时，)(x g 的
取值范围。

三、练习题
1．给定性质：① 最小正周期为π；② 图象关于直线3
x π
=对称。

则下列四个函数中，同时
具有性质①、②的是 A sin()26x y π=+
B sin(2)6y x π=+
C sin y x =
D sin(2)6
y x π
=- 2．若函数()2cos()f x x ωϕ=+对任意实数x 都有(
)(
)3
3
f x f x π
π
-=+，那么(
)3
f π
=
A 2-
B 2
C 2±
D 不能确定
3．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则函数()f x
A 是周期函数，最小正周期为
3
2π
B 是周期函数，最小正周期为3
π C 是周期函数，数小正周期为π2
D 不是周期函数
4．（1）函数lg(sin cos )y x x =-的定义域是________；（2
）函数lg(tan y x =的定 义域是___________；（3）直线cos y x θ=()R θ∈的倾斜角的取值范围是__________. 5．若函数sin(3)6
y a b x π
=-+的最大值为
23，最小值为2
1-，则b
a =_____。

6．若3
sin
)(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝________。

7．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为
3
π
，那么此函数的周期是_____。

8．设函数)5
2sin(2)(π
π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则
||21x x -的最小值为_________。

9．函数sin(2)2y x π
=+
、sin(2)y x π=+的奇偶性分别是______、________。

10．已知函数3
()sin 5f x ax b x =++（a 、b 是常数），且(5)7f =，则(5)f -=______。

11．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0A ω>>，||)2
π
ϕ<
图象如图所示，则()f x ＝12．函数sin(2)3
y x π
=-+
的递减区间是_____________13．12
log cos()34x y π
=+的递减区间是________________14．函数|cos |
1()()3
x f x =在[,]ππ-上的减区间为________________。

15．对于函数()2sin(2)3
f x x π
=+
，下列结论正确的是_______。

① 图象关于原点成中心对
称；② 图象关于直线12
x π
=
成轴对称；③ 图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移
3
π
个单位得到；④ 图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。

16． 函数cos y x x =-的部分图象是
17．已知函数)(x f y =图象如图甲，则x x f y sin )2
(-=π
在区间[0，π]上大致图象是
18．函数2
()2cos sin(
)22
f x x x π
=+++是
A 非奇非偶函数
B 仅有最小值的奇函数
C 仅有最大值的偶函数
D 既有最大值又有最小值的偶函数 19．设函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2
2A π
π
ωϕ≠>-
<<
的图象关于直线π3
2
=x 对称，它的周期是π，则
A )(x f 的图象过点)2
1,0( B ()f x 在区间52[
,]123
ππ
上是减函数 C )(x f 的图象关于点5(,0)12
π对称 D ()f x 的最大值是A 20．若函数()2sin f x x ω=在[,]34
ππ
-
上单调递增，则正数ω的取值范围是_________。

21．函数()sin 2|sin |f x x x =+,[0,2]x π∈的图象与直线y a =有且仅有两个不同的交点，
则实数a 的取值范围是________________. 22．设6
4
x π
π
-≤≤
，求函数22log (1sin )log (1sin )y
x
x =++-的最大值和最小值。

23．已知x
x a x f sin 3cos 2)(-=在区间)2,0(π
上单调递增，求实数a 的取值范围.
24．是否存在实数a ，使得函数2
53sin cos 82y x a x a =++
-在闭区间[0,]2
π
上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由。

25．已知3()2f x x x =+，对任意R ∈θ，不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 恒成立，
求实数m 的取值范围。

三角函数答案 例2． 2ω=；3
π
ϕ=-。

例3．（1）)4
8
sin(
2)(π
π
+
=x x f ；对称中心为(82,0)k -()k Z ∈
（2）()(2)g x f x =-sin[(2)]848
x x πππ
=-+=，[1,-
三、练习题
1．D ；2、C ；3、A ； 4、（1）5(
2,
2)4
4k k π
πππ++()k Z ∈，（2）(,)32
k k ππ
ππ++ ()k Z ∈，（3）3[0,
][
,)44π
ππ⋃；5、1
2
，或2；6、0 ；7．π ；8．2 ；9．偶函数、奇
函数；10、3 ；11． 15()2sin()23f x x π=+ ；12． 5[,
]1212
k k π
πππ-++，k Z ∈； 13．33[6,6]44k k ππππ-++，k Z ∈；14．[,0]2π-，[,]2
π
π； 15．② 、④ ；17．D ；18．D ；19．C ； 20．3
02
ω<≤；21．(1,3)；
22．解：∵ 6
4
x π
π
-
≤≤
，故1sin 0x +>，1sin 0x ->，
∴ 原函数可化为2222log (1sin )log cos y x x =-=，
又当6
4
x π
π
-
≤≤
时，
cos 12
x ≤≤，∴原函数又可化为22log cos y x =，
∴ 222log log cos log 12
x ≤≤，即102y -≤≤。

23．解：
'22cos ()3sin a x
f x x -=
=
，∵)(x f 在
)2
,0(π上是单调递增函数， ∴0)('
≥x f ，即2cos 0a x -≥（*）在)2
,0(π
上恒成立，
由不等式（*）得2cos a x ≤，由(0,)2x π∈，得0cos 1x <<，故
2
2cos x
>， 故2a ≤。

24．解：22
25351
1cos cos (cos )822482
a a y x a x a x a =-++-=--+
+-， 当02
x π
≤≤时，0cos 1x ≤≤，
若
12
a >，即2a >，则当cos 1x =时，max 53
82y a a =+-，
由53182a a +-=，解得20
213
a =<（舍去）；
若012a ≤≤，02a ≤≤，则当cos 2a x =，y 取得最大值
251
482a a +-， 由251
1482
a a +-=，解得32a =，或4a =-（舍去）；
若
02a <，即0a <，则当cos 0x =时，y 取得最大值51
82a -， 由51182a -=，解得125
a =（舍去），综上所述知，存在23=a 满足题意。

24．解：由3()2f x x x =+，得)(x f 是奇函数，且是R 上的增函数。

由0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ，
得)sin 2()32(cos θθ-->-m f f ，即)2(sin )32(cos m f f ->-θθ，
∴ m 2sin 32cos ->-θθ，故2sin sin 222
++>θθm ，
∴ 2
1
15(sin )4
16
m θ>++。

又当1sin =θ时，2115(sin )416θ++取得最大值为52，依题意得5
2
m >。