2016-2017学年高中数学人教版必修1课件：1.2.1 函数的概念
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{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
R
区间
区间的概念及表示
名称
符号
闭区间
[a，b]
半开半闭区间
[a，b)
半开半闭区间
(a，b]
开区间 半开半闭区间
(a，b) [a，＋∞)
开区间 半开半闭区间
开区间 开区间
(a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞)
数轴表示
第六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小
括号．
第七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
函数的判断 [例1] (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是 ( )
第八页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？ 为什么？
第十四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
5－x≥0， |x|－3≠0，
解得x≤5且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
第十五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义 的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非 负；③y＝x0要求x≠0.
第二十七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用] 求下列函数的定义域：
(1)y＝2x2－－3xx－2；
(2)y＝ x－1· 1－x；
(3)y＝1－ 31－x；
(4)y＝(x－1)0＋
2 x＋1.
解：(1)－2x2x－≥30x，－2≠0
x≤0， ⇒x≠2且x≠－12，
∴函数的定义域为xx≤0，且x≠－12
.
第十七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
x－1≥0， (2)1－x≥0
⇒x＝1.∴函数的定义域为{1}．
1－ 1－x≠0， (3)1－x≥0
⇒xx≤≠10.，
∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠0}．
x－1≠0， (4)x＋2 1≥0，
x＋1≠0，
解得x＞－1，且x≠1.
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}．
第十八页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
第十二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一 确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f 下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函 数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数 与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不 能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数． 答案：D
函数的记 法
_y＝__f_(_x_)，__x_∈__A__
定义域 x叫做自变量，x的 取值范围A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域
第三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[化解疑难] 理解பைடு நூலகம்数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数 集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值 域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
第十三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
求函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋＋112－ 1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
x＋1≠0， 1－x≥0，
解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
第二十页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同 的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察 得到；
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法， 即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
第二十一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
1.2
函数及其表示
1．2.1 函数的概念
函数的概念 [提出问题] 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m) 与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s ＝12gt2，其中g取9.8 m/s2.
第一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？ 提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1. 问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？ 提示：确定． 问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？ 提示：不能．
第十一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用]
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是
()
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝x3；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；
(2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再 加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应．如x＝ －1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数． ③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，1x的值不存在． ④不是实数集R上的函数．因为当x<0时， x的值不存在．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的 形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示 数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
第十六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分 式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b± cx±d)，通过换 元把它们转化为有理
函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函 数的值域．
第二十二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用] 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1. 解：(1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入
第二十四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
3.相等函数的判断
[典例] 下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝ x＋32，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝
求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x
∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函
数的值域为[2,6)．
第二十三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2xx－－33＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0， 所以 y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0 且 x＝t2＋1，所以 y＝2(t2＋1) －t＝2t－142＋185，由 t≥0，再结合函数的图象[如图(2)]，可得 函数的值域为185，＋∞.
1 x
，g(x)＝
x .③是相等函数，定义域、对应法则都相
同．④不是相等函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤是相等
函数，定义域、对应法则都相同．
[答案] ③⑤
第二十六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[易错防范] 1．若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为①中f(x) 与g(x)是同一函数，从而导致解题错误． 2．若认为不同的字母表示的函数是不同的函数，则会误 认为⑤中的两个函数是不同的，从而导致解题错误． 3．讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先 的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不 同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应 关系是否相同．
①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1； ③h：把x对应到1x； ④r：把x对应到 x.
第九页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解] (1)选D y是x的函数，必须满足对于任意给定的x 值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应 关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和 它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x， 大多都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．
第十页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 1．判断所给对应是否为函数的方法 (1)首先观察两个数集A，B是否非空； (2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯 一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x. 2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没 有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． 第二十五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解析] ①不是相等函数，定义域不同，f(x)定义域为
{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不是相等函数，对应法则不同，
f(x)＝
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘 积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表 示函数．
第五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[导入新知]
定义 {x|a≤x≤b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|a<x<b}
第二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[导入新知]
函数的有关概念
设A，B是 非空的数集 ，如果按照某种对应关系f， 函数的概 使对于集合A中 任意一个数，x在集合B中都有
念 _唯__一__确_定__的__数__f(_x_)___和它对应，那么就称__f：__A_→__B_ 为从集合A到集合B的一个函数
求函数值和值域 [例3] 已知f(x)＝1＋1 x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域．
第十九页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解] (1)∵f(x)＝1＋1 x， ∴f(2)＝1＋1 2＝13. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝1＋1 6＝17. (3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2， ∴值域是[2，＋∞)．
[化解疑难]
1．理解区间概念的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小
于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍
然成立．
2．关于无穷大的两点说明
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A， 但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
第四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性， 即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中 都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一 个不满足，便不能构成函数．
R
区间
区间的概念及表示
名称
符号
闭区间
[a，b]
半开半闭区间
[a，b)
半开半闭区间
(a，b]
开区间 半开半闭区间
(a，b) [a，＋∞)
开区间 半开半闭区间
开区间 开区间
(a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞)
数轴表示
第六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小
括号．
第七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
函数的判断 [例1] (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是 ( )
第八页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？ 为什么？
第十四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
5－x≥0， |x|－3≠0，
解得x≤5且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
第十五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义 的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非 负；③y＝x0要求x≠0.
第二十七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用] 求下列函数的定义域：
(1)y＝2x2－－3xx－2；
(2)y＝ x－1· 1－x；
(3)y＝1－ 31－x；
(4)y＝(x－1)0＋
2 x＋1.
解：(1)－2x2x－≥30x，－2≠0
x≤0， ⇒x≠2且x≠－12，
∴函数的定义域为xx≤0，且x≠－12
.
第十七页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
x－1≥0， (2)1－x≥0
⇒x＝1.∴函数的定义域为{1}．
1－ 1－x≠0， (3)1－x≥0
⇒xx≤≠10.，
∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠0}．
x－1≠0， (4)x＋2 1≥0，
x＋1≠0，
解得x＞－1，且x≠1.
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}．
第十八页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
第十二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一 确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f 下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函 数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数 与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不 能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数． 答案：D
函数的记 法
_y＝__f_(_x_)，__x_∈__A__
定义域 x叫做自变量，x的 取值范围A 叫做函数的定义域
值域 函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域
第三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[化解疑难] 理解பைடு நூலகம்数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数 集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值 域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
第十三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
求函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋＋112－ 1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
x＋1≠0， 1－x≥0，
解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
第二十页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同 的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察 得到；
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法， 即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
第二十一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
1.2
函数及其表示
1．2.1 函数的概念
函数的概念 [提出问题] 某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m) 与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s ＝12gt2，其中g取9.8 m/s2.
第一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？ 提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1. 问题2：时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？ 提示：确定． 问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？ 提示：不能．
第十一页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用]
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是
()
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝x3；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；
(2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再 加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应．如x＝ －1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数． ③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，1x的值不存在． ④不是实数集R上的函数．因为当x<0时， x的值不存在．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的 形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示 数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
第十六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分 式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b± cx±d)，通过换 元把它们转化为有理
函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函 数的值域．
第二十二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[活学活用] 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1. 解：(1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入
第二十四页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
3.相等函数的判断
[典例] 下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝ x＋32，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝
求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x
∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函
数的值域为[2,6)．
第二十三页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
(3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2xx－－33＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0， 所以 y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0 且 x＝t2＋1，所以 y＝2(t2＋1) －t＝2t－142＋185，由 t≥0，再结合函数的图象[如图(2)]，可得 函数的值域为185，＋∞.
1 x
，g(x)＝
x .③是相等函数，定义域、对应法则都相
同．④不是相等函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤是相等
函数，定义域、对应法则都相同．
[答案] ③⑤
第二十六页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[易错防范] 1．若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为①中f(x) 与g(x)是同一函数，从而导致解题错误． 2．若认为不同的字母表示的函数是不同的函数，则会误 认为⑤中的两个函数是不同的，从而导致解题错误． 3．讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先 的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不 同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应 关系是否相同．
①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1； ③h：把x对应到1x； ④r：把x对应到 x.
第九页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解] (1)选D y是x的函数，必须满足对于任意给定的x 值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应 关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和 它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x， 大多都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．
第十页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[类题通法] 1．判断所给对应是否为函数的方法 (1)首先观察两个数集A，B是否非空； (2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯 一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x. 2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没 有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． 第二十五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解析] ①不是相等函数，定义域不同，f(x)定义域为
{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不是相等函数，对应法则不同，
f(x)＝
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘 积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表 示函数．
第五页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[导入新知]
定义 {x|a≤x≤b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|a<x<b}
第二页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[导入新知]
函数的有关概念
设A，B是 非空的数集 ，如果按照某种对应关系f， 函数的概 使对于集合A中 任意一个数，x在集合B中都有
念 _唯__一__确_定__的__数__f(_x_)___和它对应，那么就称__f：__A_→__B_ 为从集合A到集合B的一个函数
求函数值和值域 [例3] 已知f(x)＝1＋1 x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域．
第十九页，编辑于星期五：十六点 四十八分。
[解] (1)∵f(x)＝1＋1 x， ∴f(2)＝1＋1 2＝13. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝1＋1 6＝17. (3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2， ∴值域是[2，＋∞)．
[化解疑难]
1．理解区间概念的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小
于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍
然成立．
2．关于无穷大的两点说明
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A， 但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
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(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性， 即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中 都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一 个不满足，便不能构成函数．