湖南省会同县第一中学2024年高三第二学期年级质量调研考试数学试题试卷

湖南省会同县第一中学2024年高三第二学期年级质量调研考试数学试题试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．2
2
13
y x -=
B ．22
126x y -=
C ．2
213x y -=
D ．22
162
x y -=
2．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种
C ．22种
D ．24种
3．已知函数有三个不同的零点 （其中
），则 的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数()sin()(0)4
f x A x π
ωω=+
>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3
π
的等差数列，要得到函数
()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向左平移
4
π
个单位 D ．向右平移
34
π
个单位 5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的
其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且6
25
λμ=
，则该双曲线的离心率为( ) A 32
B 52
C 53
D 56
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．33
y x =±
B ．3y x =±
C ．12
y x =±
D ．2y x =±
7．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
110
8．在复平面内，31i
i
+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，
则n S 的最大值为（ ） A ．5
B ．11
C ．20
D ．25
10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A ．甲的数据分析素养优于乙
B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数学运算最强
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体
1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是
C ．4m ≠
D ．3m ≠
12．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13
B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%
C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%
D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若22000,150x x a x ∃∈-+<R 为假，则实数a 的取值范围为__________.
14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
15．实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =-的最大值为__________.
16．在数列{}n a 中，已知*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n 项和为21n S +=__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>3
3,2 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若斜率为k 的直线l 过点()01
A ,，且与椭圆E 交于,C D 两点，
B 为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的实数k ，直线,B
C B
D 的斜率之积为定值.
18．（12分）已知直线1x y +=过椭圆()22
10x y a b +=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是
21,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， （1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
19．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC ∆分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.
（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值. 20．（12分）已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；
（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 21．（12分）已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，
014
()1f x m m
+>-，求实数a 的取值范围. 22．（10分）已知数列{}n a 满足12a =，()
*
122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .
（1）通过计算
102a ，212a ，3
22
a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n
b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t
c S b n N n ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝
⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，
求常数t 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =
，再将点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入可得33b a =，连接FA ，根据圆的性质可得233
33
c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】
由双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>，
则渐近线方程：b
y x a
=±
， 3
3
b a ∴=
，
连接FA ，则2333
FA
c b AO a -===2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 2、B 【解析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有22
32C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2
2
32C A +1
2
2210C A =种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有3
3A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有3
3A +1
2
2210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 3、A 【解析】 令
，构造
，要使函数有三个不同的零点
（其中），则方程需
要有两个不同的根，则
，解得
或
，结合
的图象，并分
，
两个情况分类
讨论，可求出的值.
【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故
在
上单调递增，在
上单调递减，且
时，
，
时，，
，可画
出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点
（其中
），则方程
需要有两个不同的根
（其中
），则，解得或，且，
若，即
，则
，则
，且
，
故，
若，即
，由于
，故
，故
不符合题意，舍去.
故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 4、A 【解析】
依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x π
ωω
⎛
⎫=
=
==+ ⎪⎝
⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故应左移π12.
5、D 【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+，求出点()()bc P c a λμλμ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，
，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得2
41e λμ=，又已知625
λμ=，即可求出离心率． 【详解】
由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，
，代入OP OM ON λμ=+得：()()bc P c a λμλμ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，，
代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：2
41e λμ=，又因为625λμ=，即可得到56e =，
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 6、A 【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b ，即可求出双曲线的渐近
线方程. 【详解】
解：由双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>可知，焦点在x 轴上，
则双曲线的渐近线方程为：b
y x a
=±
， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，
即：2
23a b ，
3
b a =
，
所以双曲线的渐近线方程为：3
y x =±. 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 7、B 【解析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2
3
53C 10n C ==，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数2
2
1
23234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105
m p n ===．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8、D 【解析】
将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果. 【详解】
3(3)(1)
12121(1)(1)
i i i z i z i i i i +++=
==+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D . 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易. 9、D 【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值. 【详解】
等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小， 又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，
由余弦定理得222
23434a a a a a =++，设首项为1a ，
即()()()()()2
2
2
111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=，
所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,1
4a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()2
19n 25252
n n n S n -=+
⨯-=--+.
故n S 的最大值为525S =. 故选：D 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用. 10、D 【解析】
对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；
对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为
100801008010080310
63
+++++=，
乙的六大素养整体水平均得分为8060806060100250
63
+++++=，故C 正确；
对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 11、B 【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 12、D 【解析】
【详解】
对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123
=，故A 正确；
对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(],4-∞ 【解析】
由2
00,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤
对任意实数x 恒
2
的最小值，令2min a ≤即可.
【详解】
因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，
即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2
a ≤
对任意实数x 恒成立，所以2min a ≤.
2
4=≥=
x =时，等号成立，所以4a ≤.
故答案为：(],4-∞. 【点睛】
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题. 14、1． 【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解. 【详解】
由题意，高三学生占的比例为15005
1200900150012
=++，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为5
72030012
⨯=. 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 15、10 【解析】
画出可行域，根据目标函数截距可求. 【详解】
解：作出可行域如下：
由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122
y x z =-， 当11
22
y x z =
-经过点B 时，截距最小，z 最大 解得()6,2B -
2z x y =-的最大值为10
故答案为：10 【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题. 16、223n +- 【解析】
由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解． 【详解】
解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈，
得112(2)n n n a a n --=，
∴
1
1
2(2)n n a n a +-=， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
∴12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，
21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+
212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+
2
1
123(1222)332312
n
n n --=+++⋯+==--．
∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-．
故答案为：223n +-． 【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
164
x y +=；
（2）证明见解析 【解析】
（1
）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设直线:1l y kx
=+，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【详解】 （1
）因为3e =
，所以c =， 2
22
⎫=
+⎪⎪⎝⎭
a b ① 又椭圆过点
， 所以
2
232
1+=a b
② 由①②，解得2
2
6,4==a b
所以椭圆E 的标准方程为22
164
x y += .
（2）证明 设直线l ：1y kx =+，
联立22
164
1x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()
22
32690++-=k x kx ， 设()()1122,,,C x y D x y ， 则121222
69
,3232
+=-
=-++k x x x x k k 易知()0,2B - 故121222++⋅=⋅BC BD
y y k k x x 121233=++⋅kx kx x x ()2121212
39=+++k x x k x x x x
21212123()9=++
+k x x k x x x x ()
222=3323
k k k k +⋅-+=2- 所以对于任意的k ，直线,BC BD 的斜率之积为定值. 【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
18、（1）2212x y +=（2
【解析】
（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242
,33
x x y y +=+=,且由斜率公式可得
21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222112222221,1x y x y a b a b
+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；
（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为()1212111
222
S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,
可得()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】
（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33
x x y y +=+=,且
21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得2222
2121220x x y y a b --+=, 则()()()()2121212122
0x x x x y y y y a b
-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以2
2
2,1a b ==,
因此椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由（1）联立22121
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,易知直线l 的斜率存在,
设直线:l y kx =,代入2212
x y +=,得()
22
212k x +=,
解得x
或,
设()()3344,,,C D x y y x ,
则34x x +
-=
,
则34C x D -==因为()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线y kx =
的距离分别是12d d =
=,
由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,
所以(
)12
444
1k k d d +++==, 四边形ACBD 的面积(
)1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,3
4
t >
,则2221243k t t +=-+,
所以
S=
当
12
3
t
=,即
1
2
k=时
,min
S==
因此四边形ACBD
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
19、（1
）
1
y=，[]
2,3
x∈
.
2
y=[]
2,3
x∈.
（2
）当AD=
2⎭
百米.
【解析】
（1）由
2
3
ADE ABC
S S
∆∆
=，可解得AE.方法一：再在ADE
∆中，利用余弦定理，可得1y关于x的函数关系式；在ADE
∆
和AEM
∆中，利用余弦定理，可得2y关于x的函数关系式.方法二：在ADE
∆中，可得DE AE AD
=-，则有
222
2
DE AE AE AD AD
=-⋅+，化简整理即得；同理
()
1
2
AM AD AE
=+，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【详解】
解：（1）
2
3
ADE ABC
S S
∆∆
=，ABC
∆是边长为3的等边三角形，又AD x
=，
2
121
sin3sin
23323
AD AE
ππ
⎛⎫
∴⋅⋅=⨯⨯
⎪
⎝⎭
，
6
AE
x
∴=.
由
03
6
03
AD x
AE
x
<=≤
⎧
⎪
⎨
<=≤
⎪⎩
，得23
x
≤≤.
法1：在ADE
∆中，由余弦定理，得
2222
2
36
2cos6
3
DE AD AE AD AE x
x
π
=+-⋅⋅=+-.
故直道DE长度1y关于x
的函数关系式为
1
y=[]
2,3
x∈.
在ADE
∆和AEM
∆中，由余弦定理，得
2222cos AD DM AM DM AM AMD
=+-⋅⋅∠①
()
2222cos AE EM AM EM AM AMD π=+-⋅⋅-∠②
因为M 为DE 的中点，所以1
2
DM EM DE ==
. 由①+②，得2
2
2
2
2
221
222
AD AE DM EM AM DE AM +=++=
+， 所以2
2
22
26136622x x AM x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以2229342x AM x =++.
所以，直道AM 长度2y 关于x 的函数关系式为
2y =
[]2,3
x ∈. 法2：因为在ADE ∆中，DE AE AD =-，
所以2
2
2
2DE AE AE AD AD =-⋅+2
22266362cos 63x x x x x x π⎛⎫=-⋅+=+- ⎪⎝⎭
. 所以，直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =，[]2,3x ∈. 在ADE ∆中，因为M 为DE 的中点，所以()
1
2
AM AD AE =
+. 所以()
2
222211362644AM AD AE AD AE x x ⎛⎫=++⋅=++ ⎪⎝⎭
. 所以，直道AM 长度2y 关于x
的函数关系式为2y =[]2,3
x ∈. （2）由（1）得，两条直道的长度之和为
12DE AM y y +=+=
≥
2=（当且仅当2222
36
9
4x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即x =“=”）.
故当AD =
百米时，两条直道的长度之和取得最小值⎭
百米.
【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题. 20、（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞. 【解析】
（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.
（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围. 【详解】
（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧
--<⎪⎪
⎪
=-≤≤⎨⎪
+>⎪⎪⎩
，
所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410
x x ⎧≤≤⎪
⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨
++>⎩， 解得1x <-或1x >.
所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.
（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧
---<-⎪⎪
⎪
=+--≤≤⎨⎪
++>⎪⎪⎩
，
根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322
a
a --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞. 【点睛】
本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题. 21、（Ⅰ）(,2)(2,)-∞-+∞；（Ⅱ）(10,8)-.
【解析】
（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数()f x 改写成分段函数的形式,分1,11,1x x x ≥-<<≤-三种情况分别解不等式,然后取并集即可；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值,利用均值不等式求出
14
1m m
+-的最小值,结合题意,只需()min min
1
41f x m m ⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭即可,解不等式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当1a =时，2,1
()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或1
24x x ≤-⎧⎨
->⎩
2x ⇔>，或2x <-
所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞； （Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+
(0,1)m ∀∈，又
[]1414
()(1)11m m m m m m
+=++--- 4151m m m m
-=++-
59≥+=（当13m =时等号成立）
， 依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014
()1f x m m
+>-， 则19a +<，解之得108a -<<， 故实数a 的取值范围是(10,8)-. 【点睛】
本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.
22、（1）1
(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1
,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
（1）首先利用赋值法求出
3
12013
,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】
（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则
1022a =，2
32a =，32
42a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+．
证明：由于122n
n n a a +=+，
所以
111
222
n n n n a a ++=+， 则：
11
1
222
n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a
是首项为1，公差为12
的等差数列． 所以
111(1)2222
n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2
n n n
b b n N n +=
∈+， 所以
12
n n b n
b n +=+， 则121211221
143
n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+，
所以2(1)
n b n n =
+．则22()(1)n
n
t c n n n n =-+， 所以1
12242
2(
)2()2(2)2121
n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222
221323n t n n n n n n
>-==
++++++，
由于
2
36
n
n
++，所以
21
33
3
n
n
++
，即
1
3
t>．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．。